Chương 1 LY THUYET ON ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ “A CHAM 1.1 Véc to va ma tran Goi N, R, và C lần lượt là tập các số tự nhiên, trường các số thực và trường các số phức kí hiệu Ñọ := ÑU {0}. Gọi K là trường số thực hoặc phức. Cho số tự nhiên zn, ta định nghĩa các tập hop sau: m := {1,2,.,rm} và mạ := {0,1,. Cho các số nguyên dương | va g, tập hợp tất cả các ma trận cỡ Ï x q với các số hạng trong K, được kí hiệu bởi KỈ“, Đối với hai ma trận thực cỡ Ï x g là A = (aj;;) va = (b;;), bất đẳng thức A > Ö có nghĩa là a;; > b¡; với ¿ € Ll, 7 € q.
Đặc biệt, néu aj; > Ù„ với ¿ € Í, j € q, khi d6 ta viét A >> B thay cho A > B. Ma tran A = (ajj) € RỶ*? được goi la ma tran không âm nêu aj; > Ú với mọi ¡ € Ì, j € q. Cách hiểu tương tự đối với óc tơ không âm. Tập hợp tất cả các ma trận thực không âm cỡ [ x q được kí hiệu bởi Ri.
Với số nguyên dương m, ta ki hiéu ma tran don vị cấp m béi Im. Cho trước hai ma trận Œ, D (với cỡ phù hợp), ta dé dàng kiểm M(t) = (mij(t)) € R', t € [a, 0); Học Viên: Võ Văn Thế 1 Khóa 2015 Luận văn Thạc Sĩ Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng F(t) = (Fi(t), F(t), wy Fn (t))" € R”, te [a, b}, trong đó, rmj(-),¿ € l,j € q, và F‡(-),k € m là các hàm kha tich Riemann trên [ø, b|, tích phân của hầm giá trị ma trận và hàm giá trị véc tơ trên đoạn [a, b] được định nghĩa như sau: [ M(t)dt := ƒ mil tat) ROG, [rw v= f mit yat, [ racoat oo f Fal Jat)” ER, Dinh nghia 1. [5] Cho X là không gian véc tơ trên trường K. Ánh xạ l|- ||: X —> R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện Sau: i) |||] > 0, Ve € X, Ila] <0 2 =0; ) [dal] = [allel], Ve € X,VA € K; iti) |e + yl] S lll] + lull, Vay € X.
Giá trị ||+|| được gọi là chuẩn của vóc tơ x. Khong gian véc to X cing véi chuẩn || - || được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, || - ||). Một không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach. Chang hạn nhu, K” 1A một không gian Banach với một trong các chuẩn sau đây: SIR n lzly = (3 }Iz|?)” và llzllx = max {||}, i=l l<i<n VỚI # = (#,#2,.
Một chuẩn || - || trên K" được gọi là đơn điệu nêu |z| < |u| thì ||z|| < |I|| với x,y € K". Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng || : || là một chuẩn đơn điệu nếu và chỉ nếu ||+|| = ||lz|||. với mọi z € IR*. Chú ý rằng, || - ||, trên K” với l1 <p<œ là đơn điệu.
Giả sử ||- ||: và || - ||» là các chuẩn xác định trên cùng một không gian véc tơ X. Khi đó, || - ||¡ và || - ||a được gọi là các chuẩn fương đương nêu tồn tại các số dương œ và Ø sao cho e||#||i < ||+||a < đ|lz||i, với mọi z € X. Chú ý rằng, mọi chuẩn trên K" đều tương đương. Học Viên: Võ Văn Thế 2 Khóa 2015 Luận văn Thạc Sĩ Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Định nghĩa 1.
(Chuẩn toán tử của ma tran) Cho ma trận ă € K4, chuẩn của toán tử tuyến tính AM : K*# — KỶ, + > ÁMfz : ax M IIz| = max {|| allt, I| || == được gọi là chuẩn toán tử của ma trận MỸ. Chang han như nếu K" được trang bị bởi chuẩn ||: ||¡ thì chuẩn toán tử cua ma tran M = (mij) € K"*" được cho bởi ||M||i = max > » |m;| (giá SIS trị lớn nhất của tổng các cột). Nếu K" được trang bị bởi chuẩn | - | thì chuẩn toán tử của M được cho bởi ||Mf||; = max > > |mjj| (giá trị lớn nhất của tổng các dòng), xem |ỗ|. Giả sử KỸ và K# được trang bị các chuẩn đơn điệu.
Khi đó, chuẩn toán tử tương ứng || : || của ma trận trên K*# có tính chất sau: PeK*“QeR", JP|<@ IPI<llPll<ll@l. +) Trong suốt Luận văn này, nếu không phát biểu gì thêm, chuẩn của các ma trận được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn véc tơ đơn điệu nào đó. Với bất kỳ M € K"X", hoành độ phổ của M được kí hiệu bởi u(M) := max{z : z € øơ(Mf)}, trong đó, øơ(Mf) := {z€(Œ : det(zl, T— M) = 0} là phổ của ma trận Mĩ, tập hợp tất cả các giá trị riêng của À. Một ma tran thuc M € R™"” duoc goi lA 6n dinh Hurwitz nếu /(Ä) < 0.
Một ma trận thực cấp n x n dude goi lA ma tran Metzler nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm. Điều đó có nghĩa là ma trận A := (œ;) € R"*”,¿,7 € m được gọi là ma trận Metzler nếu a¿¡ > 0 với mọi ¡, Jj € m,2 # 7. Trong phần còn lại của mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của các ma trận Metzler, được sử dụng trong suốt Luận văn. Các ma trận Metzler được nghiên cứu từ những năm 1945 với những công trình tiên phong của Perron va Frobenius.
Những tính chất này là tiền dé cho việc xây dựng Lý thuyết hệ động lực dương (xem [T7|). Học Viên: Võ Văn Thế 3 Khóa 2015 Luận văn Thạc Sĩ Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Dinh lý Perron-Frobenius được chứng minh bởi Perron (năm 1907) va Fobenius (năm 1912). Nó có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết xác suất (tính ergodic của xích Markov), Lý thuyết hệ động lực, Lý thuyết kinh tế (Định lý Okishio's, Mô hình đầu vào-đầu ra của Leontief), Thống kê điều tra dân số (Mô hình Leslie về phân bố tuổi dân số), Công cụ tìm kiếm trên mạng (Thuật toán PageRank để xếp hạng các trang web mà Google đã sử dụng) và thậm chí có ứng dụng trong xếp hạng bóng đá. Nội dung và chứng minh đầy đủ của Định lý Perron-Frobenius có thể tham khao trong [15].
Định lý sau đây là một phiên bản rút gọn của Định lý Perron-Frobenius. (1) Giả sử œ €]R cho trước. Khi đó, tồn tại một 0éc tơ không âm + € IR" sao cho Ma > ax khi va chi khi n(M) > a.2) Các tính chất quan trọng sau đây của các ma trận Metzler được suy ra trực tiếp từ Định lý |L. [29] Cho M € R"X" là ma trận Metzler.
Những điều kiện sau đâu là tương đương: (i) n(M) <0; (ii) Ton tai p € R” sao cho Mp <0; () M khả nghịch uà M—1 < 0; (iv) Chob€R",b>0 Khi do, ton tai x € RY sao cho Mx +b=0 (v) Cho bat kj x € R"\ {0} véc to hang x? Mco ít nhất một phần tử âm. Học Viên: Võ Văn Thế 4 Khóa 2015 Luận văn Thạc Sĩ Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng minh phát biểu (¡), (ii) và (iii) là tương đương nhau. [(i) => ()]: Do M € R™” 1A ma tran Metzler va (Ä) < 0 nên M7! < 0, theo Dinh ly |1.
Nhan hai vé của (1.3) cho (—⁄) từ bên trái, ta có (— Mf)p = e hay Mp = —e. Vi vay Mp < 0 véi p € R", p > 0. Vay ta cé (iii) suy ra (ii). [(ii) > (DJ: Vi M € R"*” 1a ma tran Metzler nén tén tai véc to x € R",x > 0,2 40 sao cho M?x = p(M)z, theo Dinh ly/1.
Tw (ii) ta có Mp «0.4) Nhân hai về của (1.4) với x7 tit bén trai, ta duoc x? Mp < 0. Suy ra H(MI)xTp = 2" Mp <0. Vi ap > 0, nén p(M) < 0. Vay ta cé (ii) suy ra (i).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh phát biểu (ii), (iv) và (v) là tương đương nhau. [(iv)=> (v)]: Gia sử (iv) đúng và giả sử phản chứng rằng tồn tại z € IR?\{0} sao cho véc tơ hàng #ŸAƒ > 0. Lấy r € IR",r >> 0, theo (iv) tồn tại véc tơ p€TR) sao cho Mp+r =0 hay r = —Mp. Dây là một mâu thuẫn.
Do M 1a ma tran Metzler nén theo Định lý |L. Diéu nay kéo theo p’M > 0. Mau thuẫn với (v). Định lý được chứng minh.
L] Học Viên: Võ Văn Thế 5 Khóa 2015 Luận văn Thạc Sĩ Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng 1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm. Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm được xác định bởi: #Œ) =F(+). Với mỗi o € R cé dinh, ching ta xét diéu kién đầu x(a +0) = 9(8), 0 € [-h, 0], ¢ EC. [9] Mot ham x(-) dude goi la nghiệm của bài toán giá tri dau (1.5) với mỗi £ > ơ; (ii) a(-) thoa man diéu kién dau (1.
Dinh lý sau đây trình bày các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm (dia phương) của bài toán ([I. [9] Cho Q la tap mo trong Rx C. Giả sử F\(-,-) liên tục trên Q. va F lién tuc Lipzchitz theo bién thit hai trén méi tap con compact cia RxC.
Khi d6, voi bat ky (0, 6) € Q, bai todn (L.6) co duy nhat nghiém. Nói rõ ra, nghiệm được cho bởi Dinh ly 1.1, xac định và liên tục trên lơ — h,+) với + > ơ và thỏa (1.5) trên |ø,y) và được kí hiệu +(-;ø,). Nếu [ơ — h,+) là khoảng lớn nhất của sự tồn tại nghiệm z(-;ø,) thì #(-; ø, #) được gọi là một nghiệm không thể kéo dài. Sự tồn tại của nghiệm không thể kéo dài được suy ra từ bổ đề Zorn và khoảng lớn nhất của sự tồn tại phải là một khoảng nửa mở [ø, +).
JØj Cho Q la tap mé trong R x C. Gia stt F(-,-) : Q > R” là liên tục hoàn toàn (nghĩa là, F là liên tục va biến các tập đóng bi chan Học Viên: Võ Văn Thế 6 Khóa 2015 Luận văn Thạc Sĩ Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng trong Q thành các tập bị chăn trong R”) va x(-) la nghiém không thể kéo dai cảa (1. Khi đó, uới tập đóng bị chăn U trong Ô, tồn tai ty sao cho (t,2,) É U uới tụ St< +. Gia stt F(t,0) = 0,Vé € R.
Nghiệm không của phương trình (1.5] được gọi là () ổn định (5) (hay ổn định Lyapunov) nếu với mỗi e > 0 và ø € R cho trước, tồn tại ô = ô(e, ) > sao cho ldl<ð =_ llzŒ,ø,øở)|| < e với mọi # > ø.
