I. Lý thuyết Nevanlinna và hình vành khuyên
Lý thuyết Nevanlinna là một trong những thành tựu quan trọng của toán học giải tích, tập trung vào việc nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Trong luận án, hình vành khuyên được xem xét như một miền phức đặc biệt, nơi các định lý cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna được mở rộng. Các kết quả chính bao gồm việc thiết lập Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên. Những định lý này không chỉ mở rộng phạm vi ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinna mà còn cung cấp công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến hàm phân hình và đường cong chỉnh hình.
1.1. Định lý cơ bản thứ nhất
Định lý cơ bản thứ nhất trong luận án thiết lập mối quan hệ giữa hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan và các hàm xấp xỉ, hàm đếm. Đối với đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên, định lý này cho thấy sự cân bằng giữa hàm đặc trưng và các giá trị của hàm tại các điểm cụ thể. Điều này không chỉ củng cố nền tảng lý thuyết mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong giải tích phức.
1.2. Định lý cơ bản thứ hai
Định lý cơ bản thứ hai được mở rộng cho trường hợp đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Định lý này thiết lập một bất đẳng thức quan trọng giữa hàm đặc trưng và các hàm đếm bội cắt cụt. Kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình.
II. Vấn đề duy nhất trong luận án tiến sĩ
Vấn đề duy nhất là một trong những chủ đề trọng tâm của luận án, tập trung vào việc xác định các điều kiện để hai đường cong chỉnh hình hoặc hai hàm phân hình là trùng nhau. Luận án đã thiết lập các điều kiện đủ để hai đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên là trùng nhau khi chúng có cùng ảnh ngược tại các siêu mặt cụ thể. Những kết quả này không chỉ mở rộng các nghiên cứu trước đây mà còn cung cấp công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến vấn đề duy nhất trong toán học giải tích.
2.1. Điều kiện đủ cho sự trùng nhau
Luận án đã thiết lập các điều kiện đủ để hai đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên là trùng nhau. Các điều kiện này dựa trên việc so sánh ảnh ngược của các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình.
2.2. Ứng dụng trong giả thuyết Bru ck
Luận án cũng nghiên cứu vấn đề duy nhất liên quan đến giả thuyết Brück, một giả thuyết quan trọng trong lý thuyết hàm phân hình. Các kết quả đạt được bao gồm việc thiết lập các điều kiện để hai hàm phân hình là trùng nhau khi chúng thỏa mãn các điều kiện cụ thể liên quan đến đạo hàm và giá trị của hàm. Những kết quả này góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Brück và mở ra hướng nghiên cứu mới trong toán học giải tích.
III. Giá trị và ứng dụng thực tiễn
Luận án không chỉ có giá trị lý thuyết cao mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Các kết quả về Lý thuyết Nevanlinna và vấn đề duy nhất được ứng dụng trong nghiên cứu hệ động lực phức, phương trình vi phân phức, và các vấn đề liên quan đến hàm phân hình. Những ứng dụng này không chỉ khẳng định giá trị của luận án mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong tương lai.
3.1. Ứng dụng trong hệ động lực phức
Các kết quả của luận án được ứng dụng trong nghiên cứu hệ động lực phức, một lĩnh vực quan trọng của toán học giải tích. Việc áp dụng Lý thuyết Nevanlinna và vấn đề duy nhất giúp giải quyết các bài toán liên quan đến sự phân bố giá trị của các hàm trong hệ động lực phức.
3.2. Ứng dụng trong phương trình vi phân phức
Luận án cũng cung cấp công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu phương trình vi phân phức. Các kết quả về vấn đề duy nhất và Lý thuyết Nevanlinna được sử dụng để phân tích và giải các phương trình vi phân phức, góp phần làm sáng tỏ cấu trúc và tính chất của các nghiệm của phương trình.
