Luận văn thạc sĩ toán ứng dụng tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng minty và ứng dụng

Luận văn thạc sĩ toán ứng dụng nghiên cứu tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Nguyễn Anh Tăng
• Người hướng dẫn: TS. Lê Xuân Đại
• Trường học: Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
• Đề tài: Tính Ổn Định Của Bất Đẳng Thức Tựa Biến Phân Phụ Thuộc Tham Số Dạng Minty Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Luận văn thạc sĩ

Luận văn thạc sĩ này nghiên cứu về tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty và các ứng dụng trong lĩnh vực toán học ứng dụng. Tác giả Nguyễn Anh Tăng đã thực hiện nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Xuân Đại tại Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Luận văn được bảo vệ vào ngày 08/01/2017 và đã được Hội đồng đánh giá gồm các chuyên gia như PGS. Nguyễn Đình Huy, PGS. Huỳnh Quang Linh, và TS. Đậu Thế Phiệt xem xét. Nội dung chính của luận văn tập trung vào việc phân tích tính ổn định của các bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty, đồng thời đưa ra các ứng dụng thực tiễn trong lĩnh vực toán học và tối ưu hóa.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn thạc sĩ là nghiên cứu các điều kiện đủ để đảm bảo tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty. Nghiên cứu này nhằm xác định các tính chất như tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của tập nghiệm, cũng như tính liên tục của hàm gap tham số. Đây là những yếu tố quan trọng trong việc đánh giá sự ổn định của các bài toán bất đẳng thức biến phân trong điều kiện tham số thay đổi.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn thạc sĩ bao gồm việc phân tích lý thuyết và ứng dụng các phương pháp toán học như phương pháp biến phân, phương pháp Minty, và lý thuyết bất đẳng thức. Tác giả đã kết hợp các kỹ thuật phân tích toán học để xác định các điều kiện đủ cho tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty. Ngoài ra, luận văn cũng sử dụng các ví dụ minh họa và ứng dụng thực tiễn để làm rõ các kết quả nghiên cứu.

II. Tính ổn định

Tính ổn định là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân, đặc biệt khi các tham số của bài toán bị nhiễu. Trong luận văn thạc sĩ, tác giả đã tập trung nghiên cứu các điều kiện đủ để đảm bảo tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty. Các yếu tố như tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục dưới, và tính liên tục của tập nghiệm được phân tích chi tiết. Nghiên cứu này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về sự ổn định của các bài toán bất đẳng thức biến phân mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng.

2.1. Tính nửa liên tục trên

Tính nửa liên tục trên của tập nghiệm là một trong những yếu tố chính được nghiên cứu trong luận văn thạc sĩ. Tác giả đã sử dụng các phương pháp phân tích toán học để xác định các điều kiện đủ đảm bảo tính nửa liên tục trên của tập nghiệm bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty. Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng tính nửa liên tục trên có thể được đảm bảo thông qua các giả thiết về tính liên tục và tính đơn điệu của ánh xạ đa trị.

2.2. Tính nửa liên tục dưới

Tính nửa liên tục dưới của tập nghiệm cũng được nghiên cứu kỹ lưỡng trong luận văn thạc sĩ. Tác giả đã chỉ ra rằng tính nửa liên tục dưới là một yếu tố khó đạt được hơn so với tính nửa liên tục trên, đòi hỏi các điều kiện đủ mạnh hơn. Nghiên cứu này đã đưa ra các giả thiết và phương pháp để đảm bảo tính nửa liên tục dưới của tập nghiệm bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty, góp phần hoàn thiện lý thuyết về tính ổn định của các bài toán bất đẳng thức biến phân.

III. Ứng dụng

Luận văn thạc sĩ không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn đưa ra các ứng dụng thực tiễn của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty. Các ứng dụng này bao gồm việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa và phân luồng giao thông. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng các phương pháp và kết quả từ luận văn thạc sĩ có thể được áp dụng hiệu quả trong các lĩnh vực thực tế, giúp cải thiện hiệu suất và độ chính xác của các giải pháp toán học.

3.1. Ứng dụng trong tối ưu hóa

Một trong những ứng dụng quan trọng của luận văn thạc sĩ là trong lĩnh vực tối ưu hóa. Tác giả đã sử dụng các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty để giải quyết các bài toán tối ưu hóa phức tạp. Các phương pháp như thuật toán hướng giảm và hàm gap đã được áp dụng để tìm ra các giải pháp tối ưu, giúp cải thiện hiệu suất và độ chính xác của các mô hình toán học.

3.2. Ứng dụng trong phân luồng giao thông

Ngoài lĩnh vực tối ưu hóa, luận văn thạc sĩ cũng đưa ra các ứng dụng trong việc phân luồng giao thông. Tác giả đã sử dụng các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty để giải quyết các bài toán liên quan đến phân luồng giao thông. Các phương pháp này giúp tối ưu hóa lưu lượng giao thông, giảm thiểu tắc nghẽn và cải thiện hiệu quả quản lý giao thông đô thị.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tích võ hướng - Không gian Hilbert Định nghĩa 1. Một ánh xạ từ X x X > K, dinh bdi (x,y) + (x,y) được gọi là một tích vô hướng trên X nếu thỏa các điều kiện: (i) (vw, x) >0,V+z€ X, (z,z) = 0,4 & 0; (iii) (u+2',y) = (x,y) + (x,y) Wa, a',y © X; (iv) (Av, y) = A(a,y) ,Va,y EX, VA € K.) là một tích uô hướng trên X thà: (i) Anh ca z c> v((œ,+) là một chuẩn trên X, (||#|| = w.,#)), oà gợi là chuẩn sinh bởi tích uô hướng. (ii) Các tính chất hội tụ, tính đóng, tính compact trong (X, (.)) luôn được gắn uới chuẩn sinh bởi (. [32| Cho không gian vectơ X c6 trang bị tích vô hướng (.)) gọi là một không gian tiền Hilbert (hay Unita).

(ñ) Nếu không gian (X,(.)) là đầy đủ thì (X,(.)) gọi là không gian Hilbert. Nguyễn Anh Tăng 1 Luận uăn Thạc sĩ Chuuên ngành Toán Ứng dụng Định nghĩa 1. [ö1| Cho không gian vectơ L(X,Y) trên trường J€, với ký hiệu L(X,Y) 1a tap cia tat ca ánh xạ tuyến tính ƒ từ X vào Y, khi đó: () Ánh xạ tuyến tính F : X > K gọi là phiếm hàm tuyến tính hay dạng tuyến tính trên X. (ii) Khong gian vecto X* = L(X, K) goi là đối ngẫu đại số của X.

(1ñ) Nếu ƒ : X — Y là ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ ƒ* : Y* — X* xác định bởi ƒ*() =5 ƒ,Vụ € Y* cũng là ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ đối ngẫu của ƒ.2 Giải bat đẳng thức biến phân - Bài toán bất đẳng thức biến phân Minty Trước tiên, cần xét một số khái niệm liên quan [T2| sau đây Khai niệm 1. Cho không gian HilberL X va khong gian vecto R” trén trường ` (K=lR hoặc K=C).);X* x X > R là cặp đối ngẫu.) IR" x IRh —y R là tích uô hướng trong không gian lR" Minty [6] lần đầu tiên đưa ra bài toán bất đẳng thức biến phân sau này được biết với tên gọi là bài toán bất đẳng thúc biến phân Mintụ cổ điển như sau Nguyễn Anh Tăng 2 Luận uăn Thạc sĩ Chuuên ngành Toán Ứng dụng Khái niệm 1. Bài toán bất đẳng thúc biến phân Mintụ cổ điển là bài toán đặt ra êu cầu lầm cdc vecto x € K dé Œ(),# — ) <0,Vụ € K trong đó T: ]R" —y R", uà K là tập lồi, đóng va khác rỗng, K C ]R". Mối liên quan của bài toán Minty với các ứng dụng đã được Giannessi [7| và Crespi [8| nghiên cứu.

Về bản chất, bất đẳng thức biến phân Minty chính là một điều kiện đủ cho bài toán tìm cực tiểu sau: minimize f(x) Voi gid thiét ton tai mot ham 1di kha vi f : R” > R, sao cho T(x) = Vif (x), Va € R". Bài toán Minty được nhiều người biết đến ở chỗ là với một hàm khả vi liên tục 7' xác định trên một tập lồi, mở chứa trong IR", điều kiện trên chỉ thỏa khi và chỉ khi ma trận jJacobi W7(+) là đối xứng với mọi z € I§R" ([9]). Để minh họa, xét bài toán bất đẳng thức biến phân Minty với ánh xạ T':]R? — R2 xác định bởi: T(x) = (a1 + @9, 241 + 22), K = [1,2] x [1, 2] Khi đó bài toán có thể giải được với € (1,1). Tuy nhiên, trong trường hợp này, bất đẳng thức biến phân Minty không phải là điều kiện đủ tối ưu cho giá trị cực tiểu của bài toán ban đầu vì ma trận Jacobi V7(z) là không đối xứng.

Hơn nữa, điều đó cũng đã được thiết lập trong [8| rằng nếu bất đẳng thức biến phân Minty nhận được một nghiệm, thì đối với bài toán cực tiểu ban đầu một số dạng chính tắc được xác định không tường minh, ví dụ như dạng hinh sao cua cac tap phan lép (the star-shapedness of the level sets) của hàm mục tiêu và dạng xấp xỉ tốt Tykhonov (Tykhonov well-posedness) khi nghiệm là đúng nghiêm ngặt. Bất đẳng thức biến phân Minty biểu thị dạng đặc trưng cho một hình thức cân bằng chất lượng hơn các bất đẳng thức biến phân Stampacchia. Nguyễn Anh Tăng 3 Luận uăn Thạc sĩ Chuuên ngành Toán Ứng dụng Để giải bài toán Minty với ánh xạ liên tục đơn trị, John [T0| đã chứng tỏ rằng họ nghiệm của bài toán Minty có thể được coi là một tập hợp con của các điểm cân bằng ổn định trong tập hợp của tất cả các điểm cân bằng của một hệ động lực học phối hợp với các ánh xạ. Và để có một cái nhìn sâu sắc hơn về các bài toán bất đẳng thức biến phân Minty, cách tiếp cận chung là sử dụng các Bổ đề Minty cổ điển [6|, là đặc trưng nghiệm của các bài toán trong từng thành phần nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Stampacchia với các giả thiết liên tục và đơn điệu.

Các bất đẳng thức tựa biến phân ( Quasi-uariational inequalities) lần đầu tiên được Bensoussan và Lions [T1| giới thiệu khi kết hợp với các bài toán điều khiển xung (impulse control problem) va sau d6 da dude nhiều tác giả nghién cttu [12] - [16]. Sw quan tam dén nhiing bai todn nay xuất phát từ thực tế vì các vấn đề về kinh tế hoặc công nghệ đều có thé được mô hình hóa thông qua chúng. Do các ứng dụng của chúng trong nhiều lĩnh vực rất đa dạng, chẳng hạn như các bài toán bù không tường minh [12|, các bài toán có giá trị biên tự do [13|, các bài toán quy hoạch toán học [14|, điều này rất quan trọng trong việc mô tả lại các tác động từ các nhiễu, tạo ý tưởng cho việc giải các bất đẳng thức tựa biến phân. Kết quả ổn định toàn cục của bất đẳng thức tựa biến phân tổng quát được thiết lập trong [17], thông qua tính nửa liên tục trên và dưới của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức tựa biến phan chịu nhiễu dạng Stampacchia.

Khanh va Luu [18] da xuat phat tir cdc nghiên cứu về tính nửa liên tục của tập nghiệm va tập nghiệm gần đúng để nghiên cứu các bất đẳng thức tựa biến phân đa trị phụ thuộc tham số dạng Stampacchia. Tất cả các khảo sát được thực hiện trên đây đều đã minh họa cho tầm quan trọng của việc nghiên cứu đa dạng về tính ổn định của các bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số dạng Minty, tuy nhiên cho đến nay những nghiên cứu đó vẫn chưa được chú ý nhiều. Luận văn này với ý đồ thực hiện việc nghiên cứu và kiểm tra tính ổn định nhiều mặt của tập nghiệm và tập nghiệm gần đúng của một bài toán như đã đề cập mà không cần phải áp đặt các điều kiện của bổ đề Minty, cũng như Nguyễn Anh Tăng 4 Luận uăn Thạc sĩ Chuuên ngành Toán Ứng dụng thực hiện phân tích tính ổn định của tập nghiệm gần đúng của một bài toán tối ưu hóa với những hạn chế của bất đẳng thức tựa biến phân. Bài toán khảo sát dưới đây được xác định như sau: Cho X là một tập con đóng khác rỗng của IR*, A là một tập con lồi, đóng khác rỗng của Y, với Y =ÏR".

Gọi KÝ: XxY 3aY và7:XxY SY l các ánh xạ đa trị với là một ánh xạ đóng. Giả thiết trên toàn luận văn là: domK =domT =X x Y trong đó, dơm.K, domT' là miền hiệu quả tương ứng của K, của 7' với: dơmK = {(z,u)€ X xY : K(z,u) # ở} Xét bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số xp dang Minty (ky hiệu là (MVI(zo)) như sau: Ứng với một tham số #ạ € X, tìm uọ € K(zo, uạ) A sao cho bat dang thức tựa biến phân dạng Minty phụ thuộc tham số zọ thỏa: Œ,uạ — 0) < 0, Vu € K (a, uo), Vt € T (xo, v) Gọi Ä/(zo) là tập nghiệm của (MVI(zo)), khi đó: M (xo) = fe Klemm) .n <0 Vue Km, Uo) Vi € T(œo, 0) Việc xác định tập nghiệm 4⁄(z) ứng với tham số zo là tìm kiếm tất cả các nghiệm có liên quan đến tham số z của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số (MVI(z)). Trong toàn bộ nghiên cứu này, giả thiết rằng tập nghiệm phụ thuộc tham số #(%)) của bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số là tập hợp khác rỗng, với mọi z thuộc lân cận của tham số #ọ.3 Tính nửa liên tục và đơn điệu của ánh xạ đa trị Với mỗi e > 0 nhỏ tùy ý, một lân cận mở bán kính e của một tập con AC Y được định nghĩa bởi: U(A,c):={z€Y : ||la— z|| < e,Vace A}. Nguyễn Anh Tăng 5 Luận uăn Thạc sĩ Chuuên ngành Toán Ứng dụng Ký hiệu ': X Y là một ánh xạ đa trị với domF = X, trong đó X là một tập con đóng, khác rỗng của R” va Y = R™.

Trén cơ sở này, lần lượt nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới theo nghĩa của Berge và Hausdorff như sau Định nghĩa 1. F dugc goi la H-Isc (H-usc, B-lsc, B-usc) trén X néu n6 1a H-lse (H-usc, B-lsc, B-usc) tai moi xp € X. F được gọi là B-lién tuc (H-liên tục) trên X nếu nó vừa là Ö-lsc vừa là B-usc (vita la H-lsc vita la H-usc) trén X. [[9| Một công thức tương đương với Định nghĩa |1.1| (11) được cho như sau: F' được gọi là -lsc tại z € XÃ khi và chỉ khi với mọi dãy {z„} trong X hội tụ về zo và với bất kỳ o € Ƒ(zo), tồn tại một dãy {y,} trong F(a,) hoi tụ về 10: Định nghĩa 1.

F dugc goi la dong trén X khi va chi khi F' dong tai moi x € X. Can luu ý ở đây là, nêu F 1A B-usc tai wy € X va F(2x0) đóng thì #' đóng tại 20. [15] (i) Néu F 1a B-usc tai x, thi F 1A ï-use tại zọ. Ngược lại, nếu # là H-usc tại zo va F(a) compact, thi #' là B-usc tai 2.

(ii) Néu F 1a H-lsc tại zọ, thì Ƒ' là -lsc tại zo. Ngược lại, nếu F’ 1a B-lsc tại zo và F'(zo) compact, thì #' là H-Isc tai xo.4 Ham gap déi với bài toán bất đẳng thức biến phân Xét một định nghĩa về hàm gap (gap ƒuncton) đối với bài toán bất đăng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số như sau: Định nghĩa 1. [21| Mot ham số ø(zo,.) : Y —> R được gọi là một ham gøp đối với bài toán bất đẳng thức tựa biến phân phụ thuộc tham số zụ (MVI (zạ)) khi và chỉ khi thỏa các điều kiện: (1) ø(œo,u) < 0 với mọi u € (zo,u)ñ 4; (ii) ø(Zo, uọ) = 0 nếu và chỉ nếu øœ là nghiệm của (MVI (zo)). Nguyễn Anh Tăng 7 Luận uăn Thạc sĩ Chuuên ngành Toán Ứng dụng Chẳng hạn như hàm số ø(zo,.