I. Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng
Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng của Trương Hồng Nhi tập trung vào việc nghiên cứu các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ của các phương trình vi phân có chậm. Nghiên cứu này được thực hiện tại Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS. Phạm Hữu Anh Ngọc. Luận văn đóng góp vào lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân, đặc biệt là các hệ có chậm phụ thuộc thời gian, một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.
1.1. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn là tìm ra các điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân có chậm. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các hệ tuyến tính và phi tuyến, với sự tập trung vào các hệ phụ thuộc thời gian. Luận văn sử dụng các công cụ toán học như Định lý Perron-Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm để đạt được các kết quả mới.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được áp dụng trong luận văn dựa trên việc phân tích toán học các hệ phương trình vi phân có chậm. Các tiêu chuẩn tường minh được xây dựng thông qua việc sử dụng các bất đẳng thức ma trận và các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ. Các kết quả được kiểm chứng thông qua các ví dụ minh họa và ứng dụng vào mạng nơ ron nhân tạo.
II. Tính ổn định mũ của phương trình vi phân có chậm
Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân có chậm, đặc biệt là các hệ phụ thuộc thời gian. Các kết quả chính bao gồm các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của các hệ tuyến tính và phi tuyến, được trình bày trong các định lý và ví dụ cụ thể.
2.1. Điều kiện ổn định mũ cho hệ tuyến tính
Định lý 2.1 trong luận văn đưa ra các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm. Các điều kiện này được xây dựng dựa trên việc sử dụng các bất đẳng thức ma trận và các tính chất của ma trận Metzler. Kết quả cho thấy rằng nếu tồn tại một vector dương p và một số β1 > 0 thỏa mãn các điều kiện nhất định, thì hệ phương trình vi phân sẽ ổn định mũ.
2.2. Điều kiện ổn định mũ cho hệ phi tuyến
Định lý 2.2 trình bày các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm. Các điều kiện này được xây dựng dựa trên nguyên lý so sánh nghiệm và các tính chất của hàm Lyapunov. Kết quả cho thấy rằng nếu tồn tại một hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện nhất định, thì hệ phương trình vi phân phi tuyến sẽ ổn định mũ.
III. Ứng dụng và kết luận
Luận văn không chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu lý thuyết mà còn áp dụng các kết quả vào thực tiễn, đặc biệt là trong lĩnh vực mạng nơ ron nhân tạo. Các kết quả nghiên cứu đã được kiểm chứng thông qua các ví dụ minh họa và cho thấy tính khả thi trong việc áp dụng vào các bài toán thực tế.
3.1. Ứng dụng vào mạng nơ ron nhân tạo
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn được áp dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng trong mạng nơ ron nhân tạo. Các ví dụ minh họa cho thấy rằng các điều kiện đủ được đề xuất trong luận văn có thể được sử dụng để đảm bảo tính ổn định của các hệ thống mạng nơ ron.
3.2. Kết luận và hướng phát triển
Luận văn đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân có chậm. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có giá trị ứng dụng cao trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Hướng phát triển tiếp theo có thể là mở rộng nghiên cứu sang các hệ phương trình vi phân phức tạp hơn hoặc áp dụng vào các bài toán thực tế khác.
