Nắm trọn chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức Luyện thi THPT Quốc Gia 2021

Khám phá chuyên đề hình học Oxyz và số phức trong môn toán năm 2021, giúp củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán hiệu quả.

• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Nắm Trọn Chuyên Đề Môn Toán Năm 2021 Hình Học Oxyz Số Phức
• Loại tài liệu: Tài Liệu
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. PHẦN I: HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ
• 1.1. CHỦ ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• 1.1.1. Dạng 1: Điểm và vecto trong hệ tọa độ Oxyz
• 1.1.2. Dạng 2: Tích vô hướng và ứng dụng
• 1.1.3. Dạng 3: Phương trình mặt cầu
• 1.2. CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
• 1.2.1. Xác định vecto pháp tuyến, tính tích có hướng của mặt phẳng
• 1.2.2. Viết phương trình mặt phẳng
• 1.2.3. Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng
• 1.2.4. Góc và khoảng cách liên quan đến mặt phẳng
• 1.2.5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng
• 1.2.6. Cực trị liên quan đến mặt phẳng
• 1.3. CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
• 1.3.1. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng
• 1.3.2. Viết phương trình đường thẳng
• 1.3.3. Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng
• 1.3.4. Góc và khoảng cách liên quan đến đường thẳng
• 1.3.5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng
• 1.3.6. Bài toán liên quan giữa đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu
• 1.3.7. Cực trị liên quan đến đường thẳng
• 1.4. CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
• 1.4.1. Dạng 1: Tọa độ hóa Hình học không gian
• 1.4.2. Dạng 2: Bài toán đại số
• 1.5. CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP VỀ HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ
• 2. PHẦN II: SỐ PHỨC
• 2.1. Dạng toán 1: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức
• 2.2. Dạng toán 2: Phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức
• 2.3. Dạng toán 3: Phép chia hai số phức
• 2.4. Dạng toán 4: BT quy về giải PT, HPT và tập hợp điểm biểu diễn số phức
• 2.5. Dạng toán 5: Phương trình bậc hai với hệ số thực
• 2.6. Dạng toán 6: Cực trị số phức

Tóm tắt

I. Tổng quan chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức năm 2021

Chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức là một trong những nội dung trọng tâm, chiếm tỷ trọng điểm số đáng kể trong kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập thuộc hai chuyên đề này là yếu tố quyết định để đạt được điểm số cao. Tài liệu "Nắm trọn chuyên đề môn toán năm 2021 hình học oxyz số phức" được biên soạn nhằm hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết, cung cấp các phương pháp giải toán hiệu quả và một hệ thống bài tập đa dạng, bám sát cấu trúc đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Nội dung được trình bày khoa học, đi từ nền tảng đến nâng cao, giúp học sinh xây dựng một lộ trình ôn tập vững chắc. Phần Hình học Oxyz bao gồm các chủ đề về hệ tọa độ trong không gian, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng và các bài toán ứng dụng, cực trị. Trong khi đó, phần Số phức tập trung vào các phép toán cơ bản, phương trình bậc hai, bài toán tập hợp điểm và cực trị của số phức. Sự kết hợp của hai chuyên đề này không chỉ đòi hỏi kỹ năng tính toán mà còn yêu cầu tư duy logic và khả năng hình dung không gian tốt, trở thành một phần không thể thiếu để phân loại năng lực thí sinh. Theo cấu trúc của tài liệu, mỗi chuyên đề đều được trang bị lý thuyết cốt lõi, ví dụ minh họa chi tiết theo bốn cấp độ từ Nhận biết đến Vận dụng cao và hệ thống bài tập rèn luyện có lời giải chi tiết 100%. Cách tiếp cận này đảm bảo người học có thể tự đánh giá năng lực, lấp đầy lỗ hổng kiến thức và rèn luyện tốc độ làm bài, chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi quan trọng.

1.1. Tầm quan trọng của hình Oxyz và số phức trong đề thi

Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia môn Toán, các câu hỏi liên quan đến hình học tọa độ Oxyz và số phức thường xuất hiện ở cả cấp độ cơ bản và vận dụng cao. Các câu hỏi này không chỉ kiểm tra kiến thức lý thuyết mà còn đánh giá sâu sắc khả năng tư duy và áp dụng công cụ toán học để giải quyết vấn đề. Thông thường, phần này chiếm khoảng 10-15% tổng số điểm, một con số đủ lớn để ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng của thí sinh. Đặc biệt, các bài toán Vận dụng cao thuộc hai chuyên đề này được xem là những câu hỏi "chốt điểm 9, 10", đòi hỏi sự am hiểu sâu sắc và kỹ năng biến đổi linh hoạt. Việc làm chủ chuyên đề này giúp thí sinh tự tin hơn khi đối mặt với các phần khó trong đề thi.

1.2. Cấu trúc kiến thức trọng tâm theo định hướng năm 2021

Định hướng ra đề thi năm 2021 của Bộ Giáo dục và Đào tạo tiếp tục tập trung vào các kiến thức cốt lõi. Đối với Hình học Oxyz, các dạng toán trọng tâm bao gồm: xác định tọa độ điểm và vectơ; viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, và phương trình mặt cầu; xét vị trí tương đối giữa các đối tượng; tính toán khoảng cách, góc; và giải các bài toán cực trị. Đối với Số phức, kiến thức nền tảng là các phép toán cộng, trừ, nhân, chia; tìm môđun, số phức liên hợp; giải phương trình bậc hai với hệ số thực; và các bài toán về tập hợp điểm biểu diễn số phức cùng bài toán min-max liên quan. Việc hệ thống hóa kiến thức theo cấu trúc này là bước đầu tiên để ôn luyện hiệu quả.

II. Khó khăn và lỗi sai thường gặp khi giải toán Oxyz Số phức

Mặc dù là phần kiến thức quen thuộc, chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức vẫn là một thách thức lớn đối với nhiều học sinh. Một trong những khó khăn chính là việc hình dung các đối tượng trong không gian ba chiều. Các bài toán về vị trí tương đối, góc và khoảng cách đòi hỏi một trực quan không gian tốt, điều mà không phải ai cũng có. Sai lầm phổ biến trong phần Hình học Oxyz là nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng. Hơn nữa, các phép tính toán với tọa độ, đặc biệt là tích có hướng, rất dễ xảy ra sai sót về dấu hoặc thứ tự, dẫn đến kết quả sai lệch hoàn toàn. Đối với chuyên đề Số phức, thách thức nằm ở các bài toán Vận dụng cao. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun hay tìm tập hợp điểm biểu diễn thường yêu cầu sự liên kết chặt chẽ giữa đại số và hình học. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc "dịch" một biểu thức đại số phức tạp sang một tính chất hình học tương ứng trên mặt phẳng phức. Lỗi sai thường gặp là áp dụng sai các bất đẳng thức hoặc biến đổi không tương đương, dẫn đến việc bỏ sót nghiệm hoặc đánh giá sai miền giá trị. Việc nhận diện và khắc phục những khó khăn, lỗi sai này là chìa khóa để chinh phục điểm số cao trong kỳ thi.

2.1. Phân tích lỗi sai trong bài toán tọa độ không gian Oxyz

Trong quá trình giải toán hình tọa độ Oxyz, học sinh thường mắc phải các lỗi cơ bản nhưng nghiêm trọng. Lỗi đầu tiên là xác định sai vectơ đặc trưng: nhầm vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương hoặc ngược lại. Lỗi thứ hai là tính toán sai tọa độ trong các phép toán vectơ, ví dụ như tính tích có hướng [a, b] sai công thức, dẫn đến việc viết sai phương trình mặt phẳng hoặc đường thẳng. Một lỗi khác liên quan đến việc áp dụng công thức khoảng cách và góc, đặc biệt là quên trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách hoặc nhầm lẫn giữa cosin và sin của góc. Cuối cùng, các bài toán biện luận vị trí tương đối thường yêu cầu giải hệ phương trình, và sai sót trong quá trình biến đổi đại số là điều khó tránh khỏi nếu không cẩn thận.

2.2. Thách thức với dạng bài vận dụng cao về số phức

Các bài toán vận dụng cao về số phức luôn là thử thách lớn. Dạng bài toán cực trị số phức (min-max) đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức đại số và tư duy hình học. Thách thức lớn nhất là chuyển đổi một ràng buộc phức tạp của số phức z thành một quỹ tích hình học cụ thể (đường thẳng, đường tròn, elip). Ví dụ, từ biểu thức |z - z₁| = |z - z₂|, cần nhận ra đây là phương trình đường trung trực. Hay từ |z - z₀| = R, cần xác định đây là một đường tròn. Việc không nhận diện được quỹ tích hoặc áp dụng sai phương pháp hình học để tìm cực trị là nguyên nhân chính dẫn đến mất điểm ở những câu hỏi này. Ngoài ra, việc sử dụng các bất đẳng thức như Bunyakovsky hoặc bất đẳng thức tam giác một cách máy móc mà không hiểu bản chất cũng là một cạm bẫy.

III. Bí quyết chinh phục Hình học Oxyz từ A Z cho kỳ thi 2021

Để làm chủ chuyên đề Hình học Oxyz, cần có một phương pháp học tập bài bản và khoa học. Nền tảng của toàn bộ chuyên đề là kiến thức về hệ tọa độ và vectơ. Việc thành thạo các phép toán trên vectơ như cộng, trừ, nhân vô hướng, và đặc biệt là tích có hướng, là điều kiện tiên quyết. Tài liệu "Tư duy toán học 4.0" nhấn mạnh rằng tích có hướng của hai vectơ là công cụ vạn năng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, xác định phương của đường thẳng, và tính diện tích, thể tích. Bước tiếp theo là nắm vững cách viết phương trình của các đối tượng cơ bản: mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. Mỗi loại phương trình đều có dạng đặc trưng và gắn liền với các yếu tố hình học như điểm đi qua, vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, tâm và bán kính. Việc luyện tập chuyển đổi qua lại giữa các dạng phương trình (tham số, chính tắc, tổng quát) sẽ giúp tăng cường sự linh hoạt khi giải toán. Cuối cùng, để giải quyết các bài toán phức tạp hơn như vị trí tương đối, góc, khoảng cách và cực trị, cần kết hợp các kiến thức đã học một cách hệ thống. Chẳng hạn, để tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, cần viết phương trình đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với mặt phẳng, sau đó tìm giao điểm. Với các bài toán cực trị, phương pháp tọa độ hóa và sử dụng các công cụ đạo hàm hoặc bất đẳng thức là những kỹ thuật hiệu quả cần được rèn luyện.

3.1. Phương pháp xây dựng hệ trục tọa độ và vectơ hiệu quả

Nền tảng của Hình học Oxyz là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc và các phép toán vectơ. Cần nắm chắc định nghĩa tọa độ của điểm, của vectơ và các công thức liên quan như tọa độ trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện. Đặc biệt, hai phép toán tích vô hướng và tích có hướng là công cụ cốt lõi. Tích vô hướng được dùng để kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ, tính góc giữa hai vectơ. Trong khi đó, tích có hướng của hai vectơ [a, b] cho một vectơ mới vuông góc với cả a và b, ứng dụng trực tiếp để tìm vectơ pháp tuyến và tính diện tích tam giác, thể tích khối chóp, khối hộp.

3.2. Kỹ thuật viết phương trình mặt phẳng và đường thẳng

Việc viết phương trình mặt phẳng (P) và phương trình đường thẳng (d) là kỹ năng cơ bản nhất. Để viết phương trình mặt phẳng, yếu tố cần xác định là một điểm thuộc (P) và một vectơ pháp tuyến. Để viết phương trình đường thẳng, cần một điểm thuộc (d) và một vectơ chỉ phương. Các bài toán thường cho các dữ kiện gián tiếp, đòi hỏi phải sử dụng các tính chất hình học để tìm ra hai yếu tố này. Ví dụ, mặt phẳng trung trực của đoạn AB sẽ đi qua trung điểm I của AB và nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến. Hay đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ có vectơ chỉ phương là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

3.3. Giải quyết bài toán cực trị và vị trí tương đối Oxyz

Các bài toán về vị trí tương đối (giữa hai mặt phẳng, hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng) thường quy về việc xét số nghiệm của hệ phương trình tương ứng. Đây là dạng toán đòi hỏi kỹ năng biến đổi và giải hệ phương trình một cách chính xác. Trong khi đó, các bài toán cực trị hình học Oxyz là dạng toán vận dụng cao. Phương pháp phổ biến là tham số hóa tọa độ điểm cần tìm theo một hoặc nhiều biến, sau đó xây dựng hàm số biểu thị đại lượng cần tìm cực trị (độ dài, diện tích, thể tích). Cuối cùng, sử dụng các công cụ như khảo sát hàm số, bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovsky, hoặc các tính chất hình học đặc biệt (hình chiếu, đối xứng) để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

IV. Hướng dẫn toàn diện các dạng bài tập Số phức thi THPT

Chuyên đề Số phức trong kỳ thi THPT Quốc gia bao gồm nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Để chinh phục phần này, cần một lộ trình ôn tập rõ ràng. Đầu tiên, cần nắm vững các khái niệm nền tảng: phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Đây là những kiến thức ở mức độ Nhận biết và Thông hiểu, chiếm phần lớn số câu hỏi. Tiếp theo là dạng bài giải phương trình bậc hai với hệ số thực. Điểm mấu chốt ở đây là công thức nghiệm trong trường hợp delta âm, khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp. Một mảng kiến thức quan trọng và thường xuất hiện trong các câu hỏi vận dụng là tập hợp điểm biểu diễn số phức. Mỗi phương trình hoặc hệ thức liên quan đến số phức z thường tương ứng với một tập hợp điểm M(x, y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Việc nhận diện được tập hợp này (đường thẳng, đường tròn, elip,...) là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học liên quan. Cuối cùng, dạng bài khó nhất là cực trị số phức, tức tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức (thường là môđun). Phương pháp giải quyết dạng này có hai hướng chính: phương pháp đại số (sử dụng bất đẳng thức, thế, lượng giác hóa) và phương pháp hình học (dựa vào quỹ tích điểm biểu diễn và các tính chất hình học).

4.1. Nắm vững phép toán và các dạng biểu diễn của số phức

Nền tảng của chuyên đề là các phép toán cơ bản trên tập hợp số phức. Cần thực hành thành thạo các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức ở dạng đại số z = a + bi. Bên cạnh đó, các khái niệm như phần thực, phần ảo, môđun của số phức |z| = √(a² + b²), và số phức liên hợp z̄ = a - bi phải được hiểu rõ. Việc ghi nhớ và áp dụng nhanh các tính chất như |z₁z₂| = |z₁||z₂| hay z + z̄ là số thực, z - z̄ là số ảo thuần túy sẽ giúp tăng tốc độ giải quyết các bài toán tính toán cơ bản, tạo tiền đề vững chắc cho các dạng toán phức tạp hơn.

4.2. Phương pháp giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Dạng toán giải phương trình bậc hai với hệ số thực az² + bz + c = 0 là một nội dung quan trọng. Cách giải tương tự như trên tập số thực, sử dụng công thức nghiệm với biệt thức delta (Δ = b² - 4ac). Điểm khác biệt cốt lõi là khi Δ < 0, phương trình không vô nghiệm mà có hai nghiệm phức. Cụ thể, nếu gọi δ là một căn bậc hai của Δ (ví dụ δ = i√(-Δ)), thì hai nghiệm phức của phương trình là z₁,₂ = (-b ± δ) / 2a. Một tính chất quan trọng cần nhớ là hai nghiệm này luôn là hai số phức liên hợp của nhau, tức là z₂ = z̄₁.

4.3. Kỹ thuật tìm tập hợp điểm và giải bài toán min max

Đây là dạng toán phân loại thí sinh. Bài toán yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước. Bằng cách đặt z = x + yi, điều kiện của z sẽ được chuyển thành một phương trình hoặc bất phương trình của x và y. Ví dụ: |z - (a+bi)| = R tương đương với đường tròn tâm I(a,b) bán kính R. Dạng toán cực trị số phức thường yêu cầu tìm min/max của P = |z - z₀|. Về mặt hình học, đây là tìm khoảng cách ngắn nhất/dài nhất từ điểm M(z) thuộc một quỹ tích cho trước đến điểm cố định M₀(z₀). Việc vận dụng các tính chất hình học phẳng sẽ giúp giải quyết bài toán một cách trực quan và hiệu quả.

V. Ứng dụng phương pháp tọa độ hóa và giải toán thực tiễn

Một trong những ứng dụng mạnh mẽ nhất của Hình học Oxyz là phương pháp tọa độ hóa để giải quyết các bài toán hình học không gian cổ điển. Kỹ thuật này cho phép chuyển một bài toán hình học thuần túy, vốn đòi hỏi tư duy trừu tượng và khả năng vẽ hình phức tạp, về một bài toán đại số tính toán trong hệ tọa độ. Bằng cách chọn một hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, gắn vào hình chóp, hình lăng trụ, ta có thể xác định tọa độ của các đỉnh. Từ đó, các yếu tố như độ dài cạnh, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai điểm hay hai đường thẳng chéo nhau đều có thể được tính toán chính xác thông qua các công thức tọa độ. Phương pháp này đặc biệt hữu hiệu đối với các bài toán khó, có các yếu-tố-vuông-góc, giúp đơn giản hóa quá trình suy luận và giảm thiểu sai sót. Các ví dụ minh họa trong tài liệu "Nắm trọn chuyên đề môn toán 2021" cho thấy, việc chọn hệ trục tọa độ khéo léo (gắn gốc tọa độ vào một đỉnh có nhiều cạnh vuông góc với nhau) là bước quan trọng nhất, quyết định độ phức tạp của các phép tính toán sau này. Việc thành thạo kỹ thuật tọa độ hóa không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong chương trình mà còn mở ra một hướng tư duy mới, hiệu quả để tiếp cận các vấn đề hình học không gian.

5.1. Kỹ thuật tọa độ hóa giải bài toán hình không gian cổ điển

Phương pháp tọa độ hóa là một công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tính toán trong hình học không gian truyền thống (hình chóp, lăng trụ...). Nguyên tắc chung là chọn một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp, thường gắn với các đỉnh và cạnh có sẵn yếu tố vuông góc. Sau khi xác định được tọa độ các đỉnh, mọi yêu cầu của bài toán (tính góc, khoảng cách, thể tích...) đều được quy về các phép tính với tọa độ vectơ. Ưu điểm của phương pháp này là quy trình giải rõ ràng, ít phụ thuộc vào khả năng tưởng tượng không gian và có thể áp dụng cho nhiều dạng bài. Tuy nhiên, nhược điểm là khối lượng tính toán có thể lớn nếu chọn hệ trục không tối ưu.

5.2. Phân tích ví dụ minh họa từ đề thi THPT các năm

Việc phân tích các ví dụ từ đề thi chính thức các năm trước là cách tốt nhất để hiểu rõ yêu cầu và xu hướng ra đề. Ví dụ, bài toán tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thường được giải quyết hiệu quả bằng cách lập hệ phương trình khoảng cách. Hay bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong Hình học Oxyz trở nên đơn giản hơn nhiều so với phương pháp dựng hình cổ điển. Các ví dụ minh họa trong tài liệu được phân chia theo 4 mức độ, giúp người học nhận biết được đâu là câu hỏi lấy điểm cơ bản, đâu là câu hỏi đòi hỏi tư duy sâu để có chiến lược phân bổ thời gian hợp lý khi làm bài thi.

VI. Định hướng ôn tập Hình học Oxyz và Số phức hiệu quả

Để đạt hiệu quả tối đa khi ôn tập chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức, cần có một chiến lược và lộ trình cụ thể. Quá trình ôn luyện nên được chia thành các giai đoạn rõ ràng, tuân theo cấu trúc mà tài liệu "Nắm trọn chuyên đề môn toán 2021" đã đề ra. Giai đoạn đầu tiên là nắm chắc lý thuyết nền tảng. Cần đảm bảo hiểu rõ từng định nghĩa, định lý, tính chất và công thức. Việc tự tay tóm tắt lại kiến thức cốt lõi sẽ giúp ghi nhớ lâu hơn. Giai đoạn thứ hai là luyện tập các dạng bài tập cơ bản. Hãy bắt đầu với các bài toán ở mức độ Nhận biết và Thông hiểu để xây dựng sự tự tin và thành thạo các kỹ năng tính toán cơ bản. Đây là phần kiến thức chiếm phần lớn điểm số và không được phép để mất điểm. Giai đoạn thứ ba là chinh phục các dạng toán Vận dụng và Vận dụng cao. Ở giai đoạn này, cần tập trung vào việc rèn luyện tư duy, tìm kiếm các phương pháp giải tối ưu và nhận diện các dạng bài toán khó. Việc giải các đề thi thử, đề thi các năm trước sẽ giúp làm quen với áp lực thời gian và cấu trúc đề thi thật. Cuối cùng, cần thường xuyên rà soát lại các lỗi sai, tổng kết các kinh nghiệm giải toán và bổ sung những phần kiến thức còn yếu. Một lộ trình ôn tập khoa học và sự kiên trì sẽ là chìa khóa để nắm trọn chuyên đề quan trọng này.

6.1. Lộ trình ôn luyện theo 4 mức độ từ Nhận biết đến Vận dụng cao

Một lộ trình học tập hiệu quả cần đi từ dễ đến khó. Đầu tiên, hãy tập trung vào các câu hỏi mức độ Nhận biết (áp dụng công thức trực tiếp) và Thông hiểu (biến đổi đơn giản). Sau khi đã nắm chắc phần này, hãy chuyển sang các bài toán Vận dụng, nơi cần kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng. Cuối cùng, dành thời gian cho các bài toán Vận dụng cao, những bài toán đòi hỏi tư duy sáng tạo và phương pháp giải độc đáo. Cách học theo từng cấp độ này giúp xây dựng kiến thức một cách bền vững, tránh tình trạng nản chí khi gặp bài toán quá khó ngay từ đầu.

6.2. Xu hướng ra đề và dự báo cho các kỳ thi tương lai

Xu hướng ra đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây cho thấy, các câu hỏi ngày càng chú trọng vào việc kiểm tra sự hiểu biết bản chất vấn đề thay vì chỉ là khả năng nhớ và áp dụng công thức một cách máy móc. Các bài toán thường được đặt trong các bối cảnh mới lạ, yêu cầu khả năng phân tích và mô hình hóa. Đối với Hình học Oxyz và Số phức, xu hướng này thể hiện qua các bài toán cực trị có điều kiện phức tạp hoặc các bài toán liên môn. Dự báo trong tương lai, đề thi sẽ tiếp tục theo hướng này, đòi hỏi học sinh không chỉ học thuộc lòng mà phải thực sự hiểu sâu và vận dụng linh hoạt kiến thức.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Tài liệu "Nắm trọn chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức THPT 2021" là tập thứ tư nằm trong bộ sách chuyên đề bốn tập gồm: Quyển 1: Nắm trọn chuyên đề Hàm số, Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit và Tích phân, Quyển 3: Hình học không gian, và Quyển 4: Hình học Oxyz và Số phức. Tài liệu do nhóm biên soạn "Tư duy Toán học 4.0" (nhóm Admin Luyện thi Đại học) tổng hợp và phát hành dưới dạng tài liệu lưu hành nội bộ vào tháng 10 năm 2020.

Trong chương trình đào tạo môn Toán lớp 12 và cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, hai mạch kiến thức Phương pháp tọa độ trong không gian ($Oxyz$) và Số phức giữ vị trí trọng tâm của phân môn Hình học và Đại số giải tích. Mục tiêu học tập (learning outcomes) của tài liệu bao gồm: trang bị đầy đủ hệ thống lý thuyết chuẩn tắc; rèn luyện kỹ năng giải toán cơ bản và nâng cao thông qua việc phân loại dạng bài; hình thành tư duy liên kết giữa hình học tổng hợp cổ điển với phương pháp tọa độ; và chuẩn bị năng lực giải quyết các câu hỏi phân hóa từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao.

Cấu trúc tài liệu được thiết kế theo quy trình ba bước đồng bộ cho mỗi chủ đề:

1. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải toán tổng quát.
2. Hệ thống ví dụ minh họa đa dạng có phân tích hướng đi.
3. Ngân hàng bài tập rèn luyện tự luận và trắc nghiệm có lời giải chi tiết 100%.

Điểm đặc trưng của tài liệu là tính thực chứng và hệ thống hóa cao, tích hợp các bài toán trích xuất từ đề thi thử của các Sở Giáo dục và Đào tạo, các trường THPT Chuyên trên toàn quốc, đồng thời cung cấp nhiều hướng tiếp cận giải thuật khác nhau cho cùng một bài toán hình học và đại số.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

                             NỘI DUNG TÀI LIỆU
                                     │
         ┌───────────────────────────┴───────────────────────────┐
         │                                                       │
  PHẦN I: HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ                                PHẦN II: SỐ PHỨC
         │                                                       │
 ├─ Chủ đề 1: Hệ tọa độ không gian                       ├─ Dạng 1: Các yếu tố cơ bản
 ├─ Chủ đề 2: Phương trình mặt phẳng                     ├─ Dạng 2: Phép cộng, trừ, nhân
 ├─ Chủ đề 3: Phương trình đường thẳng                   ├─ Dạng 3: Phép chia số phức
 ├─ Chủ đề 4: Ứng dụng phương pháp tọa độ                ├─ Dạng 4: PT, HPT & Tập hợp điểm
 └─ Chủ đề 5: Tổng hợp về hình Oxyz                      ├─ Dạng 5: Phương trình bậc hai
                                                         └─ Dạng 6: Cực trị số phức

Các chương và chủ đề chính

Nội dung cuốn sách phân chia thành hai phần lớn tương ứng với hai chuyên đề học thuật độc lập:

Phần I: Hình tọa độ trong không gian Oxyz

• Chủ đề 1: Hệ trục tọa độ trong không gian: Xây dựng hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$ với các vectơ đơn vị $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$. Phân tích tọa độ điểm, tọa độ vectơ, các phép toán vectơ, tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$, góc giữa hai vectơ, tích có hướng $[\vec{a}, \vec{b}]$, cùng phương trình mặt cầu dạng chính tắc $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ và tổng quát $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ ($a^2+b^2+c^2-d > 0$).
• Chủ đề 2: Phương trình mặt phẳng: Kỹ thuật xác định vectơ pháp tuyến $\vec{n}$, tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương; phương pháp viết phương trình tổng quát của mặt phẳng; bài toán tìm tọa độ hình chiếu và điểm đối xứng; tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khảo sát vị trí tương đối giữa mặt phẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt cầu; các bài toán cực trị hình học liên quan đến mặt phẳng.
• Chủ đề 3: Phương trình đường thẳng: Thiết lập vectơ chỉ phương $\vec{u}$, phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng; xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng; tính góc và khoảng cách (giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa điểm và đường thẳng); vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng; bài toán tương quan tổng hợp giữa đường thẳng – mặt phẳng – mặt cầu; cực trị khoảng cách và vị trí tương đối.
• Chủ đề 4: Ứng dụng của phương pháp tọa độ: Chia thành hai nhánh ứng dụng lớn:
  • Dạng 1: Tọa độ hóa hình học không gian thuần túy (gắn hệ trục $Oxyz$ vào hình chóp, lăng trụ, hình hộp để giải quyết góc, khoảng cách, thể tích).
  • Dạng 2: Ứng dụng vectơ và tọa độ giải các bài toán đại số, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
• Chủ đề 5: Tổng hợp về hình tọa độ Oxyz: Hệ thống hóa bài toán đa đối tượng kết hợp giữa điểm, đường, mặt và mặt cầu trong không gian.

Phần II: Số phức

• Dạng toán 1: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, số phức liên hợp $\bar{z}$, môđun $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$).
• Dạng toán 2 & Dạng toán 3: Các phép toán đại số cơ bản: cộng, trừ, nhân và chia hai số phức.
• Dạng toán 4: Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình và xác định quỹ tích tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức (đường thẳng, đường tròn, elip, parabol).
• Dạng toán 5: Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức $\mathbb{C}$, định lý Viète cho nghiệm phức.
• Dạng toán 6: Cực trị số phức (khảo sát min-max môđun, kết hợp phương pháp hình học giải tích và bất đẳng thức đại số).

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình củng cố các nền tảng toán học giải tích không gian thông qua các công thức và nguyên lý:

• Đại số vectơ không gian: Định nghĩa tọa độ vectơ qua biểu diễn $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$; phép cộng trừ vectơ, nhân vectơ với một số; điều kiện cùng phương $\vec{a} = k\vec{b}$; tích có hướng $[\vec{a}, \vec{b}] = (a_2b_3 - a_3b_2; a_3b_1 - a_1b_3; a_1b_2 - a_2b_1)$.
• Ứng dụng hình học của vectơ: Tính diện tích tam giác $S_{ABC} = \frac{1}{2}|[\vec{AB}, \vec{AC}]|$; thể tích tứ diện $V_{ABCD} = \frac{1}{6}|[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD}|$; thể tích khối hộp $V = |[\vec{AB}, \vec{AD}] \cdot \vec{AA'}|$.
• Tọa độ các điểm đặc biệt: Tọa độ trung điểm $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$, trọng tâm tam giác $G$, trọng tâm tứ diện thỏa mãn $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}$, và điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số $k$ ($\vec{MA}=k\vec{MB}$).
• Vị trí tương đối và khoảng cách: Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(\alpha): Ax+By+Cz+D=0$ qua công thức $d(M_0, (\alpha)) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$; điều kiện giao tuyến giữa mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(\alpha)$ tạo thành đường tròn bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2(I,(\alpha))}$.

Kỹ năng phát triển

Tài liệu chú trọng phát triển ba nhóm năng lực kỹ thuật:

• Kỹ năng giải tích hình học: Đại số hóa các quan hệ hình học thuần túy (vuông góc, song song, đồng phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng).
• Kỹ năng tối ưu hóa và cực trị: Sử dụng các bất đẳng thức đại số (như Cauchy-Schwarz/Bunhiacopxki) kết hợp với phân tích hình học (hình chiếu vuông góc, tâm tỉ cự) để xác định điểm cực trị trong không gian và trên tập số phức.
• Kỹ năng phân tích đa hướng: Khả năng lựa chọn công cụ giải toán linh hoạt (tính trực tiếp bằng tọa độ, sử dụng tính chất hình học cổ điển hỗ trợ, hoặc áp dụng công thức giải nhanh cho trắc nghiệm).

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình triển khai phương pháp tiếp cận sư phạm phân tầng theo cấu trúc trực quan:

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                 TIẾN TRÌNH SƯ PHẠM 3 BƯỚC                   │
├──────────────────────────────┬──────────────────────────────┤
│ 1. Lý thuyết & Công thức     │ Tóm tắt định nghĩa, định lý, │
│                              │ công thức trọng tâm.         │
├──────────────────────────────┼──────────────────────────────┤
│ 2. Ví dụ minh họa phân cấp   │ Nhận biết → Thông hiểu →     │
│                              │ Vận dụng → Vận dụng cao.     │
├──────────────────────────────┼──────────────────────────────┤
│ 3. Luyện tập & Đánh giá      │ Bài tập tự luyện, đáp án và  │
│                              │ giải chi tiết 100%.          │
└──────────────────────────────┴──────────────────────────────┘

Mỗi chủ đề bắt đầu bằng việc tóm tắt định nghĩa, định lý và công thức trọng tâm dưới dạng khung quy tắc. Sau phần lý thuyết là hệ thống ví dụ minh họa có kèm đề bài, phương án trắc nghiệm, và phân tích các bước giải. Ví dụ minh họa được sắp xếp theo độ khó tăng dần từ nhận diện cơ bản (như tính độ dài vectơ, xác định tâm mặt cầu) đến các bài toán đa bước (như tìm điểm cực trị thỏa mãn hệ thức vectơ tổng, bài toán tiếp diện chung của nhiều mặt cầu).

Phần bài tập rèn luyện đóng vai trò củng cố thực hành. Toàn bộ câu hỏi trong tài liệu đều có phần lời giải chi tiết 100%, ghi rõ từng bước biến đổi đại số, lập luận hình học, và chỉ rõ phương án đúng.

Đối với việc tự học và giảng dạy:

• Giảng viên/Giáo viên: Có thể trích xuất các ví dụ mẫu làm tài liệu giảng dạy trực tiếp trên lớp; phân loại các mức độ bài tập để xây dựng đề kiểm tra định kỳ hoặc chuyên đề ôn thi.
• Người học: Tài liệu khuyến nghị quy trình tự học: nghiên cứu lý thuyết nền tảng $\rightarrow$ tự giải lại các ví dụ minh họa $\rightarrow$ làm bài tập rèn luyện độc lập $\rightarrow$ đối chiếu với phần giải chi tiết để phát hiện sai sót và hoàn thiện phương pháp lập luận.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Tính đồng bộ với cấu trúc đề thi THPT: Nội dung biên soạn bám sát định dạng câu hỏi và xu hướng ra đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2021 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chia tách rõ bốn mức độ nhận thức (Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao).
• Trình bày nhiều phương pháp giải cho một bài toán: Trong nhiều ví dụ và câu hỏi rèn luyện, tài liệu cung cấp từ 2 đến 3 cách giải khác nhau. Điển hình như bài toán xác định tọa độ đỉnh của hình thang cân $ABCD$ được xử lý qua ba hướng:
  • Cách 1: Sử dụng quan hệ vectơ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng.
  • Cách 2: Sử dụng tính chất vectơ đối và giải phương trình bậc hai.
  • Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đáy và sử dụng tính chất đối xứng qua mặt phẳng.
• Cung cấp công thức giải nhanh trắc nghiệm: Đưa vào các công thức tính toán tọa độ trực tiếp, ví dụ công thức xác định tọa độ điểm đối xứng $M'(x';y';z')$ của điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ qua mặt phẳng $(\alpha): ax+by+cz+d=0$: $$\begin{cases} x' = x_0 - 2ak \ y' = y_0 - 2bk \ z' = z_0 - 2ck \end{cases} \quad \text{với } k = \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$$
• Mở rộng phạm vi ứng dụng liên chuyên đề: Xây dựng riêng Chủ đề 4 cho phương pháp tọa độ hóa, cho phép người học sử dụng công cụ $Oxyz$ để giải quyết các bài toán hình học không gian thuần túy (khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, thể tích khối chóp phức tạp) và các bài toán cực trị đại số nhiều biến.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

Nhóm đối tượng	Mục đích và phương thức sử dụng
Học sinh lớp 12	Ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, củng cố toàn diện hai chuyên đề Hình học $Oxyz$ và Số phức; luyện tập các dạng câu hỏi vận dụng cao để phân loại điểm số xét tuyển đại học.
Học sinh lớp 11	Học trước chương trình, tiếp cận sớm phương pháp tọa độ không gian để hỗ trợ giải quyết các bài toán hình học không gian cuối cấp.
Giáo viên môn Toán	Sử dụng làm tài liệu tham khảo trong công tác giảng dạy, phân loại chuyên đề ôn luyện, và xây dựng ngân hàng câu hỏi kiểm tra đánh giá theo chuẩn phân hóa.
Học viên tự học	Tài liệu hỗ trợ tự học độc lập nhờ hệ thống lý thuyết tinh giản, phân dạng chi tiết và toàn bộ bài tập có giải thích đáp án hoàn chỉnh.

Yêu cầu tiên quyết (Prerequisites): Người học cần có kiến thức nền tảng về đại số vectơ phẳng lớp 10, các khái niệm cơ bản về quan hệ vuông góc và song song trong không gian lớp 11, giải phương trình và bất đẳng thức đại số cơ bản.

---

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

1. Giáo trình này phù hợp với trình độ học sinh nào?

Tài liệu được biên soạn phục vụ học sinh lớp 11, 12 ở nhiều mức độ năng lực khác nhau. Cấu trúc bài tập trải dài từ Nhận biết, Thông hiểu (dành cho học sinh ôn tập tốt nghiệp THPT) đến Vận dụng và Vận dụng cao (dành cho học sinh có mục tiêu đạt điểm 8, 9, 10 trong kỳ thi đại học).

2. Cần chuẩn bị kiến thức nền tảng nào trước khi học tài liệu này?

Người học cần nắm chắc các quy tắc cộng trừ vectơ, tích vô hướng trong mặt phẳng ($Oxy$), các định lý hình học không gian cổ điển lớp 11 (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, góc và khoảng cách), cùng kỹ năng giải hệ phương trình đại số.

3. Điểm khác biệt của tài liệu này so với sách giáo khoa chuẩn là gì?

Sách giáo khoa chuẩn trình bày các định nghĩa và định lý cơ bản mang tính hàn lâm. Tài liệu này tổ chức kiến thức theo dạng toán thực chiến, phân loại chi tiết từng mô hình bài tập (như cực trị khoảng cách, tập hợp điểm số phức, bài toán đa diện nội tiếp), đồng thời tích hợp phương pháp giải nhanh trắc nghiệm và lời giải chi tiết 100%.

4. Làm sao để tự học tài liệu này đạt hiệu quả cao nhất?

Người học nên tuân thủ trình tự: đọc và ghi nhớ các công thức lý thuyết ở đầu mỗi chủ đề; tự giải các ví dụ minh họa trước khi xem bài giải mẫu; tiến hành làm bài tập rèn luyện theo thời gian quy định; cuối cùng đối chiếu đáp án chi tiết để học thêm các cách giải phụ (nếu có).

5. Có tài liệu bổ trợ nào trong cùng hệ thống phát hành không?

Cuốn sách là Quyển 4 trong bộ chuyên đề 4 tập. Người học có thể tham khảo trọn bộ tài liệu bổ trợ cùng nhóm biên soạn gồm:

• Quyển 1: Nắm trọn chuyên đề Hàm số
• Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit và Tích phân
• Quyển 3: Hình học không gian

---

Kết luận

Tài liệu "Nắm trọn chuyên đề Hình học Oxyz và Số phức THPT 2021" của nhóm tác giả "Tư duy Toán học 4.0" là văn bản học thuật tổng hợp chuyên sâu hai phân môn Hình học giải tích không gian và Số phức lớp 12. Bằng việc phân chia hệ thống dạng bài rõ ràng, phân tầng độ khó chuẩn mực và cung cấp lời giải chi tiết 100%, tài liệu đáp ứng trực tiếp nhu cầu ôn luyện thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển đại học.

Lộ trình học tập đề xuất là tiếp cận tuần tự từ hệ tọa độ cơ bản, phương trình các mặt, bài toán tương giao, phương pháp tọa độ hóa cho đến chuyên đề số phức và các dạng toán cực trị nâng cao. Để hoàn thiện kiến thức toán THPT toàn diện, người học có thể kết hợp nghiên cứu đồng thời bốn quyển trong cùng bộ chuyên đề. Mọi ý kiến phản hồi về mặt học thuật của tài liệu được nhóm tác giả tiếp nhận qua kênh lưu hành nội bộ Blearningtuduytoanhoc4.com và fanpage 2003 - ÔN THI THPT QUỐC GIA.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 - LUYEN THI DAI HOC NAM 2021 NAM TRON CHUYEN DE HINH HOC OXYZ SO PHUC (Dùng cho hoc sinh 11,12 va luyén thi Đại học năm 2021) TAI LIEU LUU HANH NOI BO THANG 10/2020 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô và bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia là một trong những kỳ thi quan trọng nhất đối với mỗi chúng ta. Để có thể tham dự và đạt được kết quả cao nhất thì việc trang bi day đủ kiến thức và ki năng cần thiết là một điều vô cùng quan trọng. Thấu hiểu được điều đó, chúng tôi đã cúng nhau tiến hành biên soạn bộ sách “ Nắm trọn các chuyên đề môn Toán 2021 ” giúp các em học sinh ôn luyện và hoàn thiện những kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giáng dạy và tham khảo cho quý thầy cô trước sự thay đối về phương pháp dạy học và kiểm tra của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Bộ sách chúng tôi biên soạn gồm 4 quyền: e - Quyến 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số e Quyến 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ — Logarit và Tích phân e - Quyến 3: Hình học không gian e - Quyến 4: Hình học Oxyz và Số phức Trong mỗi cuốn sách, chúng tôi trình bày một cách rõ ràng và khoa học — tạo sự thuận lợi nhất cho các em học tập và tham khảo.

Đầu tiên là tóm tắt toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Tiếp theo là hệ thống các ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng ra đề của kỳ thi THPT Quốc Gia các năm gần đây bao gồm 4 mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng và Vận dụng cao. Cuối cùng 1a phan bai tập rèn luyện từ cơ bản đến nâng cao để các em hoàn thiện kiến thức, rèn tư duy và rèn luyện tốc độ làm bài. Tất cả các bài tập trong sách chúng tôi đều tiến hành giải chỉ tiết 100% đề các em tiện lợi cho việc so sánh đáp án và tra cứu thông tin.

Để có thể biên soạn đầy đủ và hoàn thiện bộ sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo một số bài toán trích từ đề thi của các Sở, trường Chuyên trên các nước và một số bài toán của các thầy/cô trên toàn quốc. Chân thành cảm ơn quý thầy cô đã sáng tạo ra các bài toán hay và các phương pháp giải toán hiệu quả nhất. Mặc dù nhóm tác giả đã tiến hành biên soạn và phản biện kĩ lưỡng nhất nhưng vẫn không tránh khỏi sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến phản hồi và đóng góp từ quý thầy cô, các em học sinh và bạn đọc đề cuốn sách trở nên hoàn thiện hơn.

Mọi ý kiến đóng góp, quý vị vui lòng gửi về địa chỉ: e Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.com ¢ Fanpage: 2003 - ÔN THỊ THPT QUOC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thay cô, các em học sinh và quý bạn đọc. Chúc quý vị có thể khai thác hiệu quả nhất các kiến thức khi cầm trên tay cuốn sách này ! Trân trọng./ NHÓM TÁC GIÁ MỤC LỤC A. PHẦN I: HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ Trang CHU DE 1: HE TOA DO TRONG KHONG GIAN 1 Dạng 1. Điểm và vecto trong hệ tọa độ xyz.-- 2-s°©csee+kseEreErkserrkeerkserrksrrks 5 Dạng 2.

Tích vô hướng và ứng ụng.--------< << <ssess+sersesrserekerkerrkeraerraersessrsrree 28 Dạng 3. Phương trình mat CẦu. <5 5h TH T100 401000040801 000410010000010400140000000030s07 59 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. Xác định vecto pháp tuyến, tính tích có hướng của mặt phẳng.

Viết phương trình mặt phẳng. Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng. Góc và khoảng cách liên quan đến mặt phẳng. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Cực trị liên quan đến mặt phẳng.rseetertttrtrtrrrke 165 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng. Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng.

Góc và khoảng cách liên quan đến đường thẳng. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán liên quan giữa đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu. Cực trị liên quan đến đường thẳng.rrrttotttrrrrkrrkke 314 CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 347 Dạng 1.

Tọa độ hóa Hình học không gian.-------< 5 55cses<csesesess 353 Dạng 2. Bài toán đại SỐ.L27107102710071027190710274007102741074127A2Asrkprke 367 CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP VỀ HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ. PHẦN II: SỐ PHỨC.----2+--ec22cc2ccc+c+++ttttttEEtEttrrrrrrrrrrie 405 Dạng toán 1: Xác định các yếu tố cơ bản của số phỨc.- - «55s s3 2 406 Dạng toán 2: Phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức.---- «+ «<< + sex 424 Dạng toán 3: Phép chia hai số phỨc. --- - - - - <6 c1 1 E93 1 ng, 437 Dạng toán 4: BT quy về giải PT, HPT và tập hợp điểm biễu diễn số phức.

448 Dạng toán 5: Phương trình bậc hai với hệ số thực. -- --- «c1 1 1s see 468 Dạng toán 6: Cực trị sỐ pỨCC. 30 000 00 T001 re 482 PHANI HINH HOC OXYZ CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ. CHỦ ĐỀ 1 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT > Trong không gian xét hệ trục @xyz, có trục Óx vuông góc với trục Óy tại Ó, và trục Óz vuông góc với mặt phẳng Oxy tai O.

Cac vecto don vi trén timg truce Ox, Oy, Oz lần lượt là i=(10;0), 7=(0:1;0), #=(0;0:1). “ Nếu a=a,ita,j+a,k thi a=(a,3a,;a,). “ Mf(Xu;Vu;Z„)SOM =xui+wj+z„Ê "_ Cho 4(x,;y„;z„)và B(*;;y;;Z;) "- Tacó: 4B=(X;—x,;yp— y„;Zg —Z„) Và AB = (X_—X,) + (Vg Va) + (Zp - Zu)? : =" M latrung điểm 4ZØ thì M⁄ [Zeta tate, Ze) 2 2 > Trong khong gian voi hé toa dd Oxyz.|P|eos(a:5) =a,b, +a,b, +a,b, iG = Ja t+a;+a; a,.b, 2 2 2 2 2 2 Va, tay tay lbp +b) +b; “a và Ò vuông góc ab=0<>a,bi+a,.b, =0 " cosø = cos(a,b) = (với az0 ,bz0) ai =kb, «ava b cing phuong akeR:a=kbo a, =kb, a, = kb, > Tich c6 hudng cia ø=(4,;4;;đ;) và b=(b,3b,3b,) la [ a,b |= (a,b, —a,b,3a,b, -a,b,;4,b, —a,b,) = ava b cing phuong © [z.c=0 = Diện tích tam giác : Š„„.2e| “_ Thể tích tứ diệnƑ,„.„ = (4B, AC) 4D = Thé tich khdi Op: Vigey, seco: =|L4B, ADI-AA| > Một số kiến thức khác = Néu A⁄ chia đoạn 4Ø theo tỉ số &( MA= kMB) thì ta có : —kx - —kz. vy = By, a 2, Es Với (k #1) = G la trong tam cua tam giac ABC x _*a†Xp+†Xc, _ Y.TYgTVc,_ _ Z4†Zp TZc góc 3 79.

3 ác 3 "Ơ là trọng tâm của tứ diện ABCD @GA+GB+GC+GD=0 (EARN) Thuc hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4. CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ. VI DU MINH HOA vi DỤ 1: Trong khéng gian véi hé toa dé Oxyz, cho vecto u = (L1:-2).

y= (1:0;m) _Tim m để goc giữa hai vecto „, bang 45°. Lời giải Chọn B uv 1—2m Iz|r| ~ Ie Je+e+(2) \P +m ) VP +m? — M6All+mÊ ©1-2m =xJ3^|I—m? <> 4m? —4m4+1=343m? (điều kiện < 2) m=2-A6. Đối chiếu điều kiện ta có m=2-V6. m=2+V6 Ta co: cos (7,7) ?)= ví DỤ 2: Trong không gian Ozz, cho hai véc tơ a— 2:1; 2,b= 0; 45:5.

Tất cả giá trị của > m dé hai véc to u — 2a + 3mb va v — ma—b vudng goc véi nhau là A #28 v2. + | V2 6 ` ` 18 Lời giải Chọn D Ta co: u= 2a 3mb = 2;2 3mAb; 41 3m3 va v= ma b= 2mm | V2; 2m V2. & 9m2\2 — 6m — 6V2 - Úm= Hs L, VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(0:—1;2) ; B(2:-3:0) ; C(-2:1;1) ; D(0;-1;3) Goi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong khong gian thoa man dang thirc MA. Biết rằng (L) là một đường tron, đường tròn đó có bán kính „ bằng bao nhiêu? Ai Bre’.

VI 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. LEARN 1 Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ. Gọi M(zx:y;z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.MB =1 Từ giả thiết: M⁄4. ATID \ 2 Ta có: LI, = V5.

Dé thay: r= n-(42) = mm. VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-2;3;1) va BS: 6; 2). Duong thang AB cat mat phang (Oxz) tai diém M. Tinh ti số AM | BM _ AM, B.

BM BM 2 BM 3 BM Lời giải Chọn B AB=(7:3:1) = AB=x/S9 AM =(x+2:—3;z—1) , x+2=7k x=-9 A,B,M thang hang > AM=k. vi DỤ 5: Trong không gian với hệ trục toa d6. Oxyz , cho bốn điểm A(2:-3;7), B(0;4;1) ; C(3;0;5) và D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức |4 + MB + MC + MD| đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó tọa độ của M là: A. Lời giải (EARN) Thuc hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4. CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ.

Chọn B Tac: AB =(-2;7;-6), AC =(1;3;-2), AD =(1;6;-4) nén | A8, AC ]. Suy ra: AB, AC, AD khéng dong phang. Gọi G là trọng tâm tứ diện 48CD. Ta có: |4 + MB+ MC + MD| = ao] =4MG.

Do đó | MA+MB+MC+ MD| nhỏ nhất khi va chỉ khi MG ngan nhat. Vậy M là hình chiếu vuông góc của Œ lên mặt phẳng (Oyz) nén M (0;1;4). vi DỤ 6: Trong không gian véi hé toa d6. Oxyz , cho bén diém A(7;2;3), B(1;4;3) ; C(1:2;6) ; D(1;2;3) va diém M tay y.

Tinh độ dai doan OM khi biéu thie P= MA+MB+MC+ \3MD dat gid tri nhỏ nhất. 321 ẤV17 som - ST, B. ou 7 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có DẢ=(6;0;0), D8=(0;2;0), DC =(0;0:3) nên tứ diện $ABCD§ là tứ diện vuông đỉnh ?. Ta có MA=,(x-6) +? +27 >|x—6|>6—x, MB=Jx°+(y~2} +z? >|y-2|>2—».

x=y=z=0 6-x>0 Vậy P dat giá trị nhỏ nhất bằng $11$, khi và chỉ khi 2-y>0 >x=y=z=0. 3—z>0 x+y+z>0 Khi dé M(1;2;3) suy ra OM =VP +2°+3 = V4. vi DU 7: Trong khéng gian Oxyz , cho bén diém A(1;1;4) ; B(5;-1;3), C(2;2;m) , D(3;1;5). Tìm tất cả giá trị thực của tham số 7# để 4, 8, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

Chon C Ta c6 AB =(4;-2;-1), AD =(2;031), | 4B, AD |=(-2;-6;4), AC =(131;m—4) Để 4, ở, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện khi 48. Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học. LEARN ] Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cau 1.