Chương 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số kiến thức cơ sở về giải tích hàm và giải tích cổ điển Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức được sử dụng trong chương sau. Cho Ñ là tập hợp số tự nhiên. Với m œ Ñ cho trước, ta kí hiệu m := {1,2,. Cho K = C hoac R véi C va R 1a tap hợp tất cả số phức hoặc số thực.
Với các số nguyên cho trước ¡,gø > 1, KỸ là không gian véc tơ ¡ chiều và K*# là tập hợp tất cả ma trận cỡ ¡ x ạ với các phần tử từ K. Bất đẳng thức giữa các ma trận thực (hoặc các véc tơ thực) được hiểu theo từng thành phần. Ví dụ cho hai ma trận thực A = (ø¿;) và B = (b¿;) trong R!:, ta viết A4 > B nếu aj; > bij với ¡ = 1,. Dac biét, néu aj; > b với ¡ = 1,.g thì ta viết A >> B thay cho A > Ö.
Kí hiệu R1 là tập hợp tất cả ma trận không âm A> 0. Tương tự những kí hiệu này cũng ấp dụng cho véc tơ. Với z c€]R", Pc I2 cho trước, ta định nghĩa |z| = (Jz|)Ÿ và |P| = (ml). Khi do ta có |P@I < |PIlØI, VP R'*1,VQ e R7, Định nghĩa 1.
Jđ Cho X là không gian óc tơ trên trường K. Anh xa I-||: X 4 R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mmãn các điều kiện sau: i) llell >0, Ve € X, llz|l=0#=0; Trương Hồng Nhi 1 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ #) ||Azll = |All|zl|, Ve e X,VA € K; iii) |x + yll < loll + [lgll. Giá trị |x|] được gọi là chuẩn của véc tơ z. Không gian véc tơ X cùng với chuẩn ||-|| được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||- ||).
Một không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.|| trên K” được gọi là đơn điệu nếu ||z|| < |ly|| với bất kì +, € R", |a| < |y|. R6 rang rang, cdc p—chuan trén K”: Bin ll+z|l, = (lzilf + |za|? +. + |an|?)?, 1 < p < 00 llz|l = maz;=12,.»|z¡| là các chuẩn đơn điệu. Đặt Ö¿ := {z e R*: |lz||< ð}, với ð > 0 cho trước.
(Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M e I4, chuẩn của toán tử tuyến tính M : K* — IKU, +z> Ma: || Mel := max ——— = max {||M/z||}, zz0 [lel] lzl=l || duoc goi la chuẩn toán tử của ma trận M. Chang hạn như néu K” được trang bị bởi chuẩn ||.||¡ thì chuẩn toán tử của ma tran M = (mj) € K"*" dude cho bởi ||M n 1 = max Ð `|mạ;| (giá trị lớn 1<j<n 1 nhất của tổng các cột). Nếu K” được trang bị bởi chuẩn ||.||+ thì chuẩn toán tu cia M được cho bởi ||M n > oo = max >> |mi| (gid tri lớn nhất của tổng các 1<i<n =1 dong), xem [6]. Chudn ctia ma tran P € K'*4 duge hiéu nhu la chudn ton tử liên hợp của một cặp chuẩn véc to đơn điệu cho trước trên IK tà K?, do là || Pl] = maa{]|Pyll : yl] = 1.
Khi đó, ta có tính chất sau: PeK““,QeR**,|P| < @ = |IPI| < IIIPIII < lIØll. Trương Hồng Nhi 2 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ xem [25]. Với bất kì ma tran M e K"X", hoành độ phổ của Ä⁄/ được định nghĩa bởi H(M) = maz{ÈÀA : À € ơ(M)}, ø(M):={Ae(C: det(AT„ — M) = 0} là phổ của ma trận M. Mfộf ma trận thực M € ]R"X" được gọi là ổn định Huruitz néu p(M) <0.
Mét ma trén thuc M € R"*” duoc goi la ma trén Metzler nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận M đều không âm. Diều đó có nghĩa là ma trận M := (aj) € JÑ"X”",2,J € n được gọi mà ma trận Metzler nếu ajj > 0 Uới mọi i,j € n,i # j. Định lý sau đây tổng kết một vài tính chất quan trọng của ma trận Metzler và chúng sẽ được dùng trong các chương sau. JZ5j Giá sử MI € R"*” la ma trận Metzler vat € R.
1) Giá sửa] cho trước. Khi đó, tồn tại một uéc tơ không âm + € IR†, + # 0 sao cho Mx > ax khi va chí khó w(M) > a. iv) Cho trước B€ R?*", Ơc C"*", Khi đó, |C[ < 8> n(M + C) < u(M + ®). Trương Hồng Nhi 3 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ Các tính chất quan trọng sau đây của các ma trận Metzler được suy ra trực tiếp từ Dịnh lý Dinh ly 1.
[25/ Cho M 6 IR"X" là ma trận Metzler. Những khẳng định sau đâu là tương đương: 1) u(M) <0; ii) dp ¢ R}. sao cho Mp « 0; iii) M kha nghich va M—' < 0; iv) Cho be R", b> 0. Khi do, ax € R4 sao cho Mx +b =0; v) Cho bat ky « € RY\{0}, véc to hang + TM có ít nhất một phần tử âm.
Truéc tién ta sé chttng minh phat biéu (i), (ii) va (iii) 1& tuong duong nhau. Vay ta cé (i) suy ra (iii). Đặt p:=(-M) te eR”. Nhân hai về của (1.1) cho (—M) tit bén trai, ta c6 (-M)p =e hay Mp = —e.
Vì vậy Afp< 0 với p€ R",p> 0. Tw (ii) ta c6 Mp «0.2) Trương Hồng Nhi 4 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ Nhân hai về của (1.2) với x” tit bén trai, ta dude x? Mp < 0. Suy ra H(M)x?p = «7 Mp <0. Vay ta cé (ii) suy ra (i).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh phát biểu (ii), (iv) và (v) là tương đương nhau. [(iv) > (v)]: Gia sit (iv) dang và giả sử phản chứng rằng tồn tại z € R"\{0} sao cho véc tơ hang a7 M > 0. Lay r € R",r > 0, theo (iv) tồn tại véc tơ p € RE sao cho Mp +r =0 hay r = —Mp. Do do, 0 < a? r = —27? Mp < 0.
Day là một mâu thuẫn. Vay ta cé (iv) suy ra (v). Do M là ma tran Metzler nén theo Dinh ly |1. Điều này kéo theo pA > 0.
Mâu thuẫn với (v). Định lý được chứng minh. L] Cho K”** được trang bị bởi chuẩn ||.|| và cho j là một khoảng của IR. Kí hiệu C(J,R™”) 1A không gian vectơ tất cả các hàm liên tục trên khoảng J nhận gia tri trong K™*”.
Trong luận văn này, không gian C([—h,0],IR"), được dùng rất thường xuyên nên để đơn giản ta viết C thay cho C(Í—h,0|,IR") và kí hiệu Ớ; := {¿ € C: |l¿|| < r} với r > 0 cho trước. Cho một hàm ma trận y(-) : J + R™*", ching ta ndi rang ham ma tran (-) không âm và kí hiệu y > 0 néu (6) > 0 vdi moi 6 € J. Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị vectơ và định lý này sẽ được dùng trong các chương sau.): R! = R™ kha vi tai x = (a1, 29,. Ma tran Jacobi ctia F(-) tai x la ma tran cé mx 1 trong R™!, ki hiéu Jr(2), Trương Hồng Nhi 5 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ duoc xác định như sau OF; OF, OF, OF, 0F; 9F; Jr{(#) := Ôm Ox.
— Ox, OFm OF m OF m Ox, = Oxe sa Ox OF, OF ;(x1, x2, ., 21) t đó, ——:= rơng đó, ny On, UỚI ¡ Cmm, j € Ï. Sau đây là định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véc tơ. Khi đó, F(«+h) — F(a) = (/ Jr(œ+ mat) h, trong d6, Jr(-) la ma tran Jacobi của hàm F'. Cho hai không gian mêtric (X,dx) 0à (Y,dy) 0uới dx là mêtric trên X va dy là mêtric trên V, hàm số ƒ : X -> Y là liên tục Lipschitz néu ton tai hang s6 K > 0 sao cho tới mợi #i,#v € X, ||ƒ(#i) — ƒ(a)|| < ||lzi — 3a||.
Cho ƒ là hàm giá trị thực xác định trên [a,b] va xo € (a,b) D*f (xo) = lim sup f(x) = f (xo) aoat #— #0 được gọi là dao ham Dini trén bên phải của hàm f tai xo. Trương Hồng Nhi 6 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ 1.2 Sơ lược về các phương trình vi phân có chậm Cho D là một tập con của R x C va f : D > R" la mot ham cho trước. Phương trình vi phân có chậm sau đây: #(Ð = ƒ(:#¡), (1.3) trong đó #(#) là đạo hàm của hàm cần tìm 2(-) theo bién t,a; € C dugc định nghĩa bởi z;¿(s) = zŒ + s),s € [—h,0], được gọi là một phương trình vi phân có chậm trên D. Véio ER, 6 €C, ta nói rằng z(-,ø,ð) là một nghiệm của phương trình vi phân có chậm với giá trị ban dau ¢ (hay đơn giản hơn, một nghiệm đi qua (ø,ở) € D), nếu tồn tại > 0 sao cho z(-,ø, ó) là nghiệm của phương trình vi phân có chậm (1.
Định lý sau đây cho ta các điều kiện để phương trình vi phân có chậm (1.3) có duy nhất nghiệm đi qua (ơ,ö) € Ð. [10] Cho D là một tập mở của R xŒ. Giả sử ƒ: D —> R" là một hàm liên tục trên D tà ƒ(t,ó) liên tục Lipschilz theo ¿ trên mỗi tập cơn compact của D. Khi đó uới mỗi (ơ,@) e D, tồn tại duy nhất nghiệm của phương trành ưi phân có chậm đi qua (ơ,).
Trương Hồng Nhi 7 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ Chương 2 ON DINH MU CUA CAC HE PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHAM Trong chương này, chúng tôi trình bày một tiếp cận mới đối với bài toán ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân có chậm. Cách tiếp cận của chúng tôi được dựa trên Định lý Perron-Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm ấp dụng đối với các hệ phương trình vi phân có chậm. Với ý tưởng mới và cách tiếp cận mới, chúng tôi trình bày một vài kết quả mới gần đây về tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân có chậm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian. Các kết quả của chương này đã được ứng dụng vào việc nghiên cứu bài toán ổn định của các điểm cân bằng của các mạng nơron nhân tạo.1 Điều kiện õn định mũ của các hệ tuyên tinh Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm được cho bởi m 0 x (t) = Apo (t) a (t) + » Ag (t) a (t — hy (t)) + / Bit,s)x(t+s)ds,t>o (2.1) trong đó, (i) h(-),he(-) : R R ( € m) là các hàm liên tục sao cho 0 < A(t) < A ; 0< he (t) < he, Vt R va h > max {he}; kem Trương Hồng Nhi 8 Toán ứng dụng Luận ăn Thạc sĩ (ii) 4¿;() :R R"X*",k € mo va B(;-) : Rx [-h,0] —> R?X° là các hàm ma trận liên tục.
