Hệ thống điều khiển hiện đại 11: Các ví dụ và bài tập thiết kế

• Tác giả: Richard C. Dorf
• Chuyên ngành: Hệ thống điều khiển
• Đề tài: Modern Control Systems
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Upper Saddle River

Tóm tắt

I. Tổng quan về Modern Control Systems 11th Edition

Modern Control Systems 11th Edition là giáo trình hàng đầu về lý thuyết điều khiển tự động. Cuốn sách do Richard C. Dorf và Robert H. Bishop biên soạn. Tài liệu cung cấp nền tảng vững chắc về hệ thống điều khiển hiện đại. Nội dung bao gồm mô hình hóa, phân tích và thiết kế hệ thống. Cuốn sách trình bày cả lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế. Nhiều ví dụ minh họa từ kỹ thuật hàng không đến robot công nghiệp. Hệ thống điều khiển vòng kín đóng vai trò trung tâm trong giáo trình. Nguyên lý phản hồi cho phép kiểm soát chính xác đầu ra mong muốn. Cuốn sách cũng giới thiệu lịch sử phát triển của điều khiển tự động. Từ cơ chế phao nổi thời Hy Lạp cổ đại đến hệ thống số ngày nay. Đây là tài liệu không thể thiếu cho sinh viên kỹ thuật điều khiển.

1.1. Cấu trúc nội dung chính của giáo trình

Giáo trình được chia thành nhiều chương logic. Chương 1 giới thiệu tổng quan về hệ thống điều khiển. Chương 2 tập trung vào mô hình hóa hàm truyền. Chương 3 trình bày phương trình trạng thái không gian. Chương 4 đến 7 đi sâu vào thiết kế bộ điều khiển. Mỗi chương đều có ví dụ thiết kế và bài tập thực hành. Hệ thống ổ đĩa đọc được sử dụng làm ví dụ xuyên suốt. Tài liệu còn bao gồm các bài toán thiết kế từ thực tế công nghiệp.

1.2. Các ví dụ thực tế nổi bật trong sách

Modern Control Systems 11th Edition sử dụng nhiều ví dụ thực tiễn. Hệ thống điều khiển hành trình ô tô là một ví dụ kinh điển. Điều khiển góc lăn máy bay phản lực được phân tích chi tiết. Hệ thống treo chủ động ô tô thể hiện ứng dụng trong giao thông. Robot phẫu thuật mắt laser minh họa cho y học hiện đại. Hệ thống điều khiển insulin tự động phục vụ ngành y tế. Tàu thăm dò sao Hỏa đại diện cho ứng dụng hàng không vũ trụ. Các ví dụ giúp người đọc liên kết lý thuyết với thực hành.

II. Phân tích các vấn đề trong hệ thống điều khiển

Hệ thống điều khiển hiện đại đối mặt nhiều thách thức phức tạp. Một vấn đề cốt lõi là sự tương quan giữa nhiều biến số điều khiển. Hệ thống đa biến đòi hỏi sơ đồ khối phức tạp hơn so với đơn biến. Ổn định phản hồi là vấn đề cần được xem xét cẩn thận. Hệ thống vòng hở đơn giản nhưng thiếu chính xác trong điều khiển. Ví dụ lò vi sóng hoạt động cố định không có phản hồi. Hệ thống vòng kín sử dụng cảm biến để đo lường và điều chỉnh. Người lái ô tô là ví dụ điển hình của hệ thống vòng kín. Họ quan sát vị trí xe trên đường và điều chỉnh vô lăng. Độ trễ thời gian và nhiễu là thách thức kỹ thuật quan trọng. Thiết kế bộ điều khiển phải đảm bảo cả hiệu suất lẫn độ ổn định.

2.1. Thách thức trong mô hình hóa hệ thống thực tế

Mô hình hóa là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Hệ thống thực tế có tính phi tuyến và không xác định. Mô hình hàm truyền tuyến tính hóa chỉ là xấp xỉ. Bài toán điều khiển máy khoan eo biển Anh đòi hỏi mô hình chính xác. Điều khiển áp suất máu yêu cầu mô hình sinh lý học phức tạp. Hệ thống phanh xe mô tô cần mô hình cơ khí chuẩn xác. Sai lệch mô hình dẫn đến hiệu suất điều khiển kém. Việc lựa chọn hàm truyền phù hợp là nhiệm vụ then chốt.

2.2. Vấn đề ổn định và đáp ứng hệ thống

Ổn định là yêu cầu tiên quyết của mọi hệ thống điều khiển. Phản hồi cải thiện độ chính xác nhưng có thể gây mất ổn định. Hệ thống phải đáp ứng nhanh nhưng không dao động quá mức. Bài toán điều khiển vệ tinh định hướng đòi hỏi độ ổn định cao. Máy bay chiến đấu cần đáp ứng nhanh ở góc lăn. Bài toán nhảy bungee minh họa hệ thống dao động tự do. Thiết kế bộ điều khiển PD giúp cải thiện cả tốc độ lẫn ổn định. Phân tích tần số và quỹ đạo nghiệm là công cụ đánh giá quan trọng.

III. Giải pháp và phương pháp điều khiển hiện đại

Modern Control Systems 11th Edition trình bày nhiều phương pháp thiết kế. Bộ điều khiển PID là công cụ phổ biến nhất trong công nghiệp. Thiết kế bằng không gian trạng thái cho phép điều khiển đa biến. Phản hồi biến trạng thái cải thiện hiệu suất hệ thống đáng kể. Phương pháp tần số sử dụng đồ thị Bode và Nyquist. Phân tích quỹ đạo nghiệm áp dụng tốt cho hệ thống đơn biến. Bộ điều khiển PD và PI được thiết kế cho nhiều ứng dụng. Hệ thống vòng trong và vòng ngoài tăng khả năng điều khiển. Điều khiển số sử dụng máy tính nhúng cho xử lý thời gian thực. Các kỹ thuật CAD/CAM hỗ trợ thiết kế ngoại tuyến hiệu quả. Công nghệ cảm biến tiên tiến mở rộng khả năng thích ứng của robot. Trí tuệ nhân tạo đang hướng tới hệ thống tự trị hoàn toàn.

3.1. Thiết kế bộ điều khiển bằng không gian trạng thái

Không gian trạng thái là phương pháp mạnh mẽ cho hệ thống đa biến. Phương trình vi phân ma trận mô tả đầy đủ động học hệ thống. Ma trận chéo hóa giúp đơn giản hóa phân tích và thiết kế. Phản hồi biến trạng thái cho phép đặt cực tự do. Phương pháp này áp dụng cho vệ tinh định hướng và robot công nghiệp. Thiết kế quan sát viên giúp ước lượng trạng thái không đo được. Bài toán điều khiển xe trên sao Hỏa sử dụng phương pháp này. Ưu điểm lớn nhất là xử lý hiệu quả hệ thống nhiều đầu vào đầu ra.

3.2. Ứng dụng điều khiển số và hệ thống nhúng

Điều khiển số sử dụng bộ vi xử lý để thực hiện thuật toán. Máy tính nhúng cho phép xử lý tín hiệu thời gian thực. Hệ thống điều khiển đĩa đọc là ứng dụng tiêu biểu. Bộ điều khiển số linh hoạt hơn bộ tương tự truyền thống. Có thể thay đổi thuật toán mà không cần sửa phần cứng. Điều khiển laser trong phẫu thuật mắt yêu cầu độ chính xác cao. Hệ thống sản xuất tự động dựa vào điều khiển số. Xu hướng hiện nay là tích hợp trí tuệ nhân tạo vào bộ điều khiển.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tế của lý thuyết điều khiển

Lý thuyết điều khiển hiện đại có ứng dụng rộng rãi trong đời sống. Ngành hàng không vũ trụ sử dụng để điều khiển vệ tinh và tàu thăm dò. Công nghiệp ô tô áp dụng cho hệ thống treo và kiểm soát lực kéo. Y học ứng dụng trong phẫu thuật robot và phân phối insulin tự động. Năng lượng tái tạo sử dụng điều khiển cho turbine gió hiệu quả. Hệ thống giao thông thông minh dựa trên nguyên lý điều khiển tự động. Robot công nghiệp ngày càng tự trị nhờ cảm biến và trí tuệ nhân tạo. Xu hướng tương lai là hệ thống tự hành với khả năng thích ứng cao. Giao diện người-máy được cải thiện để giảm gánh nặng cho vận hành viên. Modern Control Systems 11th Edition cung cấp nền tảng cho tất cả lĩnh vực này. Kiến thức từ giáo trình là công cụ thiết yếu cho kỹ sư hiện đại.

4.1. Ứng dụng trong hàng không vũ trụ và quốc phòng

Hàng không vũ trụ là lĩnh vực ứng dụng tiên tiến nhất của điều khiển. Hệ thống điều khiển tư thế máy bay đòi hỏi độ ổn định tuyệt đối. Điều khiển góc lăn máy bay chiến đấu cần đáp ứng siêu nhanh. Tàu thăm dò sao Hỏa hoạt động tự chủ trong môi trường khắc nghiệt. Vệ tinh định hướng sử dụng phản hồi biến trạng thái đa biến. Hệ thống tên lửa đẩy không gian yêu cầu điều khiển chính xác cao. Thiết kế vòng điều khiển trong và ngoài đảm bảo hiệu suất tối ưu. Ứng dụng quốc phòng thúc đẩy nghiên cứu công nghệ điều khiển tiên tiến.

4.2. Xu hướng phát triển hệ thống điều khiển tự trị

Hệ thống điều khiển đang tiến tới tự trị hóa hoàn toàn. Robot công nghiệp tích hợp cảm biến thị giác máy tính. Trí tuệ nhân tạo giúp hệ thống thích ứng với môi trường thay đổi. Lập trình CAD/CAM ngoại tuyến tăng tính phổ quát cho robot. Nghiên cứu ngôn ngữ lập trình robot mở rộng khả năng giao tiếp. Hệ thống giám sát từ xa giảm sự can thiệp của con người. Công cụ kỹ thuật số kết hợp với điều khiển tạo ra nhà máy thông minh. Tương lai là sự hội tụ giữa robot tự trị và hệ thống thông minh.

Trích đoạn nội dung tài liệu

net Design Examples and Design Problems (DP) CHAPTER I PAGE DP4.1 Speed Control System 270 Example Hybrid Fuel Vehicles 21 DP4.2 Airplane Roll Angle Control 271 Example Wind Power 22 DP4.3 Velocity Control System 271 Example Embedded Computers 23 DP4.4 Laser Eye Surgery 271 Example Rotating Disk Speed Control 25 DP4.5 Pulse Generating Op Amp 272 Example Insulin Delivery Control System 27 DP4.6 Hvdrobot 272 Example Disk Drive Read System 28 CDP1.1 Traction Drive Motor Control 38 CHAPTER 5 DP1.1 Automobile Noise Control 38 Example Hubble Telescope Pointing 316 DP 1.2 Automobile Cruise Control 38 Example Attitude Control of an Airplane 319 DP 1.3 Dairy Farm Automation 38 Example Disk Drive Read System 333 DPI.4 Welder Control 38 CDP5.1 Traction Drive Motor Control 349 DP1.5 Automobile Traction Control 38 DP5.1 Jet Fighter Roll Angle Control 349 DP1.6 Hubble Telescope Vibration 39 DP5.2 Welding Arm Position Control 349 DPI.7 Nanorobotics in Medicine 39 DP5.3 Automobile Active Suspension 349 DP5.4 Satellite Orientation Control 350 CHAPTER 2 DP5.5 De-burring Robot for Machined Example Fluid Flow Modeling 83 Parts 350 Example Electric Traction Motor Control 93 DP5.6 DC Motor Position Control 351 Example Mechanical Accelerometer 95 Example Laboratory Robot 98 CHAPTER 6 Example Low-Pass Filter 99 Example Tracked Vehicle Turning 373 www.net Example Disk Drive Read System CDP2.1 Traction Drive Motor Control 117 139 Example Robot-Controlled Motorcycle Example Disk Drive Read System 375 390 DP2.1 Selection of Transfer Functions 139 CDP6.1 Traction Drive Motor Control 402 DP2.2 Television Beam Circuit 139 DP6.1 Automobile Ignition Control 402 DP2.3 Transfer Function Determination 139 DP6.2 Mars Guided Vehicle Control 403 DP2.4 Op Amp Differentiating Circuit 139 DP6.3 Parameter Selection 403 DP6.4 Space Shuttle Rocket 403 DP6.5 Traffic Control System 403 CHAPTER 3 DP6.6 State Variable Feedback 403 Example Modeling the Orientation of a DP6/7 Inner and Outer Loop Control 404 Space Station 176 DP6.8 PD Controller Design 404 Example Printer Bell Drive 183 Example Disk Drive Read System 192 CHAPTER 7 CDP3.1 Traction Drive Motor Control 21)8 Example Laser Manipulator Control 447 DP3.1 Shock Absorber for Motorcycle 208 Example Robot Control System 448 DP3.2 Diagonal Matrix Differential Example Automobile Velocity Control 452 Equation 209 Example Disk Drive Read System 463 DP3.3 Aircraft Arresting Gear 209 CDP7.1 Traction Drive Motor Control 485 DP3.4 Bungi Jumping System 209 DP7.1 Pitch Rate Aircraft Control 485 DP3.5 State Variable Feedback 209 DP7.2 Helicopter Velocity Control 485 DP7.3 Mars Rover 486 CHAPTER 4 DP7.4 Remotely Controlled Welder 486 Example English Channel Boring DP7.5 ' High-Performancc Jet Aircraft 486 Machines 232 DP7.6 Control of Walking Motion 486 Example Mars Rover Vehicle 235 DP7.7 OP Amp Control System 487 Example Blood Pressure Control 237 DP7.8 Robot Arm Elbow Joint Example Disk Drive Read System 251 Actuator 487 CDP4.1 Traction Drive Motor Control 270 DP7.9 Four-Wheel-Steered Automobile 487 www.10 Pilot Crane Control 488 DP10.10 Windmill Radiometer 751 DP7.11 Planetary Rover Vehicle 488 DP10.11 Control with Time Delay 752 DP7.12 Roll Angle Aircraft Autopilot 489 DP10.12 Loop Shaping 752 DP7.13 PD Control of a Marginally Stable Process 489 CHAPTER 11 Example Automatic Test System 795 CHAPTER 8 Example Diesel Electric Locomotive 798 Example Engraving Machine Control 523 Example Disk Drive Read System 810 Example Control of a Six-Legged Robot 526 CDP11.1 Traction Drive Motor Control 821 Example Disk Drive Read System 540 DPI LI Levitation of a Steel Ball 821 CDP8.1 Traction Drive Motor Control 561 DPI 1.2 Automobile Carburetor 821 DP8.1 Automobile Steering System 561 DPI 1.3 Sta te Variable Compensation 821 DP8.2 Autonomous Planetary DP11.4 Helicopter Control 822 Explorer-Ambler 561 DP1L5 Manufacturing of Paper 822 DP8.3 Vial Position Control Under a DPI 1.6 Coupled-Drive Control 823 Dispenser 561 DPI 1.7 Tracking a Reference Input 823 DP8.4 Automatic Anesthesia Control 561 DP8.5 Black Box Control 563 CHAPTER 12 DP8.6 State Variable System Design 563 Example Aircraft Autopilot 853 Example Space Telescope Control 853 CHAPTER 9 Example Robust Bobbin Drive 856 Example Remotely Controlled Example Ultra-Precision Diamond Reconnaissance Vehicle 607 Turning Machine 858 Example Hot Ingot Robot Control 610 Example Digital Audio Tape Controller 861 Example Disk Drive Read System 629 Example Disk Drive Read System 876 DP9.1 Traction Drive Motor Control Mobile Robot for Toxic Waste 659 CDP12.1 Traction Drive Motor Control DP12.1 Turntable Position Control 891 891 Cleanup 659 DP12.2 Robust Parameter Design 891 DP9.2 Control of a Flexible Arm 659 DP12.3 Dexterous Hand Master 891 DP9.3 Blood Pressure Regulator 659 DP12.4 Microscope Control 892 DP9.4 Robot Tennis Player 659 DP12.5 Microscope Control 893 DP9.5 Electrohydraulic Actuator 659 DP12.6 Artificial Control of Leg DP9.6 Steel Strip-Rolling Mill 659 Articulation 893 DP9.7 Lunar Vehicle Control DP 12.7 Elevator Position Control 894 DP9.8 High-Speed Steel-Rolling Mill 662 DP12.8 Electric Ventricular Assist DP9.9 Two-Tank Temperature Control 662 Device 894 DP9.10 State Variable Feedback Control 663 DP12.9 Space Robot Control 895 DP12.10 Solar Panel Pointing Control 896 DP12.11 Magnetically Levitated Train 896 CHAPTER 10 DP12,12 Mars Guided Vehicle Control 896 Example Rotor Winder Control System 707 DP12.13 Benchmark Mass-Spring 896 Example The X-Y Plotter 711 Example Milling Machine Control System 714 Example Disk Drive Read System 726 CHAPTER 13 CDP10.1 Traction Drive Motor Control 747 Example Worktable Motion Control 926 DP10.1 Two Cooperating Robots 747 Example Fly-by-wire Aircraft Control 928 DPI 0.2 Heading Control of a Bi-Wing Example Disk Drive Read System 940 Aircraft 747 CDP13.1 Traction Drive Motor Control 947 DP10.3 Mast Flight System 747 DP13.1 Temperature Control System 947 DP10.4 Robot Control Using Vision 749 DP13.2 Disk Drive Read-Write Head- DP10.5 High-Speed Train Tilt Control 749 Positioning System 947 DP10.6 Large Antenna Control 749 DP13.3 Vehicle Traction Control 947 DPI 0.7 Tape Transport Speed Control 750 DP13.4 Machine-Tool System 948 DP10,8 Automobile Engine Control 750 DP13.5 Polymer Extruder Control 948 DP10.9 Aircraft Roll Angle Control 751 DP13.6 Sampled-Data System 948 www.net Modern Control Systems ELEVENTH EDITION Richard C. Dorf University of California, Davis Robert H.net The University of Texas at Austin Pearson Education International www.net If you purchased this book within the United States or Canada you should be aware that it has been wrongfully imported without the approval of the Publisher or the Author. Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia L Horton Acquistions Editor: Michael McDonald Senior Managing Editor: Scott Disanno Senior Production Editor: Irwin Zucker Art Editor: Greg Dulles Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long Manufacturing Buyer: Lisa McDowell Senior Marketing Manager: Tim Galligan © 2008 Pearson Education, Inc. Pearson Prentice Hall Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, NJ 07458 All rights reserved. No part of this book may be reproduced, in any form or by any means, without permission in www.net writing from the publisher. Pearson Prentice Hall® is a trademark of Pearson Education, Ina MATLAB is a registered trademark of The Math Works, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, MA 01760-1520 The author and publisher of this book have used their best efforts in preparing this book. These efforts include the development, research, and testing of the theories and programs to determine their effectiveness. The author and publisher make no warranty of any kind, expressed or implied, with regard to these programs or the documenta- tion contained in this book. The author and publisher shall not be liable in any event for incidental or consequen- tial damages in connection with, or arising out of, the furnishing, performance, or use of these programs. Printed in Singapore 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ISBN 0-13-20L710-2 ^-0-13-201,710-2 Pearson Education Ltd., London Pearson Education Australia Pty., Sydney Pearson Education Singapore, Pte. Pearson Education North Asia Ltd., Hong Kong Pearson Education Canada, Inc., Toronto Pearson Educacion de Mexico, S. Pearson Education—Japan, Tokyo Pearson Education Malaysia, Pte. Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey www.net Of the greater teachers— when they are gone, their students will say: we did it ourselves. Dedicated to Lynda Ferrera Bishop and Joy MacDonald Dorf In grateful appreciation www.net Contents Preface xiii About the Authors xxv CHAPTER 1 Introduction to Control Systems 1 1.2 Brief History of Automatic Control 4 1.3 Examples of Control Systems 8 1.5 Control System Design 17 1.6 Mechatronic Systems 20 1-7 The Future Evolution of Control Systems 24 1.9 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 28 1.10 Summary 30 Exercises 30 Problems 31 www.net Advanced Problems 36 Design Problems 38 Terms and Concepts 39 CHAPTER 2 Mathematical Models of Systems 41 2.2 Differential Equations of Physical Systems 42 2.3 Linear Approximations of Physical Systems 47 2.4 The Laplace Transform 50 2.5 The Transfer Function of Linear Systems 57 2.6 Block Diagram Models 71 2.7 Signal-Flow Graph Models 76 2.9 The Simulation of Systems Using Control Design Software 102 2.10 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 117 2.11 Summary 119 Exercises 120 Problems 126 Advanced Problems 137 Design Problems 139 Computer Problems 140 Terms and Concepts 142 v www.net vi Contents CHAPTER 3 State Variable Models 144 3.2 The State Variables of a Dynamic System 145 3.3 The State Differential Equation 149 3.4 Signal-Flow Graph and Block Diagram Models 154 3.5 Alternative Signal-Flow Graph and Block Diagram Models 165 3.6 The Transfer Function from the State Equation 170 3.7 The Time Response and the State Transition Matrix 172 3.9 Analysis of State Variable Models Using Control Design Software 189 3.10 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 192 3.11 Summary 196 Exercises 197 Problems 199 Advanced Problems 207 Design Problems 208 Computer Problems 210 Terms and Concepts 211 CHAPTER 4 Feedback Control System Characteristics 212 41 www.2 Error Signal Analysis 215 4.3 Sensitivity of Control Systems to Parameter Variations 217 4.4 Disturbance Signals in a Feedback Control System 220 4.5 Control of the Transient Response 225 4.6 Steady-State Error 228 4.7 The Cost of Feedback 231 4.9 Control System Characteristics Using Control Design Software 246 4.10 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 251 4.11 Summary 255 Exercises 257 Problems 261 Advanced Problems 267 Design Problems 270 Computer Problems 273 Terms and Concepts 276 CHAPTER 5 The Performance of Feedback Control Systems 277 5.2 Test Input Signals 278 5.3 Performance of Second-Order Systems 281 www.net Contents VII 5.4 Effects of a Third Pole and a Zero on the Second-Order System Response 287 5.5 The s-Plane Root Location and the Transient Response 293 5.6 The Steady-State Error of Feedback Control Systems 295 5*7 Performance Indices 303 5.8 The Simplification of Linear Systems 312 5.10 System Performance Using Control Design Software 329 5.11 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 333 5.12 Summary 337 Exercises 337 Problems 341 Advanced Problems 346 Design Problems 348 Computer Problems 350 Terms and Concepts 353 CHAPTER 6 The Stability of Linear Feedback Systems 355 6.1 The Concept of Stability 356 6.2 The Routh-Hurwitz Stability Criterion 360 www.4 The Relative Stability of Feedback Control Systems 368 The Stability of State Variable Systems 370 6.6 System Stability Using Control Design Software 382 6.7 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 390 6.8 Summary 393 Exercises 394 Problems 396 Advanced Problems 400 Design Problems 402 Computer Problems 404 Terms and Concepts 406 CHAPTER The Root Locus Method 407 7.2 The Root Locus Concept 408 7.3 The Root Locus Procedure 413 7.4 Parameter Design by the Root Locus Method 431 7.5 Sensitivity and the Root Locus 437 7.6 Three-Term (PID) Controllers 444 7.8 The Root Locus Using Control Design Software 458 7.9 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 463 www.net viii Contents 7*10 Summary 465 Exercises 469 Problems 472 Advanced Problems 482 Design Problems 485 Computer Problems 490 Terms and Concepts 492 CHAPTER 8 Frequency Response Methods 493 8.2 Frequency Response Plots 496 83 Frequency Response Measurements 517 8.4 Performance Specifications in the Frequency Domain 519 8.5 Log Magnitude and Phase Diagrams 522 8.7 Frequency Response Methods Using Control Design Software 534 8.8 Sequential Design Example: Disk Drive Read System 540 8.9 Summary 541 Exercises 546 Problems 549 www.net Advanced Problems 558 Design Problems 560 Computer Problems 564 Terms and Concepts 566 CHAPTER 9 Stability in the Frequency Domain 567 9.2 Mapping Contours in the s-Plane 569 9.3 The Nyquist Criterion 575 9.4 Relative Stability and the Nyquist Criterion 586 9.