Chương 1: Định lý 1.3 tự chứng minh. Đặc biệt trong Định lý 1.1 chúng tôi đã xây dựng được công thức tính biên tối tru cho một khung và áp. cđụng kết quả này trong Vi dy 1.Kết quả này đã được giới thiệu trong bài báo: " Tăng Tắn Đông (2019), Vẻ biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert, Tap chi Khoa học và Công. nghệ, Đại học Đà Nẵng, Vol 17." ~ Chương 2: Định lý 2.6 tự chứng minh.
- Chương 3: Định lý 3.3 tự phát biểu và tự chứng mình. Khung là một khái niệm mở rộng của Cơ sở trong không gian Hilbert, cho phép biểu diễn các phần tir trong không gian một cách linh hoạt hơn. Với ưu điểm đó lý thuyết Khung được ứng dụng nhiều. thon trong vật lý mà đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu hoặc truyền thông.
viễn của đà: Có nhiều khung Gabor người ta vẫn chưa tìm ra được biên khung tốt nhất của khung Gabor trong khéng gian Hilbert. Chúng tôi vẫn đang tiếp tục nghiên cứu tìm công thức tổng quát cho các biên khung. tốt nhất của khung Gabor trong không gian Hilber. “Từ khóa: Khung trong không gian Hilbert; khung; toán tử khung; toán tử khung đối ngẫu; khung Gabor; biên khung tốt nhất.
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn "Người thực hiện đề tài WV. Ngấế n Nhụy Tang Tan Dong INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Frame in a Hilbert space Maj : Mathematical analysis Full name of Master student: Tang Tan Dong Supervisors: Assoc. Nguyen Nhuy Training institution: The University of Da Nang - University science and Education Abstract: The thesis presents some general theories about frames in Hilbert space, frame operator, dual frame operator, canonical dual frame, Gabor frames.Specifically: ~ Chapter 1: In this chapter, the thesis presents some concepts and properties of Hilbert space, Definition of Frame in Hilbert space, give the general formula find optimal frame bounds in a Hilbert space, presents some related properties. ~ Chapter 2: In this chapter, the thesis presents the construction process frame operator, dual frame ‘operator and consider some of their important properties.
~ Chapter 3: In this chapter, the thesis studies Gabor frame ‘The new results of the Dissertation: ~ Chapter 1: Theorem 1. Especially in Theorem 1.1, we have developed the formula for calculating the optimal boundary for a frame and applying this result in Example 1.1 (this example we built by ourselves), This result was introduced in the article "Tang Tan Dong (2019), On the optimal frame bounds in a Hilbert space, Journal of Science and Technology, University of Danang, Vol 17.6 self— proved, - Chapter 3: Theorem 3.3 self- statement and self-prove. ‘Scientifi lạniD Frame is an extended concept of Foundations in Hilbert space, more flexible representation of ‘elements in space. With that advantage Frame theory is applied more in physics, especially in the field of signal processing or communication, Development direction of the topic: ‘There are many Gabor Frames that people couldn't find the formula for the optimal of Gabor frames bounds in a Hilbert space.
We are still working analysis finding the formula for the optimal of Gabor frames bounds in a Hilbert space. Key words: Frames in Hilbert space; frame; frame operator; dual frame operator; Gabor frame; optimal frame bound. Supervior’s confirmation Student Assoc.Prof a Tang Tan Dong MUC LUC LOI CAM ON MỤC LỤC .KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT. Một vài kiến thức chung về khung và cơ sở trong không gian Hilbert 6 1.
Biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert. Một vài tính chất cơ bản của khung. Toán tử unitar và khung .-cc+: 25 CHƯƠNG 2.TOÁN TỬ KHUNG VÀ TOÁN TỬ KHUNG ĐỐI NGẪU. Toán tử khung.
Khung đối ngẫu và khung đối ngẫu chính tắc. KHUNG GABOR TRONG KHÔNG GIAN /?(8) 52 3. Chuỗi Fourier và cơ sở khung Gabor. Khung của dịch chuyển và khung Gabor.
Điều kiện cần để một hệ Gabor là khung,. Điều kiện đủ để một hệ Gabor là khung. Một vài ứng dụng điều kiện đủ để một hệ Gabor là khung. Về hệ Gabor của một vài lớp hàm cửa số đặc biệt.
Hàm Œauss g(#) = € TỔ. Hàm đặc trưng ø(#) = Xioj:€ > Ú. TÀI LIỆU THAM KHẢO. Ly do chon dé tai Một trong những khái niệm quan trong nhất của không gian vectơ là cơ sở, vì mỗi veetơ của không gian đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử thuộc cổ sở này.
như ta xét không gian veetơ hữu hạn chiều 2í. Néu {f,}{_, 1a một cơ sở của không gian ?, thì mỗi vecto ƒ € ?( đều biểu diễn dưới dạng Me f= Dd af)fe kal và các hệ số œ(ƒ) này là duy nhất, chúng chỉ phụ thuộc f. Chinh vi vay mà hệ các vectơ cơ sở của không gian tuyến tính thường được xem như là các khối xâ dựng cơ bản (elementary building blocks). Tuy nhién, yêu cầu của một hệ vectơ tạo thành một cơ sở lại quá chặt chẽ, mà đòi hỏi cơ bản nhất của nó phải độc lập tuyến tính.
Thậm chí nếu # là không, gian Hilbert thì người ta còn đòi hỏi chúng phải là cơ sở trực chuẩn, vì từ cơ sở (hệ độc lập tuyến tính cực đại) ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa Sehmidt rồi chuẩn hóa để được cơ sở trực chuẩn. Khái m khung xuất hiện nhằm làm giảm thiểu các yêu cầu khắt khe của sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ, nhờ đó mà có được nhiều ứng. Ta nói một dãy đếm được các vectơ { ƒ,}j .¡ trong không gian Hilbert 2 được gọi là khung (frame) cita không gian này nếu tồn tại các hằng số A và 8,0< A < B < se sao cho x AIP S SOLE Sa) P< BISIP voi moi f eH. = Cac hing sé A,B > 0 trong các bất đẳng thức nói trên tương ứng được gọi là biên khung đưới và biên khung trên.
Rõ ràng rằng các biên khung này không duy nhất. Ta gọi biên khung dưới tốt nhất (the optimal lower frame bound) la supremum cia tất cả các biên khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất (the optimal upper frame bound) la infimum cia tất cả các biên khung trên. Nhiều tài liệu có đưa ra các định nghĩa biên khung tốt nhất, nhưng chưa thấy tài liệu nào xây dựng công thức cho các biên khung tốt nhất. Trong khi nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã thu được công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên tốt nhất này.
Đồng thời đã xây dựng được ví dụ áp dụng cho công thức tổng quát. “Thực ra, ngoài lí do đòi hỏi cứng về sự độc lập tuyến tính nói trên, còn một lý do khác quan trọng hơn, xuất phát từ yêu cầu ứng dụng, mà đây chính là nguyên nhân chính dẫn đến khái niệm khung. Đó là Định lý lầu mẫu cổ điển (Classical Sampling Theorem), định lý này còn có tên gọi là Dinh ly léy maéu Nyquyst Shanon (Nyquyst Shanon Sampling Theorem). Dinh ly lay mau Nyquyst Shanon có vai trò như một hòn đá tảng (cornerstne) của Lý thuyết truyền tin và Xử lý tin hiệu mà ngày nay nhất thiết phải sử dung.
Dinh lý lấy mẫu nói trên lại tương đương với phát biểu rằng, với mỗi 0 < b < 1, day = {O™} la mot khung chat cita L7(0, 1], tte 6 bất đẳng thức trong định nghĩa khung nói trên ta có 4 = B. Chinh Gabor, mot nha toan hoc M¥ nam 1946 khi xây dựng Lý thuyết truyền tin và một hệ khung và sau này mang tén Gabor. Với trường hợp riêng b = 1 thì hệ vừa giới thiệu trên là một cơ sở trực chuẩn. Tuy nhiên, nếu b < 1 thì s¿ không là cổ sở Riesz của /?{0,1] (cho đà khái niệm này yếu hơn cơ sở) và do đó các hệ số khung là không duy nhất.
Từ đó ta thấy rằng khái niệm khung là tổng quát hơn và có ứng dụng trong Lý thuyết truyền tin và Xử lý tín hiệu tốt hơn là khái niệm cơ sở trong không gian Hilbert. Tuy thế, mỗi veetơ của không gian ?( vẫn được biểu diễn thành chuỗi qua khung với yêu. cầu lỏng lẻo hơn, không đòi hỏi hệ này phải độc lập tuyến tính. Điều quan trọng là sự biểu diễn ni y van có được dưới dạng hiện, thong qua hệ vectơ này và một tích vô hướng đặc biệt hoặc tích vô hướng của vectơ.
này với hệ khung đối ngẫu của nó. Š có được sự biểu diễn đó, toán tử khung và khung đối ngẫu được đưa vào. Sự biểu diễn này đã trở thành một công cụ hết sức hữu ích để nghiên cứu bài toán khung trong các tình huống khác nhau. Cụ thể, toán tử khưng 6 : H —+ 2 là một song ánh tuyến tính liên tục và tự liên hợp, vì thế tồn tại toán tử tuyến tính ngược S~! : #4 —> ?.
Nếu {ƒ:}jE¡ là một khung của không gian Hilbert ? thì dãy các veetơ {ƒ¿}j°¡ với je 9~!ƒ¿ (k= 1,2,.) cũng là một khung, và được gọi là khung đối ngẫu chính tắc (cannonical dual ƒrame) của khung {ƒ¿}j£. Khi đó mỗi veetơ ƒ € ?( đều có biểu diễn =>.) k=l Như vậy, mỗi veetơ ƒ € ? biểu diễn được qua khung và khung đối ngẫu như đã nói ở trên. Chú ý rằng do {ƒ¿}ÿƑ¡ không độc lập tuyến tính, nên biểu diễn của ƒ qua hệ này với các hệ số {œ}jE.¡ C C là không đuy nhất. Ngày nay, Lý thuyết Wavelets đang phát triển rất mạnh mẽ, lý thuyết này lấy không gian Hilbert lam không gian cơ sở để xây dựng mà cụ thể hơn không gian cơ sở được lấy là không gian Hilbert L2(R), không gian các hàm bình phương khả tích trên R.
Mỗi vectơ thuộc Ƒ3(R) được xem như một tín hiệu (signal) và người ta đã tìm cách biểu diễn mỗi tín hiệu qua khung. Hơn thế nữa, có thể nói hé vecto khung được làm nền tảng để xây dựng Lý thuyết Wavelets. Thật là thú vị khi Lý thuyết truyền tin và Wavelets đã lấy Giải tích Toán học làm nền tảng cơ sở để xây dựng. Sự hấp dẫn của Lý thuyết khung ngoài vẻ đẹp toán học cùng với sự ứng dụng hiệu quả và sâu sắc thì nó còn lôi cuốn các nhà nghiên cứu bởi có nhiều bài toán còn để ngỏ.
Từ trình bày và phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài Khung trong không gian Hilbert để viết Luận văn Cao học ngành Giải tích. Luận văn này tập trung vào việc giới thiệu lý thuyết tổng quát về khung trong khong gian Hilbert va đặc biệt trình bày một loại khung quan trọng, cụ thể đó là khung Gabor. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về cơ sở lý thuyết khung, khung đối ngẫu, khung đối ngẫu chính tắc và khung Gabor trong không gian Hilbert. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ lý thuyết cơ bản của khung trong không gian Hilbert.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Khung, khung đối ngẫu, khung đối ngẫu chính tắc và khung Gabor trong không gian Hilbert.