MỞ ĐẦU Luận án hàm chứa một số kết quả mới và được công bồ trên các tạp chí khoa học quốc tế uy tín. Kết quả nghiên cứu trong luận án này được tổng hợp từ các bài báo đã được công bố trên các tạp chi: Advances in Difference Equations (lên mới từ năm 2022: Advances in Continuous and Discrete Models) (ISI-Q2), Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S (ISI-Q2), Applica- ble Analysis (ISI-Q2), va Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI-Q1). Cu thé nhu sau ® Bai báo chúng tôi khảo sát bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff. Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard.
Nghiệm chỉnh hóa được thiết lập dựa trên việc chặt cụt chuỗi Fourier. Kết quả chính của bài báo là chứng minh tính không chỉnh của bai toán. Đưa ra các đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác dựa trên giả thiết khác nhau của nghiệm chính xác. ® Bài báo khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với cả hai hàm nguồn tuyến tính và phi tuyến.
Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Kết quả chính của bài báo này là thiết lập được nghiệm chỉnh hóa cho bài toán theo dữ liệu quan sát bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier. Dưới một số giả định, chúng tôi khảo sát sự tồn tại và đánh giá sai sO gitta nghiém chinh xac va nghiém chinh hoa. ® Bai báo khảo sát bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi- parabolic.
Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Kết quả chính của bài báo này là thiết lập được nghiệm chỉnh hóa bằng phương pháp Tikho- nov. Dưới một số giả định, chúng tôi đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, đồng thời minh họa một ví dụ số cho kết quả lý thuyết đã đạt được. ® Bai báo khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.
Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Kết quả chính của bài báo là thiết lập được nghiệm chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt và ước lượng phi tham số. Dưới một số giả định, chúng tôi khảo sát sự tổn tại và đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, đồng thời minh họa một ví dụ số cho kết quả lý thuyêt đã đạt được. Một phần các kết quả nêu trên đã được báo cáo tại các hội nghị/ seminar khoa học sau đây ® Đại hội loán học toàn quốc lần thứ IX, tổ chức tại Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Thành phố Nha Trang, vào ngày 14-18/8/2018.
¢ Hội nghị khoa hoc lần thứ XII Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chi Minh, vào ngày 18-19/12 /2020. ¢ Hội nghị Toán học Miễn Trung - Tây Nguyên lần thứ IV, tổ chức tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, vào ngày 25-27/8/2022. ® Seminar Nghiên cứu sinh Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Trường Dai học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phó Hồ Chí Minh, vào ngày 08/9/2023.1 Lý do lựa chọn dé tài Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực nghiên cứu rất sôi động của giải tích toán học, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế. Sở dĩ điều này là do các phương trình đạo hàm riêng thường mô phỏng được các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật như vat lý, sinh học, môi trường, công nghé,.
Các vấn dé liên quan đến tính chỉnh, tính không chỉnh của phương trình đạo hàm riêng là một hướng nghiên cứu quan trọng có nhiều tiềm năng để phát triển cũng như có nhiều thử thách. Các bài toán về phương trình đạo hàm riêng đặt ra có thể được chia thành hai dạng là bài toán thuận và bài toán ngược. Các bài toán thuận đã được nghiên cứu từ rất lâu với nhiều kết quả phong phú, trong khi đó các bài toán ngược chỉ mới được quan tâm nghiên cứu nhiều từ thập niên 60-70 của thế kỷ XX với các công trình tiêu biểu của Robert Lattès, Jacques-Louis Lions [1], Ralph Edwin Showalter [2]. Hơn nữa, các bài toán ngược hầu hết có tinh không chỉnh (theo nghĩa Hadamard).
Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự chỉ dẫn và thảo luận cùng, nhóm nghiên cứu của PGS. Huy Tuan, năm 2018 chung tôi bắt đầu có được những kết quả mới về bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng. Các bài toán đã tìm hiểu thuộc dạng bài toán ngược và không chỉnh. Bên cạnh đó, đã có nhiều luận án tiến sĩ về chủ đề bài toán ngược, không chỉnh như luận án tiến sĩ của Nguyễn Huy Tuan, Bùi Thanh Duy, Lê Minh Triết,.
Nhờ đó, tôi có thêm động lực và cảm hứng yêu thích chủ đề này. Với sự định hướng nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, sự đam mê tìm hiểu cũng như những kết quả khả quan bước đầu đạt được đã thúc đẩy tôi đi theo hướng nghiên cứu này, và lựa chọn đề tài “Bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng” để làm luận án của mình.2 _ Mục tiêu nghiên cứu của luận án Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xây dựng nghiệm chỉnh hóa của một số bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đồng thời đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa đã thiết lập với nghiệm chính xác của bài toán, minh họa một vài kết quả mô phỏng số tương ứng.3 Đối tượng nghiên cứu Luận án xem xét các bài toán sau * Bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirch- hoff. ® Bai toán giá tri cuối cho phương trình elliptic trong không gian L7. * Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic.
© Bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dir liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.4 Phạm vi nghiên cứu Pham vi nghiên cứu của dé tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng, tập trung chính vào chỉnh hóa nghiệm cho các phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là nghiên cứu hai mô hình chính: bài toán ngược thời gian và bài toán xác định hàm nguồn.5 Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp tra cứu và kế thừa kết qua: Chúng tôi thu thập, phân tích, xử lý các kêt quả đã có về các nghiên cứu liên quan đên đề tài. Từ đó chọn lọc các nội dung cũng như các kết quả có giá trị giúp định hướng xây dựng các kêt quả nghiên cứu. Phương pháp phân loại và tổng hợp lý thuyết: Từ các kết quả nghiên cứu trước đó của những công trình liên quan đến đề tài, chúng tôi thực hiện hệ thống hoá lý thuyết và đưa ra các giả thuyết dự đoán về nghiệm cho các bài toán được nghiên cứu trong đề tài. Phát triển các phương pháp mới trong việc chỉnh hóa nghiệm.6 YÝ nghĩa khoa học hoặc thực tiễn của dé tài Trước hết, việc thực hiện để tài luận án giúp nâng cao năng lực nghiên cứu, công bo khoa học của người học cũng như nâng cao năng lực hướng dân khoa học 3 của giảng viên hướng dẫn.
Đồng thời các sản phẩm công bố từ dé tài đóng góp vào thành tích công bồ và khẳng định uy tín khoa học của cơ sở đào tạo. Các kết quả công bồ của đề tài sẽ tiếp tục được trình bày, thảo luận trong nhóm seminar để các thành viên học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới. Từ đó, kết quả đề tài có thể gợi mở và làm nảy sinh một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Ngoài ra, việc thực hiện dé tài luận án cũng đã đóng góp vào việc triển khai nội ham gan ket hoạt động đào tạo với hoạt động nghiên cứu khoa học, hoạt động nghiên cứu khoa học góp phân nâng cao chât lượng đào tạo của Nhà trường.
Chương 2 TỔNG QUAN Trong giải tích toán học thì hướng nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng là một trong những hướng rất sôi động và thu hút được nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế quan tâm. Lý do chính của việc này là vì các phương trình đạo hàm riêng thường mô phỏng các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật - công nghệ như vật lý, sinh học, môi trường, xử lý ảnh,. Có rất nhiều chủ đề khác nhau về phương trình đạo hàm riêng, và trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến các bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng. Bài toán ngược là các loại bài toán mà khi các dữ kiện của quá trình tự nhiên không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp.
Chúng tôi tìm hiểu hai loại bài toán ngược: bài toán ngược thời gian (backward in time problem) và bài toán xác định hàm nguồn (inverse source problem). Bài toán ngược thời gian là bài toán tìm phân bồ tại thời điểm ban dau khi quan sát các dữ liệu tại thời điểm cuối. Chẳng hạn như, chúng ta cần khôi phục lại một tam hình trong quá khứ khi ở thời điểm hiện tại tam hình này đã bị mờ. Từ bài báo [3] ta biết rằng các quá trình khuếch tán thuận rất phù hợp để mô tả làm mịn một tín hiệu hoặc hình ảnh nhất định.
Quá trình làm mờ này có nghĩa là làm mất đi các tần số hoặc chỉ tiết cao trong dữ liệu ảnh ban đầu. Những ứng dụng chi tiết của quá trình khôi phục ảnh và xử lý mờ có thể được tìm thấy trong công trình [3]. Trong các vụ hỏa hoạn, chúng ta không thể nào đo được nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu cháy hoặc nhiệt độ trong lúc đang cháy mà ta chỉ xác định được nhiệt độ tại thời điểm sau đó. Từ các dữ liệu tại thời điểm sau đó, ta cần phải khôi phục lại di liệu tại thời điểm ban đầu.
Để tìm hiểu về tính chất nghiệm của bài toán ngược, ta nhắc lại về tính chỉnh và không chỉnh của một phương trình đạo hàm riêng. Theo định nghĩa của Hadamard thì một bài toán đạo hàm riêng gọi là chỉnh (well-posed) nếu nó thỏa mãn cả 3 tính chất 1) Bài toán có nghiệm; ii) Bài toán có nghiệm duy nhất; iii) Bài toán có nghiệm và nghiệm ổn định theo các dữ liệu đầu vào. Nếu bài toán không thỏa một trong ba tính chất trên thì bài toán gọi là không chỉnh (ill-posed hay non well-posed). Nhìn chung, các bài toán thuận thường là chỉnh theo nghĩa Hadamard, trong khi đa số các bài toán ngược thì thường là không chỉnh.
Tính không chỉnh của các bài toán ngược thường xảy ra khi nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu cho trước.