Chương 1 CO SG LY THUYET Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian R", hàm nhiều biến, tập lồi, nón lồi , định lí điểm bat dong Brower, kha vi Newton trong R” vA mot s6 tính chất của toán tử chiếu.Luận văn cũng giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân, một số khái niệm liên quan và trình bà y các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán. Các khái niệm, tính chất được trình bày ở đây được tác ả tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [5]: 1. Không gian R" Định nghĩa 1. Diém z trong không gian IR" là một bộ n số thực được xắp sếp theo thứ tự và được viết dưới dang vectơ cột + trong đó x; € R,i € {1,2,.,n} được gọi là tọa độ thứ ¿ của điểm x.
Để thuận tiện ta quy ước 5 Kí hiệu 0 = (0,0,.,0)f € R" là gốc tọa độ của không gian R". Mỗi điểm z thuộc R" xác định một veetơ trong IR" với điểm gốc là 0 và điểm. Vectơ như vậy được kí hiệu là z. Trong không gian R" tích vô hướng của hai vectơ (#i,#,.
ta) € RR" và = (0ì, Yess Yn)” ER" 1a mot số thực, ký eu là (z,) được xác định bởi (x,y) = Yori. i=l Với mỗi vectơ # = (21, 29,.,2n)" € R" chudn cia vecto x duge kí hiệu là ||z|| là một số thực không âm xác định bởi lzll= œ”z)!2= Tinh chat 1.+), (bo) (a +y,2) = (a,2) + (y,2), (c) (Av,y) =Ay,2), vdi NER, 4) (x,x) > 0, (x,2) =0 khi va chỉ khi x = 0. (5| Véi moi vecto x = (x1, 22, .,2,)? ER" va y= (Yi, Y2.-: Yn)? ER" , chudn ctia vectd có những tính chất như sau: (i) |\x|| > 0 va | # ||= 0 khi va chi khi x = 0, (8) ||Azl| = [A|llal|, vdi moi A € R, (iti) la + yl] < llall + llwll. (iv) Bat déing thite Cauchy-Schwarz Jœ.ø)| < llzllllull- Định nghĩa 1.
0y} được gọi là (a) Phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực œ,œa,.œ¿ không, đồng thời bằng không sao cho DE ,a;v; 0. (b)_ Độc lập tuyến tính nếu không tồn tại các số thực a, aạ,. œ¿ không đồng thời bằng không sao cho ĐÈ ¡a, 0. (a) Một tổ hợp tuyến tính của các veetơ œ¡, ,.u¿ là một veetơ có dang Df ;a¿, trong đó ay, a9,.
(b)_ Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính sinh ra R" được gọi là cơ sở của IR". Một cơ sở của R" chứa đúng n vectơ. (e)_ Trong không gian R” hệ gồm n vectơ đơn vị: e1 = (1,0,., I)” lập thành một cơ sở được gọi là cơ sở chính tắc của R". Hàm nhiều biến Định nghĩa 1.
*a) được gọi là hàm n biến số z¡,za,.z„ xác định trên tập hợp D. Khi đó, D được gọi là miền xác định của hàm số ƒ. Tập f(D) = {u = ƒ(z)|z € D} được gọi là miền giá trị của hàm f. Cho {ei, ea,.e„} là cơ 86 chinh tac trong khong gian R" , U là tập hợp mở trong R" và ƒ : U —› R là một hàm số của n biến số xác định trên Ù, 7 Định nghĩa 1.
(Dạo hàm riêng) Nếu giới hạn: 1". 0 t tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là dao ham riêng thứ ¿ của hàm ƒ tại x hay dao ham viens theo biến z¡ của hàm ƒ tại z và ký hiệu là: Difl(c) hay ƒ„(2) hay 2L). re Định nghĩa 1. (Gradient) Cho f ; R" + R c6 dao hàm riêng tại ax ER".
Khi do, vecto Vi (2) =( 9/0) ôm 9/0) Ons?” nce)" Ore được gọi là gradient của ƒ tại z. trong đó ø(||d||) là vô cùng bé bậc cao hơn ||d|| khi ||d|| — se. Hàm ƒ được gọi là khả vi trên tập mở Ư thuộc R* nếu ƒ khả vi tại mọi liểm thuộc Ù. (Khả vi Fréchet) Cho U là lân cận mở của z € R" và Anh xa f : U > R.
Anh xa ƒ dược gọi là khả vi Fréchet tại z nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục 4 : R" —› R thỏa mãn. tim L+H) = fla) = AWA _ 9 a II “Toán tử A được gọi là đạo hàm Frechét của ƒ tại z. F được gọi là khả vi Frechét nếu nó khả vi Erechét tại mọi điểm z € R". Tập lồi và nón lồi Định nghĩa 1.
(Tập lồi) Một tập Œ C R" được gọi là một tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bắt kỳ thuộc nó. Tức là, Œ lồi nếu Vz, € Ở và VÀ € [0, 1], ta có Àz + (1— À)y€ Œ. Dễ nhan thay ring R",0, các nửa không gian, hình cầu là các tập lồi. (Nón) Tập con C trong không gian IR" được gọi là nón(cone) nếu: Àz € Œ,V+z € Œ,VÀ > 0.
(Nón lồi) Một tập con Ở trong không gian R" được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa là tập lồi, tức là Ar + py € Œ,Vz, € Œ,VÀ,„r > 0. Nón pháp tuyến ngoài tại điểm z* của tập Œ là tập hợp: No(a*) = {ø €R": (ø,y— z°) <0 Vụ € C}, vectd w € Wec(z*) được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm z* của C. Một số tính chất của toán tử và toán tử chiếu Định nghĩa 1. Cho là một tập con lồi, khác rỗng của không gian R", và ánh xa F: C > R".
Ánh xạ Ƒ được gọi là (a) Don diéu manh (Strongly monotone) trén C véi hằng số Ø > 0, nếu V+, € Œ, (F(x) — F(y),2—y) 2 Alle — v|Ẻ. (g) Lien tuc Lipschitz trên Ở với he sé L > 0, nếu Vr,y € C, |F(2) — F(y)|| < Elle ~ 9l: Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1. Cho Ở là một tập con, lồi, mở và khác rỗng của 8". Nếu F :C — R" là ánh xạ tựa đơn điệu và afline (hay F(x) = Mx + q, M là ma trận n x ø)_ thì F là giả đơn điệu trên Ơ.
Ánh xạ Ƒ là giả đơn điệu mạnh trên Ở, nhưng Ƒ có thể không đơn điệu mạnh thậm chí không đơn điệu trên Ở trong ví dụ dưới đây. Cho Œ:=t{zeR": |lz|| < a},F() := (8 - llzll)z Vz e R". Khi đó, F là giả đơn điệu mạnh với hằng số +=Ø~a trên Ở và không đơn điệu trên Ơ. Từ z € Ở hay |Íz||< a < đ suy ra (x,y — 2) > 0.w—)) 10 > (8-a)lly— 2? = rly - z|Ẻ- Như vậy, F là giả đơn điệu mạnh với hằng số 7 > 0 trên Ơ.
Nhưng # lại không đơn điệu mạnh, thậm chí F khong don dieu trên C. Thật vậy, chọn hai phần tử trong Ở là # = (Ÿ. Nhu vay, F khong don diéu trén C. Cho C la mot tap con Idi, đóng và khác rỗng của khong gian R", va anh xa Po : R" —› Ở xác định bởi: Po(x) = argmin{||x — yl| : y € C}, được gọi là toán tử chiếu trên Ơ.
Khi đó, Pc(z) là hình chiếu vuông góc của z trên Ở. Hàm đe(z) := ||Pe(z) — z|| được gọi là khoảng cách từ điểm z đến Œ. "Theo định nghĩa, hình chiều vuông góc fc(z) của z trên Œ là nghiệm. của bài toán tối ưu bậc hai lồi mạnh " min{5||e — v|Ÿ : y € C} nên (2) luôn xác định.
(10) Cho Ở là tập lồi, đóng tà khác rỗng. Khi đó, ụ = Po(x) khi uà chỉ khi (u—z,z—) >0 hay (w,z — ) 3 (,z — w),Vz € C. Cho Œ là một tập con lồi, khác rỗng của không gian ánh xạ 7: Ở —> Œ được gọi là không giãn trên Ở nếu : I(+) = T0)|| < |lz — 9|, Yz. [1] Cho Ở là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của TR".
Khi đó, hàm số dẹ : R" —x R là lồi. 1] Cho Ở là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của RR". Với mọi # € Ở tà z € R", các tính chất sau là tương đương: (6) #= Fc(), (ii) z — # € Ne(8), (iii) \|y — |? < lly — z| ~ llz — #| Vy EC. [1] Cho C la tap con léi, déng va khée réng ciia R".
Khi đó, toán tử chiếu có các tính chất như sau: (i) | Po(a) — Pe(y)|? < (Pe(2) — Pely),2 —y) Va,y ER", (ii) | Po(x) = Pe(w)|| < || Yz. Định lí điểm bất động Brower Định nghĩa 1. Cho C là một tập con khác rỗng của không gian TR" và ánh xạ 7 : Ở => Œ là một ánh xạ. Điểm x € Ở được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu 7(z) = z.
[2| (Định lý điểm bat động Brower) Một ánh zạ liên tục T :B" —y B" tồn tại ít nhất một điểm bắt động, tức là điểm œ sao cho T(z) +, Ở đây, B" = {z € R", ||e|| < 1} là hình cầu đơn oị đóng trong Rt". Khả vi newton tại một điểm trong R" Định nghĩa 1. Cho U là một tập con mở của 2 C 8" và ƒ là một ánh xạ xác định trên D. Ánh xạ ƒ : U + R" duge goi la kha vi Newton tai x € U néu ton tai Anh xa F : U + L(D, R") sao cho.
h0 llh|| (a) 12 trong đó £(D, R") là tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ 7 vào R", Khi d6, F duge goi là một đạo ham Newton cia f tai x. Cho U là một tập mở cia D CR" va f là một ánh xạ xác định trên 7. Ánh xạ ƒ : U + R" duge goi lA kha vi Newton mạnh tại z € U nếu tồn tại ánh xạ F : U —> £(D, RB") sao cho Em lŒ+ ®) = ƒ(2) = FŒ + h)h|| (12) h0 Tal? , trong đó £(D, R") là tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ D vao Rr". Khi đó, # được gọi là một đạo hàm Newton mạnh của ƒ tại z.
(3| Nếu ƒ có dao hàm liên tục (theo nghĩa cổ điển) trên tập mé U thi f khé vi Newton tai moi diém trong tap mé U va mot dao hàm Neuton của ƒ là F = ƒ. Cho Ư là một tập mở của Ð C_®" và ƒ là một ánh xa xác định trên D. Giả sử, tồn tại ánh xạ #': U => £(D, R") sao cho với mỗi # € U, limim ƯŒ HT +®)TT = ƒ@) = Fứ + ñ)h|| = 0, nho II (13) trong đó £(D, R") là tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ 7 vào RB". Khi đó, hàm số ƒ được gọi là hàm Newton nửa trơn và F duge goi Ia một đạo ham Newton ctia f trén U.