I. Nghiệm đại số và phương trình vi phân đại số cấp một
Luận án tập trung vào việc nghiên cứu nghiệm đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một. Các phương trình này có dạng F(y, y') = 0, trong đó F là đa thức chứa biến đạo hàm y'. Nghiệm đại số là nghiệm thỏa mãn cả phương trình và đạo hàm của nó. Luận án đề cập đến việc tìm nghiệm tổng quát đại số, một vấn đề phức tạp và chỉ được giải quyết một cách hệ thống cho các phương trình autonom. Các phương trình không autonom vẫn là thách thức lớn, đặc biệt là việc tìm nghiệm hữu tỷ và nghiệm đại số.
1.1. Phương trình vi phân autonom và không autonom
Các phương trình vi phân autonom là trường hợp đặc biệt khi phương trình không phụ thuộc trực tiếp vào biến độc lập. Đối với các phương trình này, sự tồn tại của nghiệm đại số không tầm thường quyết định sự tồn tại của nghiệm tổng quát đại số. Tuy nhiên, đối với các phương trình không autonom, việc tìm nghiệm tổng quát vẫn còn nhiều hạn chế và chỉ được giải quyết trong một số trường hợp đặc biệt như phương trình tuyến tính, Riccati, và Abel.
1.2. Phép biến đổi Möbius và phương trình tương đương
Luận án sử dụng phép biến đổi Möbius để biến đổi các phương trình vi phân đại số cấp một không autonom thành các phương trình autonom tương đương. Phép biến đổi này giúp đơn giản hóa việc tìm nghiệm tổng quát đại số. Cụ thể, hai phương trình F = 0 và G = 0 được coi là tương đương nếu tồn tại một ánh xạ song hữu tỷ Φ_M sao cho Φ_M • F = G. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các phương trình không autonom.
II. Phương trình vi phân đại số cấp một và tính chất bảo toàn
Luận án nghiên cứu các tính chất bảo toàn của nghiệm đại số trong các phương trình vi phân đại số cấp một dưới tác động của các phép biến đổi. Đặc biệt, nghiệm tổng quát đại số được bảo toàn qua các phép biến đổi tương đương. Điều này được thể hiện qua Định lý 3.8, trong đó nếu F và G là hai phương trình tương đương, thì F có nghiệm tổng quát đại số khi và chỉ khi G cũng có nghiệm tương tự.
2.1. Chặn bậc của nghiệm tổng quát đại số
Luận án đưa ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom. Cụ thể, bậc của nghiệm tổng quát đại số bị chặn trên bởi (δ_F + deg_y' F), trong đó δ_F là bậc tổng thể vi phân của phương trình. Kết quả này dựa trên các bất biến vi phân và chặn bậc cho các phương trình autonom.
2.2. Sự tương đương của các phương trình vi phân
Luận án đề xuất một tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hóa hữu tỷ được. Các phương trình này có thể được phân loại theo quan hệ tương đương, từ đó đơn giản hóa việc tìm nghiệm. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc phân loại và giải các phương trình vi phân đại số.
III. Ứng dụng và giá trị thực tiễn của luận án
Luận án không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải các phương trình vi phân đại số cấp một. Các thuật toán được đề xuất trong luận án giúp tìm nghiệm tổng quát đại số một cách hiệu quả, đặc biệt là đối với các phương trình tham số hóa hữu tỷ được. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong các lĩnh vực như toán học ứng dụng, vật lý, và kỹ thuật, nơi các phương trình vi phân đại số thường xuất hiện.
3.1. Thuật toán tìm nghiệm tổng quát đại số
Luận án đề xuất một thuật toán để tính nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hóa hữu tỷ được. Thuật toán này dựa trên việc biến đổi phương trình về dạng autonom và áp dụng các chặn bậc đã được thiết lập. Điều này giúp giảm thiểu thời gian và công sức trong việc tìm nghiệm.
3.2. Phân loại phương trình vi phân đại số
Luận án cũng đóng góp vào việc phân loại các phương trình vi phân đại số cấp một theo quan hệ tương đương. Việc phân loại này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các phương trình mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm nghiệm và phân tích các phương trình vi phân đại số.
