phần mở đầu, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được dự Kiến như sau CHUONG 1. KIỀN THÚC CƠ SỞ 1. Không gian banach 1. Không gian hilbert 1.
Cơ sở trực chuẩn 1.4, Ham số và đạo hàm fréchet 1. Dao ham newton va tính chất CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỦA TRƠN VÀ CHỈNH HÓA THƯA. Phương pháp newton nửa trơn suy rộng cho phương trình không liên tục một biến 2.
Xấp xỉ nửa trơn cho hàm không trơn 2. Phương pháp Newton nửa trơn suy rộng, 2. Phương pháp newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa 2. Bai toán tối ưu không trơn trong chỉnh hóa thưa 3.
Diều kiện tối ưu 2. Một số bổ đề bổ trợ 2. Phương pháp Newton nửa trơn CHUONG 3. LAP TRINH VA Vi DỤ SO 3 3.
Giải thuật newton nửa trơn suy rộng cho phương trình không liên tục một biến 3. Giải thuật newton nửa trơn cho bài toán tối ưu trong chỉnh hóa thưa. CHUGNG 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, luận văn trình bày một số định nghĩa và định lý của giải tích hàm. có liên quan đến luận văn.
Trình bày các kiến thức chuẩn bị, gồm khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert, cơ sở trực giao, hàm khả vi Fréchet, dao ham Fréchet, ham liên tục Lipsehitz và đạo hàm Newton. Không gian Banach Định nghĩa 1. Cho X là một không gian vectơ trên K va ||- ||: X > R là một hàm số thỏa man: 1. Vz€ X: |lz|| >0; |lz|[ = 0 khi và chỉ khi z = 0.
JJAzll = lA| llz|| với mọi À € K. lIr+ w|l < |lzll+ llu|| với moi x,y € X. Khi đó cặp (X; | - ||) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay gọn hon là không gian định chuẩn và hầm số | | được gọi là một chuẩn trên X. Cho (X, ||: ||) là một không gian định chuẩn.
Dãy (z„)„ C X hội fụ đến z trong không gian X nếu lim ||z„ — z|| = 0. (z„)„ là một đãy Cauchy nếu ||z„ — z„|| + 0 khi m,n + oo. Cho (X, ||: |) là không gian định chuẩn. Nếu mêtric sinh từ chuẩn đ(z,y) = ||z — w|| trong X cùng với X tạo thành không gian mêtric đầy đủ thì X được gọi là không gian Banach.
Nói cách khác, một không gian định chuẩn (X, ||: ||) được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc. Không gian Hilbert Định nghĩa 1. Cho #f là một không gian vectơ trên trường số thực. Tích vô hướng trên /f là một ánh xạ (-,:) : H x HH — TR, xác định như sau: (x.
$6 thu (x,y) duge goi la tích vO hung ciia hai vecto x va y.)) dutge goi là không gian tién Hilbert. Với mọi x, trong không gian tiền Hilbert H ta luôn có bắt đẳng thức sau đâu. Với y = 0 hai về của (1.1) đều bằng 0 nên (1. Giả sity 40, khi đó với mọi À thuộcR ta có (+ Aw,z+Au) >0 hay (x,2) + 2A (x,y) + ¥ (y,y) > 0.
Chon A= - 22 ta được (uy) ewe ,2) — eH 7, M) >0. f=) (yy) > 'Từ đây ta suy ra bất đẳng thức (1. Nếu H là không gian tiền Hilbert thì công thức Izl= vz) (12) xác định một chuẩn trên H. Từ công thức (1.
Mặt khác lAzll = v@z.z) = |Alllzll 6 vdi moi x € H va \ € R. Cuối cùng, với mọi z, thuộc ÖÏ ta có, lle + yl? =e +2 ty) = +) + 2,0) + (ụ. 0) = lElÊ +2, w) + lll? < IIelẺ + 2Izlllll + IIulÉ = (lel + llwlẺ. Suy ra ||x + yl] < llx|] + |lyl].
Như thế | - | là một chuẩn trên H.3, ta thấy một khong gian tién Hilbert H 1A mot không, gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng được cho bởi công thức (1. Mot không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert. Cơ sở trực chuẩn. Cho #7 là một không gian tiền Hilbert, S và Af là các tập con của 1H.
Ta có các định nghĩa san day: 1) Hai phần tử z và y thuộc ïƒ được gọi là frực giao với nhau, ký hiệu là x L , nếu (x,y) =0. 2) Ta nói vectơ z trực giao với tập M nếu x .L ự với moi y € M, 3) Af* là tập gồm các phần tử z trực giao với AM. 4) Mot he S CH goi la hệ trực giao nếu hai phần tử khác nhau bất kì của Š trực giao với nhau, tức là, với mọi z,ý € S vax #y tacé x .L 5) Cho S là một hệ trực giao. Nếu mọi phần tử của Š đều có chuẩn bằng 1 thì ta gọi S là hệ trực chuẩn.
Néwn phan tit 2.22, x, tao thành một hệ trực giao thì ta có đẳng thite Pythagore Chứng minh. Do {z, là một hệ trực giao nên (z„z;) = 0 với mọi 1 < ¡. Do dé ta có 2 a edo) ~ (S > 1 (\jat ) = > ez > laall? ñ Định lí 1. Cho {zị,za.} là một hệ trực giao đếm được trong không gian Hilbert #Á.
Diều kiện cần tà đủ để chuỗi 3` z„ hội tu là chuỗi Š` |(z„||? hội tu va lúc đó ast net 3 oo Le => lal? Chitng minh, Ta dat Sụ =1 +1 +. +, On = lleall? + lleall? + --- + llra|Ể- Khi đó ta có lập ISn4y— Sull? = lân = >2 li? = lơnsy — ol isnt 'Từ đẳng thức này ta thấy (S„)„ là dãy Cauchy trong ?ý khi và chi khi („,)„ la day Cauchy trong R. Vì và R là những không gian đầy đủ nên (S,)„ là dãy hội tụ trong #í khi va chỉ khi (on)u là dãy hội tụ trong Et. Điều này có nghĩa là chuỗi ŠÖ z„ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi at ®) llra|l? hội tụ.
Nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ thì ta có nat 2 2 2. 2 Tụ k 2_ oe 2 = fim Y lle? =D lleall Định lý được chứng minh.} la mét hé truc chudn trong khng gian Hilbert H va (Ag) là day số thuc. Ta cd chudi 3% Ayen hoi tu vé x € H Khi va chỉ khi Š |Ày|* hội net = tu va ll? = al Chứng mình. Để chứng mình hệ quả này ta chỉ cần áp dụng Định lý 1.3 cho hệ trực giao {z„,n = 1,9,.
Khi đó ta có chuỗi 3` A„e„ hội tụ về z € ?( khi và chỉ khi 32 ||Auea|2 hội tụ.} là hệ trực chuẩn nên ||e„|| = 1 suy ti ra [[Anenll = |Àu|- Do vậy chuỗi 3 A„e„ hội tụ về z € ý khi và chỉ khi 3` |A,|? hội tụ và 2 oo Izl > nền => IAsel# = Ð 2 làa|”. Cho 1 la khong gian Hilbert va = {e„,n = 1,2,.} là một hệ trực chu Cho x là một vectơ trong 2í. Ta lập chuỗi hình thức sau đây Seder (1.3) T gọi là chuỗi Fourier của vectơ z đối với hệ trực chuẩn E, các số (z.en) gọi là hệ số Fourier: thứ n của z đối với hệ E.n € Ñ} là một hệ trực chuẩn trong không gian HiberL %4. Khi đó uới mọi z € 1M chuỗi Fourier (1.3) của nó luôn h6i tu trong H va ta có >1.
Gid sit M la mét khong gian con déng ciia khong gian Hilbert H. Khi dé méi phan tửz € ?( đều tồn tai duy nhat cap (y, z) trong do y€M waz € M+ sao cho z=u+z trong đó là uectơ thỏa mãn điều kiện ||z ~ y|| = |l2|| = inf {\lz — ull} = dự. aen Ching minh, Dat d= d(z,M) = inf, — w|l}. Khi đó theo tính chất củ infimum sé tồn tại dãy (yn)n trong M sao cho Tim llz [=4 AM là không gian con đóng của không gian Hilbert # nên Af cũng là không gian Hilbert.
Do đó để chứng minh (y„)„ hội tụ trong Ä/ ta chỉ cần kiểm tra (w„)„ là dãy Cauchy trong, AM. Ấp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ „ — z và , = z với mm,n € Ñ ta có Um + Yn — 22]? + [lm — Yn? = 2U (em — I? + llw.4) Do M là không gian con nen “= € Aƒ, Them vào đó, do d = inf {llr ~ ull} nên 2 | Yate _ ol) >. Lite nay, từ đẳng thức (1. Cho m,n — 00 ta c6 2(||ym — z|Ï + |Ïy, — z|Ê) — 4d? —> 0 nên |lw„ — wa|| => 0.
Vay (Yn)n là đãy Cauchy. Hơn nữa A/ là không gian đầy đủ nên tồn tại € Af sao cho lim ạ =. Từ đó ta có d= lim |x ~ yall = lz — yll. Bay giờ ta đặt z = z — ự hay z = ự + z.
Ta chỉ cần chứng minh rằng z € M+. Thật vay, giả sử u € Aƒ và u # 0. Với mọi a € R ta có ý + au € Aƒ nên lel)? = llz = ll? < Ile = (y+ au)|? =llz— au|# = Œ~ qu,z = quỳ = |? ~ 2a (e,u) + a#llu|Ÿ. Chọn a = ="), ta06 " La) en Izlf < lle? - SS.
lull? Do đó | (z,u) | < 0 suy ra (z,u) = 0 với mọi u € M, tức là z € Af+. Bây giờ để chứng minh tính duy nhất ta giả sử có y,y/ € M va z,2’ € M+ sao cho x=u+z=W+ Khi đó ụ — y'= z' — z € Á MT nên (y — /, — ý) = Như thế = w và z = a Định nghĩa 1. Cho E = {en,n = 1, } là hệ trực chuẩn hữu hạn hay đếm được của không gian Hilbert #. Ta nói E là cơ sở trực chuẩn hay hệ trực chuẩn đầu đủ trong ?( nếu không gian con A sinh bởi E trù mật trong ?í.} là một hệ trực chuẩn trong H.
Khi đó bốn mệnh đề sau tương đương. 1) E là cơ sở trực chuẩn. 8) Mọi ucctơ z € ?( được khai triển thành chuỗi Fourier của nó z = Ÿ" (z,c) cị. 8) Với mọi z,ụ € 1 ta 6 (x,y) = ŠŠ (6) (v.e)) & 4) Với mọi z € ®H ta có |lr|? = 3| ,cð P h Chứng mình.6 ta có chuỗi Fourier của z luôn hội tụ trong ?í.e¡)c¡ và sẽ chứng mình = 0.
Với mỗi mm € Ñ ta có. a (ys €m) = (&,€m) = ei) (em) = (em) — (,em) (6m, 6m) Gọi Af là không gian con sinh bởi E. Với mọi z € Af ta có Do đó (yz) = 3 3e) =0 y1 z2 w L Á a € AM, Do A là không gian con đóng và # là cơ sở của # nên y € Mt = đó ta có yly> (yy) =0>y=0. 2) +3) Do E la he true chuan nén (.e) “Dw = jim yy (ese) (wes) = > (.