Tổng hợp lý thuyết và trắc nghiệm Toán 12 - Phần cực trị hàm số (GV: Doãn Thịnh)

• Người hướng dẫn: GV. Doãn Thịnh
• Trường học: Trung Tâm GDNN - GDTX Thuận An
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 12
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Bình Dương

Tóm tắt

I. Tổng quan lý thuyết và trắc nghiệm toán lớp 12

Lý thuyết và trắc nghiệm toán lớp 12 bao gồm hai phần chính: Giải tích và Hình học không gian. Phần Giải tích tập trung vào ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số, hàm số mũ - logarit, nguyên hàm - tích phân và số phức. Phần Hình học không gian gồm khối đa diện, mặt tròn xoay và phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trắc nghiệm được xây dựng bám sát chương trình sách giáo khoa. Các câu hỏi trắc nghiệm kiểm tra khả năng vận dụng công thức, định lý vào giải bài toán cụ thể. Mỗi chương đều có phần lý thuyết tóm tắt giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng. Bài tập trắc nghiệm phân loại theo mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng. Việc kết hợp lý thuyết và trắc nghiệm giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT. Tài liệu thường do giáo viên biên soạn, sưu tầm từ nhiều nguồn uy tín.

1.1. Cấu trúc chương trình toán lớp 12

Chương trình toán lớp 12 được chia thành Phần I Giải tích và Phần II Hình học. Phần Giải tích gồm bốn chương: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số, Hàm số mũ và logarit, Nguyên hàm và tích phân, Số phức. Phần II gồm ba chương: Khối đa diện, Mặt tròn xoay và mặt cầu, Phương pháp tọa độ trong không gian. Mỗi chương bao gồm nhiều bài học với lý thuyết và bài tập thực hành. Học sinh cần nắm vững kiến thức từng chương để vận dụng linh hoạt vào các dạng toán trắc nghiệm phức tạp.

1.2. Vai trò của trắc nghiệm trong học tập toán 12

Trắc nghiệm toán lớp 12 đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức. Mỗi câu trắc nghiệm yêu cầu học sinh tư duy nhanh, lựa chọn đáp án đúng trong thời gian giới hạn. Hình thức này giúp rèn luyện kỹ năng tính toán, phân tích và phán đoán. Trắc nghiệm cũng hỗ trợ ôn tập hiệu quả cho kỳ thi tốt nghiệp THPT. Học sinh dễ dàng nhận biết điểm mạnh, điểm yếu qua kết quả làm bài. Việc luyện tập thường xuyên giúp tăng tốc độ xử lý và độ chính xác khi thi thật.

II. Phân tích các dạng toán trắc nghiệm thường gặp

Các dạng toán trắc nghiệm toán lớp 12 rất đa dạng. Phần khảo sát hàm số tập trung vào xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị. Học sinh cần nắm vững quy tắc tính đạo hàm và bảng biến thiên. Phần hàm số mũ và logarit yêu cầu giải phương trình, bất phương trình chứa hàm mũ, logarit. Nguyên hàm và tích phân đòi hỏi kỹ năng tính toán chính xác các积分 cơ bản. Số phức liên quan đến phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phương trình bậc hai hệ số phức. Hình học không gian tập trung vào tính thể tích khối đa diện, diện tích mặt cầu và phương trình mặt phẳng. Đường thẳng trong không gian cũng là dạng toán phổ biến. Mỗi dạng có cách tiếp cận riêng, đòi hỏi học sinh hiểu rõ bản chất lý thuyết trước khi áp dụng công thức.

2.1. Dạng toán khảo sát hàm số và cực trị

Khảo sát hàm số là dạng toán trọng tâm trong chương trình lớp 12. Học sinh phải xác định tập xác định, tính đạo hàm, lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Các hàm số thường gặp gồm hàm bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ, hàm số chứa ẩn trong mũ. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng thuộc dạng này. Cần lưu ý điều kiện xác định khi hàm có mẫu số hoặc dấu căn. Luyện tập nhiều giúp nhận diện nhanh dạng toán và áp dụng phương pháp phù hợp.

2.2. Dạng toán phương trình mũ và logarit

Phương trình mũ và logarit xuất hiện nhiều trong đề thi trắc nghiệm. Dạng cơ bản là giải phương trình có dạng a^x = b hoặc log_a(x) = b. Dạng nâng cao yêu cầu biến đổi để đưa về cùng cơ số hoặc sử dụng tính chất logarit. Bất phương trình mũ, logarit cũng cần nắm vững quy tắc so sánh và điều kiện xác định. Một số bài toán kết hợp hàm mũ với hàm số khác đòi hỏi kỹ năng phân tích nâng cao. Học sinh nên ghi nhớ bảng giá trị logarit thường dùng để tính toán nhanh hơn.

III. Phương pháp học lý thuyết và luyện trắc nghiệm hiệu quả

Học lý thuyết toán lớp 12 hiệu quả bắt đầu từ việc đọc kỹ sách giáo khoa. Mỗi định lý, công thức cần hiểu rõ điều kiện áp dụng và cách chứng minh. Ghi chép sổ tay các công thức quan trọng giúp ôn tập nhanh chóng. Sau khi nắm lý thuyết, chuyển sang luyện tập trắc nghiệm theo từng chuyên đề. Bắt đầu với câu hỏi mức độ nhận biết, dần tăng lên vận dụng cao. Mỗi lần làm bài xong cần xem lại đáp án, phân tích lỗi sai. Lập bảng tổng hợp các dạng toán thường gặp để hệ thống hóa kiến thức. Học nhóm cũng là phương pháp hữu ích, giúp trao đổi và giải đáp thắc mắc. Kiên trì luyện tập hàng ngày sẽ mang lại kết quả tốt trong kỳ thi cuối kỳ và tốt nghiệp THPT.

3.1. Kỹ thuật ghi nhớ công thức và lý thuyết

Ghi nhớ công thức toán lớp 12 đòi hỏi phương pháp khoa học. Sử dụng sơ đồ tư duy để liên kết các kiến thức trong cùng một chương. Viết công thức ra giấy và dán ở nơi dễ nhìn thấy mỗi ngày. Liên hệ công thức với bài toán cụ thể giúp nhớ lâu hơn so với học thuộc lòng. Ôn tập định kỳ theo nguyên tắc lặp lại cách quãng tăng khả năng ghi nhớ dài hạn. Nhóm công thức theo chủ đề như đạo hàm, tích phân, số phức để dễ tra cứu. Áp dụng ngay vào bài tập sau khi học lý thuyết giúp củng cố kiến thức vững chắc.

3.2. Chiến lược làm bài trắc nghiệm đạt điểm cao

Làm bài trắc nghiệm toán lớp 12 cần chiến lược rõ ràng. Đọc lướt toàn bộ đề để đánh giá mức độ khó dễ của từng câu. Ưu tiên làm câu dễ trước để đảm bảo điểm cơ bản. Với câu khó, dùng phương pháp loại trừ để tăng xác suất chọn đúng đáp án. Quản lý thời gian hợp lý, không dành quá nhiều thời gian cho một câu. Kiểm tra lại bài trước khi nộp để sửa lỗi tính toán nhỏ. Luyện đề thi thử thường xuyên giúp quen áp lực thời gian và format đề thi thật. Ghi lại các lỗi sai thường gặp để rút kinh nghiệm cho lần sau.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tế của toán lớp 12

Toán lớp 12 không chỉ phục vụ kỳ thi tốt nghiệp THPT mà còn có ứng dụng rộng rãi. Kiến thức đạo hàm và tích phân được sử dụng trong vật lý, kinh tế, kỹ thuật. Hàm số mũ và logarit xuất hiện trong mô hình tăng trưởng dân số, lãi suất ngân hàng. Hình học không gian phục vụ ngành kiến trúc, xây dựng, thiết kế công nghiệp. Số phức được ứng dụng trong kỹ thuật điện tử và xử lý tín hiệu. Việc học tốt toán lớp 12 tạo nền tảng vững chắc cho bậc đại học. Sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật đều cần kiến thức này. Ngoài ra, tư duy logic rèn luyện qua học toán giúp giải quyết vấn đề hiệu quả trong cuộc sống. Đầu tư thời gian và công sức vào môn toán lớp 12 là khoản đầu tư có giá trị lâu dài cho tương lai.

4.1. Ứng dụng tích phân trong đời sống

Tích phân có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống hàng ngày. Trong vật lý, tích phân dùng để tính quãng đường, công của lực, điện tích dòng điện. Ngành kinh tế sử dụng tích phân để tính lợi nhuận biên, chi phí biên và tổng doanh thu. Kỹ sư xây dựng áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể không đều, diện tích bề mặt cong. Trong y học, tích phân giúp mô hình hóa sự lan truyền của dịch bệnh. Học sinh hiểu rõ ứng dụng thực tế sẽ có động lực học tập tốt hơn. Kiến thức tích phân lớp 12 là bước đệm quan trọng cho các môn học đại học sau này.

4.2. tầm quan trọng của toán lớp 12 cho tương lai

Toán lớp 12 là cầu nối giữa chương trình phổ thông và đại học. Điểm thi tốt nghiệp môn toán ảnh hưởng trực tiếp đến cơ hội trúng tuyển đại học. Nhiều trường đại học sử dụng điểm toán làm tiêu chí xét tuyển chính. Kiến thức toán lớp 12 cũng phục vụ các kỳ thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy. Trong thời đại công nghệ số, tư duy toán học giúp học sinh thích ứng nhanh với các công việc liên quan đến dữ liệu, lập trình, trí tuệ nhân tạo. Xây dựng nền tảng toán vững chắc từ lớp 12 mở ra nhiều cơ hội học tập và nghề nghiệp trong tương lai.

Trích đoạn nội dung tài liệu

y Điểm cực đại của đồ 1 thị Giá trị cực TRUNG TÂM GDNN - GDTX THUẬN AN đại (cực đại) của hàm số TỔ TOÁN yCĐ Điểm cực Điểm cực đại của hàm tiểu của số hàm số xCT xCĐ O x yCT Giá trị cực Điểm cực tiểu (cực tiểu) tiểu của đồ 12 của hàm số thị TOÁN TOÁN LÝ LÝ LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT THUYẾT THUYẾT & && TRẮC TRẮC NGHIỆM TRẮC NGHIỆM NGHIỆM Hữu chí cánh thành! LƯU HÀNH NỘI BỘ y BÌNH DƯƠNG - 2021 MỤC LỤC 7 GV: Doãn Thịnh MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH 3 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. KHẢO SÁT HÀM SỐ 5 1 SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 5 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 30 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 63 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 75 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 93 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT 137 1 LŨY THỪA 137 2 HÀM SỐ LŨY THỪA 146 3 LOGARIT 157 4 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT 167 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 187 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 208 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 225 1 NGUYÊN HÀM 225 2 TÍCH PHÂN 255 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 282 CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC 303 1 SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 303 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC 326 1 Sưu tầm và biên soạn MỤC LỤC 7 GV: Doãn Thịnh PHẦN II HÌNH HỌC 341 CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN 343 1 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 343 2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 347 3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 352 CHƯƠNG 2 MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 401 1 KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 401 2 MẶT CẦU 420 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 437 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 437 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 469 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 496 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh PHẦN I GIẢI TÍCH 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên K , ta có Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 thì f ( x1 ) < f ( x2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K . x2 − x1 O x Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. x2 − x1 O x Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f 0 ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b). Nếu hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f 0 ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b). Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Cho u = u( x), v = v( x) và C là hằng số. v v2 u u2 4 Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f ( u) với u = u( x) thì yx0 = yu0 · u0x . 5 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh 3 CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC ax + b ax + b 0 ad − bc µ ¶ 0 1 y= ⇒y = = . cx + d cx + d ( cx + d )2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯a b¯ ¯a c¯¯ ¯b c¯¯ ¯ 2 x + 2 x + ¯ ¯ ¯ 0 0¯ 0 0¯ ¯ 0 0 c0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 a b a c ¯b ax + bx + c ax + bx + c µ ¶ ¯ ¯ 0 2 y= 0 2 ⇒ y = = . a0 x2 + b 0 x + c 0 ¢2 a x + b0 x + c0 ¡ a0 x2 + b 0 x + c 0 4 BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp 0 ( C ) = 0, (C là hằng số) ( xα )0 = α · xα−1 ( uα )0 = α · uα−1 · u0 µ ¶0 µ ¶0 1 1 1 u0 = − 2 , ( x 6= 0) = − 2 , ( u 6= 0) x x u u p 0 1 p 0 u0 ( x) = p , ( x > 0) ( u) = p , ( u > 0) 2 x 2 u 0 (sin x) = cos x (sin u) = u0 · cos u 0 (cos x)0 = − sin x (cos u)0 = − u0 · sin u 1 u0 (tan x)0 = (tan u)0 = cos2 x cos2 0u 1 u (cot x)0 = − 2 (cot u)0 = − 2 sin x sin u (sinn x)0 = n · sinn−1 x · cos x (sinn u)0 = n · u0 · sinn−1 u · cos u (cosn x)0 = − n · cosn−1 x · sin x (cosn u)0 = − n · u0 · cosn−1 u · sin u 1 1 (tann x)0 = n · tann−1 x · (tann u)0 = n · u0 · tann−1 u · cos2 x cos2 u 1 1 (cotn x)0 = − n · cotn−1 x · (cotn u)0 = − n · u0 · cotn−1 u · sin2 x sin2 u x 0 x u 0 0 u (e ) = e (e ) = u · e (a x )0 = a x · ln a (a u )0 = u0 · a u · ln a 1 u0 (ln | x|)0 = , ( x 6= 0) 0 (ln | u|) = , ( u 6= 0) x u ¡ ¢0 1 ¡ ¢0 u0 loga | x| = , ( x 6= 0) loga | u| = , ( u 6= 0) x ln a u · ln a 5 MỘT SỐ CHÚ Ý Nếu hàm số f ( x) và g( x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f ( x) + g( x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f ( x) − g( x). Nếu hàm số f ( x) và g( x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f ( x) · g( x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f ( x), g( x) không là các hàm số dương trên K . 6 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh B CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x) trên tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm y0 = f 0 ( x). Bước 3: Tìm nghiệm của f 0 ( x) hoặc những giá trị x làm cho f 0 ( x) không xác định. Bước 4: Lập bảng biến thiên. Bước 5: Kết luận. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 − 3 x2 + 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 4 x + 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3 x2 + 9 x − 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 2 x2 . 7 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh Lời giải: . Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4 x2 . Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = . Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y = . Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2 x − x2 . 8 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh Lời giải: . Tìm tham số m để hàm bậc ba, hàm nhất biến, hàm bậc hai trên bậc 1 đơn điệu trên tập xác định hoặc từng khoảng xác định ax + b d 1 Hàm nhất biến có dạng y = , điều kiện x 6= − . cx + d c Đồng biến ad − bc > 0. Nghịch biến ad − bc < 0. 2 Hàm bậc ba có dạng ( y = ax3 + bx2 + cx + d . b2 − 3ac ≤ 0 ( a<0 Nghịch biến . b2 − 3ac ≤ 0 Suy biến tức là a = b = 0 hàm số trở thành hàm bậc nhất, dễ thấy hàm số đồng biến nếu c > 0 và hàm số nghịch biến nếu c < 0. Tìm m để hàm số y = đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). Cho hàm số y = (m + 1) x3 − (m − 3) x2 + (m + 5) x − 1. Tất cả các giá trị của m để 3 hàm số đồng biến trên tập xác định. 9 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh ax + b { Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số y = đơn điệu trên một khoảng (m; n) cx + d d Bước 1: Điều kiện xác định x 6= − . c ad − bc Bước 2: Tính y0 = . Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = nghịch biến x−m trên khoảng (0; +∞)? Lời giải: . 10 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh { Dạng 4. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) đơn điệu trên khoảng (a; b) Phương pháp 1 : Khi f 0 ( x) = 0 nhẩm được nghiệm. x = x2 Bước 3: Lập bảng biến thiên. Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện để hàm số đơn điệu trên (a; b). Phương pháp 2 : Khi f 0 ( x) = 0 không nhẩm được nghiệm. Bước 2: Cô lập m, đưa về một trong các dạng sau: m ≥ g( x), ∀ x ∈ K ⇔ m ≥ max g( x). Cho hàm số y = x3 − 3 x2 − mx + 2.