Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Ma trận và định thức Định nghĩa 1. Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K — là trường thực R, hoặc phức C) là mot bang chit nhat gdm m x n phan tit trong được viết thành m dòng và n cột như sau: ay 42 43 .- Ain đại đạy 23. In A=] agi dạy dạy. đặn đảm mg đmg.
đmn Trong d6 aj; € K là phần tử ở vị trí dòng ‡, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = a¡;. Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C va tap hợp tất cả các ma trận cỡ mm x ? trên trường được ký bởi Amxn(K). Ma trận chuyển vị của ma tran A duge ki hiéula A’, là ma trận nhận được từ 4 bằng cách đổi hàng thành cột.
Cho A= 012 3 548 -6 AT= wns § —6 Tính chất 1. Phép cộng hai ma trận cùng cỡ. Tổng A + B cita hai ma trận cùng kích thước m x n A va Ö được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: (A+ B)¡j = A¿j + Bịj,1<?<m,1<j<n. Nhân (vô hướng) một số với ma trận.
Tích e4 của số € (cũng được gọi hướng) với ma trận 4 được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử c A với œ (c4)¿j c. Phép toán này được gọi là nhân vô hướng. Nhân ma trận. Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải Nếu 4 là một ma trận mm x ø và Ö là một ma trận ? x ?, thì ma trận tích AB là ma trận rn x p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong 4 với cột tương ứng trong Ö' (AB)j = Ain Bij + AigBoy +o + AinBnjy lL <i < mA <j <n.
Dịnh thức của ma trận vuông 4, được kí hiệu là det A, là một giá trị chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này A. Và được xác định bởi: an ( đại đa ay địa. Trong trường hợp tổng quát, định thức của A được xác định bởi: det A= Yr a;j det C5 = Ya, det C,,; ja iat với det C,j = (—1)#? đet M,;, A,; là ma trận nhận được từ 4 bằng cách xóa đi hang ¡ và cột j.2 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1. Nếu V và W là các không gian vectơ trên cùng một trường, chúng ta nói rằng ánh xạ f: V —> IW là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ z và trong V và bất kỳ vô hướng ø trong K, chúng ta có: f(x + y) = f(x) + f(y) f(z + y) = F(x) +f(w) (tính kết hợp) f(az) — af(z) f(az) — af(z) (tính thuần nhất) Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định ƒ "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector #,.#„ và các vô hướng đị,., đạn, chúng ta có: (ai + --- + đm#m) = đIŸ(#1) + - - - + amŸ(#m)- “Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa tuyến tính.
Nếu V và W thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính C, nhưng nó không phải là C-tuyén tinh. Néu f : V > W 1a tuyén tinh, ta định nghĩa hạt nhân của f ky hiệu ker (f), ảnh của f và hạng của f như sau ker(f) = {2 EV: f(x) =0};im(f) = { f(e): 2 EV}, ker(f) 18 mot khong gian con cita V va im(f) 18 khong gian con cia W. Công thức sau đây được xem định lý về số chiều dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(V).
Nếu V và VW là hữu hạn chiều, và ƒ được biể diễn bởi ma trận A, thì hạng và số vô hiệu của ƒ tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận A Chương 2 Tính điều khiển được của hệ mô tả Nội dung của chương này nhằm mục đích trình bày về các khái niệm cơ bản về tính điều khiển được của hệ mô tả.Tài liệu chính được tham khảo trong chương này là tài liệu |6| 2.1 Khái niệm lý thuyêt điều khiên Ta tiến hành xem xét hệ mô tả có dạng F(t, = 29, y — G(t,x) =0, (2.1) trong dé t € [to, ty] Định nghĩa 2. Hệ mô tả (2.1) được gọi hoàn toàn có thể điều khiển (có thể điều khiển - Ở) nêu với bất k trạng thái ban đầu đã cho zụ € R" và trạng thái cuối cùng #/ € R" tồn tại một hàm điều khiển đầu vào w biến đổi hệ từ zo thành z/ trong thời gian hữu hạnf € [fo,f/Ì.1) một tập hợp được gọi Ì 6 Hi dat dude tity néu véi tat ca xy € R,, ton tai mot ham đầu vào kiểm soát được w biến đổi hé tit ao thành z/ trong khoảng thời gian hữu hạn (tức là tồn tai u,ty < 00 sao cho #(tr,u,#ạ) = 15 € Rio.) O đây Rey = {ay € R"|Bu,ty < 00: 2(ty : ua) = ay} CR". ® = U,„cx/67„„ biểu thị tập hợp có thể đạt được (trong đó 7! CR" la tập hợp tất cả các giá trị ban đầu zọ tại thời điểm to).1) được gọi là có thể điều khiển trong tập hợp có thể đạt được (có thể điều khiển - R), nếu bất kỳ trạng thái nao trong R" c6 thé đạt được từ bất kỳ trạng thái ban đầu xp € R" trong khoảng thời gian hữu hạn (tức là đối với bất kỳ #ọ €R”", ay ER", ty < 00 sao cho a(ty;u, x9) = ty). Khả năng điều khiển # đôi khi cũng được gọi là khả năng điều khiển động hữu hạn.
Nói chung, các hệ mô tả sẽ không nhất thiết là điều được Ớ, vì các điều kiện ràng buộc sẽ xác định nghiệm trên một đa tạp nghiệm nhất định. Trong trường hợp £ = J,, kha năng điều khiển # trùng với khả năng điều khiển €.1, Xét he mo ta 0 0Ì (ai = 01\(2\, (9 u 10 ay 10 x 1 Khi đó tập hợp có đạt được cho bởi ? = {(zi,za) € R?|xr2 = 0} và hệ có thể điều khiển R. Xét hệ mô tả 0 1Ì (ái 1 0À (z: -1 = + uw. 00) \ ae 01) \ a -1 với hàm dau vao u ditge cho bdi 0,0<t<1, u(t) = 1,1<t<t1.
tức là u chỉ là liên tục từng phần. Nghiệm được xác định bởi a(t) =u+t, 22(t) =u. Do đó, đối với w đã cho, không có nghiệm nào theo nghĩa cổ điển tồn tại. Tuy nhiên, phản ứng trạng thái của hệ có thể được mô tả như trong Hình 1.
và z¡, #s là một nghiệm theo nghĩa phân phối 10 Hình 2.1: Trạng thái xung lực của nghiệm. (Xung trong z¡ là do trạng thái đầu vào. Hệ mô tả (2.1) được gọi là điều khiển rung (điều khiến 1) nếu với bất kỳ trạng thái ban đầu zọ € R" tồn tại một hàm đầu vào điều khiển chấp nhận được œ, biến đổi hệ sang trạng thái xung trong thời gian hữu hạn Có thể chỉ ra rằng khả năng điều khiển 7 tương đương với khả năng hủy bỏ tất cả các trạng thái xung bằng cách chọn một œ phù hợp. Điều này có thể được thực hiện bằng điều khiển phản hồi trạng thái (nghĩa là đối với mọi trạng thái ban đầu zọ đều tồn tại một điều khiển phản hồi trạng thái sao cho hệ mô tả không có các nghiệm xung).
Đối với các hệ mô tả có thời gian bất biến (LTI) dang Bi = Ax + Bu, y = Cr, 2(0) = 20, (2.2) với E, Ae R™', Be R™",C € RP", Giả sử r = rank(E) < n và tồn tại các ma trận không suy biến 7, IW € R““' để cho hệ thống này tương đương với : 1 = Jan + Bru, 21(0) = 210 (2.3) Nay = 22 + Bou, x2(0) = 229 (24) y = Cixi + Coro, (2.5) với IVET = đụ, 0 , WAT= " : 0N 0 In 11 CT=(C; G), WB= ( Đ ) T= ( x ). By an và đặt ø = ind(E, 4). Chúng ta gọi (2.3) là hệ thống con chậm thứ nguyên ng va (3.4) là hệ thống con nhanh của thứ nguyên n„. Tiếp theo ta biết rằng nghiệm (hàm trạng thái) của (2.
Đối với bất kỳ £ > 0 hàm trạng thái z(£) = T(+†' z‡)” được xác định duy nhất bởi điều kiện ban đầu z¡(0), đầu vào điều khiển w(s), Ú < s < † và thời gian t. Cụ thể, điều kiện ban đầu zz(0) phải được xác định duy nhất và chỉ có thể chọn #¡(0) tùy ý. Trong phần tiếp theo, chúng ta biểu thị 7o là tập hợp có thể đạt được của (2.3) từ điều kiện ban đầu z¡(0) = 0 (và za(0) duy nhất) Bỗ đề 2. Dối với bất kỳ đa thức p(/) # Ú xét ma trận W(p,t) = ƒ p(s)e**B, ‘ Ble“! *p(s)ds, vi Ay € R™, By € R™", Khi d6 Im(W(p,t)) = Im(B, Ai By .A{~'Bi) với bat ky t > 0.
Việc chứng minh bổ đề tương đương với ker(W(p, t)) = M83} ker(Bƒ(AT)'). Dé x € ker(W(p,t)), thi z"W(p,t)z = [ zTp(s)e'** Bị B†e2f*p(3)zds = [ ˆ IBfe*F*p(s)zjds =0 12 và do đó Bƒe*Ï*p(s)z = 0 với 0 < s <†. Đa thức p(s) có số nghiệm hữu hạn trong [0,f], vì vậy chúng ta có BTc“ *z=0,0< s<t. Vis la tity ý, chúng ta có z € fự"g ker(Bƒ(Aƒ)') (theo định lý Cayley — Hamilton) và vì ker(W(p,£)) C ker(B†(4ƒ)').
Đối với z € ker(Bƒ(4†)') ngược lại quá trình này mang lại x € ker(W(p,t)),véi ker(Bf (AT)') C ker(W (p,£)). Khi đó tồn tại một đa thức p(t) € R" bac v— 1 sao cho p)(ty) = xy véi i _= Chứng minh. Bằng cách xây dymg p(t) duéi dang: P(t) =o + mi(E— h) +. + (@—1 (t= th)" và sử dụng các điều kiện ban đầu ta chứng mỉnh được sự tồn tại của các hệ SỐ đụ, #Ị,.
Dat Ro 1a tap hgp có thể đạt được của (3.2) từ điều kiện ban đầu bằng không z¡(0) = 0 thi Ro =Im[By JB, .J"" By] @ Im|By NBy. @ có nghĩa là tích Đề các Chứng mình. Đối với z;(0) — 0 v࣠> 0 hàm trạng thái của (2.2) được xác định bởi a(t) = [ e!-9) Byu(s)ds,aa(t) = — vB) =0 Rõ rang, x2(t) € Im[{By NB2. Hơn nữa, tồn tại các hàm 6,(t) € R,i = 0,0 —1 sao cho e† = Bolt) + (QT +.