Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Tổng Quan Về Các Uj Vành Trong Trường Hợp Tổng Quát

• Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ Một
• Người hướng dẫn: PGS. Trương Công Quỳnh
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số
• Đề tài: Một Trường Hợp Tổng Quát Của Các U J-Vành
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Bình Định

• Mở đầu
• 1. Chương 1: Một số kiến thức cơ sở
• 1.1. Các khái niệm cơ bản
• 1.2. Một số kết quả liên quan
• 1.3. Một đặc biệt hóa căn Jacobson của vành
• 2. Chương 2: Một đặc biệt hóa căn Jacobson của vành
• 2.1. Biểu diễn ∆(R) và các tính chất
• 2.2. Mở rộng toán tử ∆ cho vành không có đơn vị
• 2.3. Các đặc trưng của ∆U -vành
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo

I. Mở đầu

Lý thuyết vành và môđun là một trong những lý thuyết cơ bản, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh vực đại số. Việc nghiên cứu các lớp vành và các tính chất đặc trưng trên các lớp vành đó là cần thiết, góp phần hiểu rõ thêm về cấu trúc vành và ứng dụng vào các lĩnh vực khác. Tác giả Cǎlugǎreanu đã giới thiệu về U J-vành, được định nghĩa là vành với U(R) = 1 + N(R), trong đó U(R) là tập các phần tử khả nghịch của R và N(R) là tập các phần tử lũy linh của R. Nghiên cứu cấu trúc vành thông qua căn Jacobson, nhiều tác giả đã mở rộng và phát triển lý thuyết này. Luận văn này tập trung vào việc nghiên cứu tổng quan về một đặc biệt hóa căn Jacobson của vành, từ đó tìm hiểu các tính chất của các lớp vành thông qua đặc biệt hóa này.

II. Một số kiến thức cơ sở

Chương này hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về vành và môđun. Các khái niệm cơ bản như định nghĩa và các tính chất của U J-vành được trình bày rõ ràng. Định nghĩa vành, vành con, iđêan, và các điều kiện tương đương của U J-vành được nêu bật. Các tài liệu tham khảo như [2], [8], [10], [11], [19] cung cấp nền tảng cho các khái niệm này. Đặc biệt, các tính chất của U J-vành được phân tích kỹ lưỡng, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc và ứng dụng của chúng trong lý thuyết đại số.

2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa về vành và môđun được trình bày chi tiết. Một vành R được định nghĩa với hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện nhất định. Các khái niệm như vành con, iđêan, và môđun con được làm rõ. Đặc biệt, các điều kiện tương đương cho U J-vành được nêu ra, giúp người đọc có cái nhìn tổng quát về các tính chất của vành này.

2.2 Một số kết quả liên quan

Trong phần này, các kết quả liên quan đến căn Jacobson và các tính chất của U J-vành được trình bày. Các điều kiện tương đương cho một vành R được nêu ra, từ đó giúp người đọc hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các khái niệm trong lý thuyết vành. Các ví dụ minh họa cụ thể cũng được đưa ra để làm rõ các khái niệm này.

III. Một đặc biệt hóa căn Jacobson của vành

Chương này khảo sát tập ∆(R), một tập có quan hệ chặt chẽ với căn Jacobson của R. Tập này được định nghĩa là tập hợp các phần tử thỏa mãn điều kiện nhất định liên quan đến các phần tử khả nghịch của R. Các tính chất của ∆(R) được phân tích, chỉ ra rằng nó là căn Jacobson lớn nhất của R và đóng với phép toán nhân bởi các phần tử khả nghịch. Các ví dụ cụ thể về các cấu trúc vành mà ở đó ∆(R) ≠ J(R) cũng được đưa ra, giúp người đọc có cái nhìn sâu sắc hơn về các lớp vành này.

3.1 Biểu diễn R và các tính chất

Bổ đề về ∆(R) được trình bày, chỉ ra rằng tập này đóng với phép nhân các phần tử lũy linh và là vành con của R. Các điều kiện cho ∆(R) trở thành iđêan của R cũng được nêu rõ. Điều này giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc của vành và các tính chất của nó trong lý thuyết đại số.

3.2 Mở rộng toán tử cho vành không có đơn vị

Phần này mở rộng định nghĩa của ∆ để có thể áp dụng cho các vành không chứa đơn vị. Các khẳng định tương đương vẫn giữ nguyên giá trị, cho thấy tính linh hoạt và ứng dụng rộng rãi của lý thuyết này. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các nhà toán học trong việc khám phá các cấu trúc vành phức tạp hơn.

IV. Kết luận

Luận văn đã trình bày tổng quan về các U J-vành trong trường hợp tổng quát, từ các khái niệm cơ bản đến các kết quả nghiên cứu cụ thể. Các tính chất của ∆(R) và mối quan hệ của nó với căn Jacobson đã được phân tích kỹ lưỡng. Tài liệu này không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn trong việc ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau trong toán học. Hy vọng rằng luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các sinh viên và học viên cao học trong nghiên cứu về cấu trúc vành.