mở đầu cho các nghiên cứu về vấn đề duy nhất cho ánh xạ chỉnh hình. Tiếp theo công trình này, năm 1983, L. Smiley ({46]) giới thiệu một kết quả mới về vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính bởi ảnh ngược của một họ hữu hạn các siêu phẳng, vấn đề này được H. Eujimoto ([16]) nghiên cứu lại năm 1998.
Tan ([13]) xem xét vấn đề tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động. Năm 2008, bằng việc sử dụng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình của An-Phuong ([1]), Dulock va Ru ([14]) đã chứng minh một số định lý duy nhất cho đường cong chỉnh hình trong trường hợp siêu mặt. Phuong da chttng minh một số kết quả về vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình với mục tiêu là các siêu phẳng cố định hay di động (xem [35], [36]). Và nhiều kết quả khác về vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình trong trường hợp nhiều biến được công bố bởi M.
Chú ý rằng, hầu hết những chứng minh của các kết quả về tập xác định duy nhất đều dựa vào các dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt. Đối với vấn đề duy nhất cho hàm phân hình, năm 1926, R. Nevanlinna chứng minh: Hai ham phan hinh phiic khac hang f,g thoa man f-(a;) = 9 1{a;), ¡ = 1,. Kết quả này của Nevanlinna cho thấy hai hàm phân hình được xác định duy nhất bởi ảnh ngược của năm điểm phân biệt.
Tiếp theo công trình Nevanlinna, có rất nhiều công trình của các tác giả trong và ngoài nước được công bố, tập trung vào các hướng: các hàm phân hình chung nhau một phần tử hay một tập hợp, có tính bội và không tính bội. Kí hiệu log log T(r, øa(ƒ) = lim inf =5 S8 VJ7 (r; Ny r 00 logr Cho ƒ, ø là hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức và a € C. Ta nói hàm ƒ và ø chung nhau giá trị ø không kể bội nếu f — a va g — a c6 cing các không điểm, ƒ và ø chung nhau giá trị ø kể cả bội nếu ƒ — a và g — a có cùng các không điểm kể cả bội. Năm 1996, trong bài báo ({2]), Briek đã đặt ra giả thuyết mà về sau chúng ta quen gọi là giả thuyết Brủck: cho ƒ là một hàm nguyên thỏa mãn ơa(ƒ) không là một số nguyên hay oo.
Nếu f va f' chung nhau một giá trị hữu hạn a € C kể cả bội thà =c, trong do e là mmột hằng số nào đó. Chú ý rằng, giả thuyết trên đã được Brủck chứng minh trong trường hợp ø = 0 trong bài báo [2]. Năm 1998, Gundersen và Yang ([18]) đã chứng minh giả thuyết Brick đúng khi ƒ là hàm nguyên có bậc hữu hạn (không phải là số nguyên). Trong trường hợp ƒ là một hàm 1.
, có bậc vô hạn với øa(ƒ) < 3 gia thuyết Brủck được chứng mình bởi Chen và Shon (xem [10]). Trường hợp øa(ƒ) > 5 vẫn còn là một vấn đề mở. Một hướng nghiên cứu thú vị khác về vấn đề duy nhất liên quan đến giả thuyết Brũck là thay ƒ với ƒ”, thay thế ƒ bởi một đa thức vi phân hoặc thay thế ø bởi một đa thức hay một hàm. Zhang ([52]) đã chứng minh một kết quả liên quan đến giả thuyết Brủck như sau: cho f là một hàm nguyên khác hằng, n > 7 là một số nguyên uà F` = ƒ".
Nếu F va F" chung nhau gia tri 1 CM, thi F = F’ va f c6 dang f= ce?!” trong d6 c la mét hang 86 khaéc 0. Nam 2008, Li va Cao ([30]) nghiên cứu một mở rộng của giả thuyết Brủck khi thay thế hằng số ø bởi một đa thức phù hợp và thay thé đạo hàm cấp một ƒ' bởi đạo hàm cấp cao. Với một hàm phân hình ƒ, kí hiệu M7] := 0000). 08008 va F= frtmr +" trong đó 0, 1mị,., #„ là các số nguyên dương.
Một vấn đề thú vị thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả đó là nghiên cứu giả thuyết Brùck khi thay f bdi F, f’ béi M[f]. Cac cong trình này tạo nên hướng nghiên cứu mới, thường gọi là oán đề duy nhất cho các hàm phân hành liên quan đến giả thuyết Brủck. Như vậy, việc tiếp tục phát triển lý thuyết Nevanlinna-Cartan, đặc biệt nghiên cứu các dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt là thực sự cần thiết. Nó sẽ cho chúng ta những cơ sở quan trọng để nghiên cứu vấn đề duy nhất cho hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình.
Hiện nay, vấn đề phát triển lý thuyết Nevanlinna-Cartan và nghiên cứu ứng dụng của lý thuyết này cũng như lý thuyết Nevanlinna trong những ngành khoa học khác nhau đã và đang được quan tâm mạnh mẽ, gắn liền với các công trình của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước: A. An va nhiều tác giả khac. Sự lựa chọn đề tài "Về lý thuyét Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất" của tác giả luận án này cũng nhằm tiếp tục phát triển thêm những điều lý thú của Lý thuyết Nevanlinna - Cartan cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên và vấn đề duy nhất. Mục đích và đối tượng nghiên cứu e Đối tượng nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu các tính chất của hàm phân hình trên mặt phẳng phức C và đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên.
Dây cũng là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và Nevanlinna-Cartan. e Mục đích nghiên cứu : Hướng nghiên cứu thú nhất: xây dựng một số dạng định lý cơ bản (thứ nhất và thứ hai) cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên với các mục tiêu là siêu mặt bằng cách thiết lập quan hệ giữa hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với các hàm xấp xỉ, hàm đếm hay hàm đếm bội cắt cụt. Hướng nghiên cứu thú hai: thiết lập một số điều kiện đủ để hai đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên là trùng nhau trong trường hợp mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí tổng quát đối với phép nhúng Veronese. Hướng nghiên cứu thú ba: xây dựng một số kết quả mới về vẫn đề duy nhất cho các hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Brủck trong trường hợp thay thế ƒ bởi Ƒ và ƒ bởi A⁄[7].
Tổng quan về luận án Trong suốt luận án này ta luôn kí hiệu # > 1 là một số thực dương hoặc +©œo và 1 A=tzeC:=<lz|<# là một hình vành khuyên trong mặt phẳng phức C. Một trong những hướng nghiên cứu trong lý thuyết Nevanlinna và Nevanlinna-Cartan là xem xét các định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai cho trường hợp ánh xạ từ ƒ : A — P"(€). Theo hướng nghiên cứu này, R. Kondratyuk (xem [24, 25], năm 2005) đã có các công bố đầu tiên về phân bố giá trị cho hàm phân hình trên hình vành khuyên.
Vấn đề này lập tức thu hút được sự quan tâm của các tác giả trên thế giới như H. Meng va thu được một số kết quả quan trọng. 9 Đối với đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên, gần đây, năm 2015, H. Thìn ({38]) đã công bố hai định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên với mục tiêu là các siêu phẳng di động.
Các quả mà chúng tôi đạt được trong luận án này về phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên là các định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai trong trường hợp mục tiêu là các siêu mặt. Kết quả cụ thể như sau: Định lý 1. C5o ƒ: A—>P"(C) là một đường cong chỉnh hành va D là một siêu mặt trong P"(C) có bậc d sao cho ảnh của ƒ không chúa trong D. Khi đó uới mỗi Ì < r < R, ta có mự(r, Ð) + Nrữứ, D) = đT?(r) + ÓOQ).
Cho f : A>P"(C) là một đường cơng chỉnh hành không suy biến đại số uà D;,1 < j < q, là một họ các siêu mặt trong P°(C) có bậc d; tương ứng ở 0ị trí tổng quát. Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của các đị,dạ,. Khi đó 0uới mọi Ì < r < R ta có q | (G@— (n+ 1) —2)Ty(r) < Sod" NP(r, Dj) + O0), j=l trong đó O(logr + log T;(r)) nếu = +œ O;(r) = 1 4 O(log Ror +logT;(r)) néu R< +00.3 là một dạng định lý cơ bản thứ nhất cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên.6 là một dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cặt cụt cho đường cong chỉnh hình từ A vào P”(C) kết hợp với các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong P"(C), cho thấy một quan hệ giữa hàm 10 đặc trưng 77(r) của đường cong chỉnh hình ƒ : A — P"(C) với các hàm đếm bội cắt cụt Nw (r, D;). Các kết quả chính theo hướng nghiên cứu này chúng tôi viết và công bố trong bài báo |40].
Đối với vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên, năm 2013, H. Minh ([37]) đã chứng minh một số kết quả về vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên với mục tiêu là các siêu phẳng cố định, năm 2021, H. Giang ([17]) công bố một số kết quả theo hướng nghiên cứu này cùng với mục tiêu là các siêu phẳng. Các quả mà chúng tôi đạt được theo hướng nghiên cứu này như sau: Định lý 2.
Cho f va g là hai đường cong chỉnh hành không suy biến đại số từ A vao P"(C) sao cho Or(r) = öo(Tr(r)) uà Óz(r) = o(T;(r))., Dạ} là một họ gồm q > np + 1 + 2n) /ỗp siêu mặt ở tị trí tổng quát đối uới phép nhúng Veronese trong P"(C). Cho f va g là hai đường cong chỉnh hành không suy biến đại số từ A vao P"(C) sao cho Or(r) = öo(Tr(r)) uà Óz(r) = o(T;(r))., Dạ} là một họ gồm q > rp+ 1 + 2np/mp siêu mặt ở vt trí tổng quát đối uới phép nhúng Veronese trong P"(C). Giả sử (a) ƒ(z) = g(z) uới mọi z € Er(D) U Eu(Ð), (b) Ey(D;) N Ey(D;) = 0 va E,(D;) N E,(D;) = 0 voi moii A j € {1,.2 là hai điều kiện đại số để xác định duy nhất đối với đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên với mục tiêu là họ các siêu mặt ở vị trí tổng quát với phép nhúng Veronese. Như đã nói ở phần trên, các công trình đã công bố trước của các tác giả khác tập trung chủ yếu vào mục tiêu là các siêu phẳng, kết quả của chúng tôi nghiên cứu 11 trong trường hợp siêu mặt.2 được chúng tôi chứng minh trong bài báo [39].
