I. Hệ phương trình
Luận văn tập trung nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân Fourier, đặc biệt là tính giải được của chúng. Các hệ phương trình này thường xuất hiện trong các bài toán biên của phương trình vật lý toán, các bài toán về dị tật trong môi trường, và các bài toán về vết nứt. Luận văn đề cập đến các phương pháp hình thức giải các phương trình cặp tích phân, nhưng chưa xét đến tính giải được của chúng. Tính giải được của phương trình cặp tích phân tuy không được nghiên cứu nhiều như các phương pháp tìm lời giải hình thức, nhưng đã được một số nhà toán học quan tâm.
1.1. Tính duy nhất nghiệm
Luận văn phân tích tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân Fourier. Điều này đòi hỏi việc xác định các điều kiện cụ thể để đảm bảo rằng hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất. Các điều kiện này thường liên quan đến tính chất của ma trận biểu trưng A(ξ) và các không gian hàm được sử dụng.
1.2. Sự tồn tại nghiệm
Ngoài tính duy nhất, luận văn cũng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình. Điều này bao gồm việc xác định các điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm. Các kết quả này thường dựa trên các định lý về sự tồn tại nghiệm trong không gian Sobolev và các không gian hàm suy rộng.
II. Tích phân Fourier
Luận văn sử dụng tích phân Fourier như một công cụ chính để nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp. Biến đổi Fourier được áp dụng để chuyển đổi hệ phương trình từ miền không gian sang miền tần số, giúp đơn giản hóa việc phân tích và giải quyết các bài toán. Các tính chất của biến đổi Fourier, bao gồm tính tuyến tính và tính liên tục, được sử dụng để chứng minh các kết quả về tính giải được của hệ phương trình.
2.1. Biến đổi Fourier của hàm cơ bản
Luận văn trình bày chi tiết về biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh và các hàm suy rộng tăng chậm. Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S và S' được sử dụng để phân tích hệ phương trình cặp tích phân Fourier.
2.2. Biến đổi Fourier ngược
Biến đổi Fourier ngược được sử dụng để chuyển đổi nghiệm từ miền tần số trở lại miền không gian. Luận văn chứng minh rằng biến đổi Fourier ngược là một đẳng cấu tuyến tính và liên tục, giúp đảm bảo tính chính xác của nghiệm thu được.
III. Giải tích
Luận văn áp dụng các phương pháp giải tích để nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier. Các kỹ thuật giải tích số và phương pháp Fourier được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp. Luận văn cũng đề cập đến các không gian Sobolev và toán tử giả vi phân vectơ, giúp mở rộng phạm vi ứng dụng của các phương pháp giải tích.
3.1. Giải tích số
Luận văn sử dụng các phương pháp giải tích số để tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình cặp tích phân Fourier. Các kỹ thuật này bao gồm việc sử dụng các phương pháp lặp và các thuật toán tối ưu hóa để cải thiện độ chính xác của nghiệm.
3.2. Phương pháp Fourier
Phương pháp Fourier được sử dụng để chuyển đổi hệ phương trình từ miền không gian sang miền tần số, giúp đơn giản hóa việc phân tích và giải quyết các bài toán. Luận văn chứng minh rằng phương pháp Fourier là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier.
IV. Phương trình vi phân
Luận văn liên hệ các hệ phương trình cặp tích phân Fourier với các phương trình vi phân trong vật lý toán. Các bài toán biên của phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa được sử dụng làm ví dụ minh họa cho việc áp dụng các kết quả nghiên cứu. Luận văn cũng đề cập đến các ứng dụng thực tế của các phương trình vi phân trong các lĩnh vực như cơ học, điện từ học và vật lý chất rắn.
4.1. Phương trình điều hòa
Luận văn áp dụng các kết quả nghiên cứu về tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier để giải các bài toán biên của phương trình điều hòa. Các kết quả này giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả của các phương pháp giải phương trình điều hòa.
4.2. Phương trình song điều hòa
Ngoài phương trình điều hòa, luận văn cũng nghiên cứu các bài toán biên của phương trình song điều hòa. Các kết quả nghiên cứu về tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp trong phương trình song điều hòa.
V. Tính giải được
Luận văn tập trung nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier với các dạng biểu trưng khác nhau. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng tính giải được của hệ phương trình phụ thuộc vào tính chất của ma trận biểu trưng A(ξ) và các không gian hàm được sử dụng. Luận văn cũng đưa ra các điều kiện cụ thể để đảm bảo tính giải được của hệ phương trình.
5.1. Điều kiện giải được
Luận văn xác định các điều kiện cần và đủ để hệ phương trình cặp tích phân Fourier có nghiệm. Các điều kiện này bao gồm tính xác định dương của ma trận biểu trưng A(ξ) và các điều kiện về tính liên tục và bị chặn của các toán tử được sử dụng.
5.2. Ứng dụng thực tế
Các kết quả nghiên cứu về tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier được áp dụng vào các bài toán thực tế trong vật lý toán và kỹ thuật. Luận văn cũng đề cập đến các ứng dụng của các kết quả nghiên cứu trong các lĩnh vực như cơ học, điện từ học và vật lý chất rắn.
