CHƯƠNG 1 KIEN THUC CHUAN BI 1. CHUOI HINH HOC Định nghĩa 1. Chuỗi phức a¿ được gọi là chuỗi hình học nếu tồn tại hằng số a, s € C sao cho #H —sVE€N (1.1) a Khi đó a, = as! Một chuỗi hình học có dạng a+as+as2 +. Chú ý rằng một chuỗi hình học hữu hạn là a(1— s"*1) Nếu |s| < 1 thì 1.HAM BIEN PHUC 1.
Hàm liên tục Định nghĩa 1. Cho hàm ƒ(2) xác định trên tập mở D C C. Ham ƒ(z) được gọi là liên tục (hay C - liên tục) tại điểm zo € D nếu. (12) Nếu hàm f(z) liên tục tại mọi điểm 2 € D thi ham f(z) duge goi là liên tục trên tập hợp D.1) còn có thể được phát biểu đưới dạng tương đương sau đây.
Ham f(z) duge goi 1a liên tục tại diém 2 € D nếu Ve > 0, 3ổ(e, zụ) > 0: Vz € {|z — za| < 6(€, 20)} thì I/(z) — f(s)| < s- Định nghĩa 1. Từ tính liên tục đều của ƒ(z) suy ra rằng ƒ liên tục. Điều khẳng định ngược lại, nói chung là không đúng. tổ bởi ví dụ sau đây.
Giả sử /(z) = : và D={2€C:0<|2| <1}. Ham ƒ(2) liên tục trong D nhưng không liên tục đều trong đó. That y, giả sử ngược lại: hàm f(z) lien tue déu trong D. Khi đó với e = 1, phải tồn tại sé 6 = 61 > 0 sao cho moi cap diém z' và 2" ta có 1 1 g~z|<*s 0<|#=z|<äi.
ta sẽ chọn số ng sao cho 1 1 ——z—|<ài. n 2no cao „1y Khi đó, đặt z” = —, z” = z— 1 ta thu được no 2no Đó là điều mâu thuẫn. Điều đó, chứng tỏ rằng ƒ(z) không liên tục đều trên D. Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.
Hàm ƒ được g là hàm chỉnh hình tại điểm zạ nếu nó là C - kha vi tai một lân cận nào đó của điểm zụ. Hàm ƒ được gọi là chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền ấy. Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền D được ký hiệu là ?(D). „ Giả sử miền D C C va H(D) tap hop moi ham chink hành trong miền D.
Khi đó (i) H(D) la mét vanh; (ii) Nếu f € H(D) và ƒ(z) # 0,Ýz € D thi 7 € H(D); (iii) Néu f € H(D) va f chỉ nhận giá trị thực thi f là hằng số. Nếu f(w) la ham chỉnh hành trong DẺ tà nếu g : D —š D* là hàm chỉnh hình trong D thà hàm hợp ƒ[g(2)} chỉnh hình trong D. TICH PHAN TRONG MIEN PHUC cho tuyến trơn + = +(/) : I > C,I = [a,b] C R va gid sit cho ánh xạ liên tục five. Khi d6 ham f{>(¢)] 1A mot ham lien tue tren J Ta có định nghĩa sau da Định nghĩa 1.
Tích phân b J = f flo’ oa (1.3) được gọi là tích phân của hàm ƒ theo tuyến + và được ký hiệu là [fo Dinh nghĩa này phù hợp với định nghĩa tích phân đường thông thường (theo nghĩa Cauchy - Riemann) của hàm liên tục theo khoảng compac. 7 Cũng có thể tính tích phân đường theo tuyến trơn từng khúc. Trong trường hợp này sẽ chọn phép phân hoạch a=ty<t<.<t,=b sao cho hạn chế +¡ của tuyến + trên đoạn [t;,t;41] là tuyến trơn với ¿ bất kỳ, 0 < ¡ < m— 1. Và theo định nghĩa [tou = lim f(e)de.4) Có thể chứng mình rằng giá trị của về phải (1.4) không phụ thuộc vào việc chọn phép phân hoạch và trong trường hợp khi + là tuyến trơn thì định nghĩa này của tích phan [ ƒf(z)dz trùng với định nghĩa (1.
Do đó, định nghĩa tích phân (1.4) là đúng đắn. Giả sử + là đường tròn +x={z€C:|z—a|=r} (15) do đó +() = a+ e”,t € |0,2a]) và ƒ(z) = (z— a)",n € Z. Theo định nghĩa (1.1) ta c JŒ) = Ie —a)"dz= cọ [ cty, or Khi n # —1 thì J(f) = 0. Khi n = —1 thi Như vậy: 0 khi ø £ —1 JŒ)= cuc (1.6) 2z¡ khi n = —1 Nhận xét 1.
Bằng cách đặt ƒ = u+iv và dz = dx + idy ta thu được: Jieu J udx — vdy +i | ude + udy.7) 1 > 4 Tit dinh nghia và công thức (1.7) dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của tích phân trong miền phức. Tinh chất tuyến tính. là những hàm liên tục được cho trên + và œ¿(k = 1,2,.,n) là những hằng số cho trước thì: [ (Sane) dz Soe [ lees J WŒ m4 (ii). Tính chất cộng tính.
Giả sử cho hai tuyến trơn mult): Ja,e] — C, ^s(f) : [e,b] —> C sao cho ule) = %2(©)- Xét tuyến trơn từng khúc là hợp của hai tuyén 7, 72 u(t), t € [ae y(t) = lad a(t), t € [c, b] Tit dinh nghia suy ra ring | fG)d = [ f2): + [ fe)4 ane (iii). Tính bắt biến đổi uới phép biến đổi tham số.3) là một bắt biến đối uới phép thay tham số. Nói cách khác nếu + +* thì [fou = [ fou. CHUOI LŨY THỪA Chuỗi hàm dạng Sứ —z)*, (1.
là những số phức cho trước, được gọi là chuỗi thừa. Số zo được gọi là tâm của chuỗi, œ¿, = 0,1,2,. được gọi là những hệ số của chuỗi lũy thừa. 9 Nếu đặt z = £ — 2 thì có thể viết chuỗi (1.
Néu chuỗi liy thita (1.8) hoi tu tai diém 2» £0 thi nó hội tụ tuyệt đối trong hành tròn {|z| < |za|}.8)phân kỳ tại điểm z = z\ thì nó cũng phân kỳ tại mọi điểm z mà |z| > |z\|. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.8) là hành tròn 8={zeC:|z|< R} sới bán kính R xác định, phụ thuộc uào các hệ số của chuỗi. Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.4, (Cauchy - Hadamard) Bán kính hội tụ lì của chuỗi lũy thừa (1.8) được tính theo công thức p-t-— 1 (1.10) p tim, sup|an|* trong đó ta đặt lì = 0 nếu p = +ee tà l= +œ nếu p = 0.LY THUYET THANG DU 1. Dinh nghia thang du [II Định nghĩa 1.
Điểm bất thường cô lập zọ được gọi là (0) điểm bắt thường bỏ được nếu lim ƒ(z) # se; (ii) cực điểm nếu tim f(2) = 00; (iii) diém bét thutmg eft yến nếu hàm ƒ(z) không có giới hạn khi z+ 29. Giả sử hàm ƒ(z) chỉnh hình tại điểm a hoặc có bắt thường cô lập đặc tính đơn trị a. Giả sử + là đường cong đóng Jordan bao điểm z = ø và được định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Khi đó tích phân = J ƒ(z)dz được gọi là thing di của hàm ƒ(z) đối với diém a va 10 được ký hiệu là res mg J1): (1.
Giả sử ƒ € H{|z| > r} và z aBe g" z B I thường cô lập của hàm f(z). Dai lượng được gọi là thặng dư của hàm ƒ tại điểm se trong đó +" (0, f) là đường, tròn +~(0, R) = {|z| = R} với bán kính đủ lớn được định hướng sao cho lân cận điểm se luôn luôn nằm bên trái. /1/ Nếu ƒ(z) có một cực điểm tại zạ € D, thà trong một lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hành h(z) không triệt tiêu tà số nguyên dương k lớn nhất sao cho " z ƒ(z) = Gea Số nguyên dương k trong Dinh lý (1.1) được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới zạ. Nếu cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
/1/ Nếu ƒ có cực điểm bậc k tại zạ thì f= 6 dé G(z) la ham chinh hinh trong mét lan céin ctia diém 2. Phương pháp tính thặng dư (i) Thang dur tai vo cing Dinh ly 1. Gid sit vdi0 < | | <p ham f(z) có thể biểu diễn dưới dang f= }) a(z—a)", (1.12) —s<n<% Khi đó (113) ul Néu khi R < |z| < f= YO anz" (114) —se<n<% Định lý 1. Nếu hàm ƒ chỉnh hành lại điểm so thà res =~ lim 2[f(2) — ai}.
Nếu co la không - điểm cấp m > 1 của f(z) thi Q = A) =. = Any =0 va do dé res = —a_; =0. Néu m = 1, tite la lim f(z) = ap = 0 thi 2-400 = lim — 2. (ii) Thang du tai cue điểm Dinh ly 1.
Néu a la cuc diém don ctia ham f(z) thi thang dư của f tai a được tính theo công thức sf = 2a lim(z — a) f(2). Nếu a là cực điển cấp m của hàm ƒ(z) thì to ge f= menltder(Œ=3)”/}. Định lý cơ bản của lý thuyết thang dư Định lý 1. Giả sử T là biên có hướng của miền BCD va gid thiét ring ` không đi qua một điểm bắt thường nào của Ƒ.
Khi đó: (i) S6 điểm bắt thường của ƒ ở trong B là hữu hạn. 12 (ii) Ham f théa man hé thite [fea = 2ni D> res f, (1.19) =1) trong đó tổng ở uề phải của (1.19) được lầu theo mọi điểm bắt thường của hàm ƒ(z) nằm trong B. PHUGNG TRINH SAI PHAN 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa 1.
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng AXn+1 + btn = fn, a ~ 0,6 £0, (1.20) hoặc #mèi — đu = fn, 4 #0, (1.21) trong đó ƒ„ là một hàm theo ø gọi là về phải của phương trình, z„ là ẩn. i) Néu a,b, q là các hằng số, thì ta nói là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ hằng. ii) Nếu ø,b, 4 phụ thuộc vao n thi ta nói phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên. ii) Nếu ƒ„ = 0, ta gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, nếu ƒ„ # 0 ta nói phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.
Nghiệm của phương trình (1.20) i) Hàm số z„ = z(n), biến n thỏa mãn (1.20) được gọi là nghiệm của phương trình (1. ii) Ham số #, = 2(n,C) bién œ, phụ thuộc tham số Œ thỏa mãn (1.20) với mọi Œ, được gọi là nghiệm tổng quát của (1.20), nếu với mọi giá tri ban dau 2 — a, ta đều xác định được duy nhất tham số Cụ thỏa mãn Fy = x(n, Cp) ii) Nếu hàm #„ #{n,C) là nghiệ n tổng quát của (1.20) thì z‡ = x(n, Cụ) gọi là nghiệm riêng của (1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Định nghĩa 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có dang: #n+a — PEn+i — đRn = fay (122) trong đó #„ là hàm theo đối số nguyên m gọi là ẩn, ƒ„ là hàm số của m gọi là về phải.
i) Nếu p,q là các hằng số thì phương trình (1.22) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. ii) Nếu p,q là các hàm số của ø thì phương trình (1.