Luận Văn Thạc Sĩ Nghiên Cứu Tính Chính Quy Mêtric Phi Tuyến Của Ánh Xạ Đa Trị Và Ứng Dụng Thực Tiễn

• Tác giả: Dao Ngoc Han
• Người hướng dẫn: Assoc. Huynh Van Ngai
• Trường học: Quy Nhon University
• Chuyên ngành: Mathematical Analysis
• Đề tài: Nonlinear Metric Regularity of Set-Valued Mappings on a Fixed Set and Applications
• Loại tài liệu: doctoral thesis
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Binh Dinh

• Declaration
• Acknowledgments
• Contents
• Table of Notations
• 1. CHƯƠNG 1: PRELIMINARIES
• 1.1. Some related classical results
• 1.2. Basic tools from variational analysis and nonsmooth analysis
• 1.2.1. Ekeland’s variational principles
• 1.2.2. Subdifferentials and some calculus rules
• 1.2.3. Coderivatives of set-valued mappings
• 1.3. Strong slope and some error bound results
• 1.4. Metric regularity and equivalent properties
• 1.4.1. Local metric regularity
• 1.4.2. Nonlocal metric regularity
• 1.4.3. Nonlinear metric regularity
• 1.4.4. Metric regularity criteria in metric spaces
• 1.4.5. The infinitesimal criteria for metric regularity in metric spaces
• 2. CHƯƠNG 2: METRIC REGULARITY ON A FIXED SET: DEFINITIONS AND CHARACTERIZATIONS
• 2.1. Definitions and equivalence of the nonlinear metric regularity concepts
• 2.2. Characterizations of nonlinear metric regularity via slope
• 2.3. Characterizations of nonlinear metric regularity via coderivative
• 3. CHƯƠNG 3: PERTURBATION STABILITY OF MILYUTIN-TYPE REGULARITY AND APPLICATIONS
• 3.1. Perturbation stability of Milyutin-type regularity
• 3.2. Application to fixed double-point problems
• 4. CHƯƠNG 4: STAR METRIC REGULARITY
• 4.1. Definitions and characterizations of nonlinear star metric regularity
• 4.2. Stability of Milyutin-type regularity under perturbation of star regularity
• 5. CHƯƠNG 5: STABILITY OF GENERALIZED EQUATIONS GOVERNED BY COMPOSITE MULTIFUNCTIONS
• 5.1. Notation and some related concepts
• 5.2. Regularity of parametrized epigraphical and composition set-valued mappings
• 5.3. Stability of implicit set-valued mappings
• 5.3.1. Stability of implicit set-valued mappings associated to the epigraphical set-valued mapping
• 5.3.2. Stability of implicit set-valued mappings associated to a composite mapping
• General conclusions
• List of Author’s Related Publications
• References
• Index

I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào tính chính quy mêtric phi tuyến của ánh xạ đa trị và các ứng dụng toán học của nó. Tính chính quy mêtric là một khái niệm quan trọng trong phân tích biến phân, đặc biệt trong việc nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các phương trình tổng quát. Ánh xạ đa trị thường xuất hiện trong các bài toán thực tế như bất đẳng thức biến phân, hệ phương trình tối ưu, và lý thuyết điểm bất động. Tính chính quy mêtric phi tuyến mở rộng khái niệm truyền thống bằng cách xem xét các ước lượng phi tuyến, phù hợp hơn với các bài toán phức tạp trong toán học ứng dụng.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn thạc sĩ là đề xuất các mô hình mới về tính chính quy mêtric phi tuyến trên một tập cố định và nghiên cứu các đặc tính của chúng. Cụ thể, luận văn xem xét tính chính quy mêtric trên một tập con W của không gian tích X × Y, với một hàm mô-đun µ và hàm đo γ. Điều này không chỉ là sự tổng quát hóa tự nhiên mà còn đáp ứng các yêu cầu thực tế khi tính chính quy mêtric trên các tập hộp bị vi phạm.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các công cụ từ phân tích biến phân và phân tích không trơn, bao gồm nguyên lý biến phân Ekeland, đạo hàm dưới vi phân, và đạo hàm coderivative. Các phương pháp này giúp thiết lập các đặc trưng cho các mô hình tính chính quy mêtric phi tuyến và chứng minh tính ổn định của chúng dưới các nhiễu nhỏ.

II. Các khái niệm và đặc trưng của tính chính quy mêtric phi tuyến

Tính chính quy mêtric phi tuyến được định nghĩa thông qua các ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tập nghiệm của phương trình tổng quát. Các đặc trưng của tính chính quy mêtric được thiết lập dựa trên các công cụ như độ dốc địa phương, độ dốc không địa phương, và đạo hàm coderivative. Các kết quả này không chỉ mới mẻ mà còn có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng các khái niệm tính chính quy mêtric truyền thống.

2.1. Định nghĩa và tính tương đương

Tính chính quy mêtric phi tuyến được định nghĩa thông qua các ước lượng khoảng cách d(x, F⁻¹(y)) ≤ τµ(d(y, F(x))), với µ là hàm mô-đun. Các định nghĩa này được chứng minh là tương đương với các đặc trưng dựa trên độ dốc và đạo hàm coderivative.

2.2. Đặc trưng thông qua độ dốc

Các đặc trưng của tính chính quy mêtric phi tuyến được thiết lập thông qua độ dốc địa phương và độ dốc không địa phương. Các kết quả này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chính quy mêtric và các công cụ trong phân tích biến phân.

III. Ứng dụng và tính ổn định của tính chính quy mêtric phi tuyến

Tính chính quy mêtric phi tuyến có nhiều ứng dụng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong việc nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các phương trình tổng quát. Luận văn cũng nghiên cứu tính ổn định của tính chính quy mêtric dưới các nhiễu nhỏ và áp dụng vào các bài toán điểm bất động kép.

3.1. Tính ổn định dưới nhiễu

Luận văn chứng minh rằng tính chính quy mêtric phi tuyến vẫn được bảo toàn khi ánh xạ bị nhiễu bởi một ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Kết quả này mở rộng định lý Milyutin cho trường hợp tính chính quy mêtric phi tuyến.

3.2. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động kép

Luận văn áp dụng các kết quả về tính chính quy mêtric phi tuyến để nghiên cứu sự tồn tại của điểm bất động kép trong các ánh xạ đa trị. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết điểm bất động và toán học ứng dụng.

IV. Kết luận và hướng nghiên cứu tương lai

Luận văn thạc sĩ đã đề xuất và nghiên cứu các mô hình mới về tính chính quy mêtric phi tuyến của ánh xạ đa trị và các ứng dụng toán học của chúng. Các kết quả đạt được không chỉ mở rộng các khái niệm truyền thống mà còn có ý nghĩa thực tiễn trong toán học ứng dụng. Hướng nghiên cứu tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả này cho các lớp ánh xạ phức tạp hơn và nghiên cứu sâu hơn về tính ổn định của tính chính quy mêtric phi tuyến.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực phân tích toán học, việc nghiên cứu tính điều chỉnh metric phi tuyến của ánh xạ đa trị trên một tập cố định đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán phương trình tổng quát và các hệ bất phương trình. Theo ước tính, các mô hình ánh xạ đa trị xuất hiện phổ biến trong nhiều lĩnh vực như tối ưu hóa, điều khiển, và lý thuyết điểm cố định. Vấn đề trọng tâm của luận văn là mở rộng và phát triển các khái niệm về tính điều chỉnh metric phi tuyến không cục bộ trên tập cố định, đồng thời xây dựng các tiêu chí đặc trưng và tính ổn định dưới sự nhiễu loạn của ánh xạ. Mục tiêu cụ thể bao gồm: đề xuất các mô hình mới về tính điều chỉnh metric phi tuyến với hàm mô đun và hàm gauge, thiết lập các tiêu chí đặc trưng dựa trên độ dốc cục bộ, độ dốc phi cục bộ và coderivative, cũng như ứng dụng các kết quả này vào bài toán điểm cố định kép và các hệ phương trình tổng quát. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các không gian metric hoàn chỉnh, chủ yếu là các không gian Banach, trong giai đoạn từ năm 2018 đến 2021 tại Đại học Quy Nhơn, tỉnh Bình Định. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp công cụ toán học mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học ứng dụng, góp phần nâng cao hiệu quả của các thuật toán tối ưu và phân tích độ nhạy trong các hệ thống đa trị.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng của phân tích biến phân và giải tích phi trơn, sử dụng các lý thuyết và mô hình sau:

• Tính điều chỉnh metric (Metric Regularity): Khái niệm này mở rộng từ định lý Banach về ánh xạ mở và định lý Lyusternik–Graves, cho phép đánh giá sự tồn tại và ổn định nghiệm của các ánh xạ đa trị thông qua các bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách giữa điểm và tập nghiệm.

• Các hàm mô đun và hàm gauge: Hàm mô đun µ là hàm tăng liên tục không âm dùng để mô tả mức độ điều chỉnh phi tuyến, trong khi hàm gauge γ kiểm soát phạm vi áp dụng của tính điều chỉnh trên tập cố định.

• Độ dốc cục bộ và phi cục bộ (Local and Nonlocal Slopes): Các khái niệm này đo lường tốc độ biến thiên của hàm khoảng cách, là công cụ quan trọng để đặc trưng tính điều chỉnh metric.

• Coderivative của ánh xạ đa trị: Là công cụ đạo hàm đối ngẫu, giúp xây dựng các tiêu chí vi phân cho tính điều chỉnh metric, đặc biệt trong không gian Banach.

• Nguyên lý biến phân Ekeland: Được sử dụng để chứng minh các định lý về tính điều chỉnh metric phi tuyến, cho phép xử lý các hàm không liên tục hoặc không khả vi.

Các khái niệm chính bao gồm: ánh xạ đa trị (set-valued mapping), tính điều chỉnh metric phi tuyến (nonlinear metric regularity), hàm mô đun (modulus function), hàm gauge (gauge function), độ dốc cục bộ (local slope), coderivative, và tính ổn định dưới nhiễu loạn (perturbation stability).

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu định tính kết hợp với phân tích toán học nghiêm ngặt:

• Nguồn dữ liệu: Các kết quả toán học được xây dựng dựa trên lý thuyết hiện có trong phân tích biến phân, các bài báo khoa học đã được bình duyệt, và các công trình chuyên sâu về tính điều chỉnh metric.

• Phương pháp phân tích: Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland để thiết lập các tiêu chí đặc trưng, sử dụng các công cụ của coderivative và độ dốc để phân tích tính điều chỉnh trên tập cố định. Phương pháp chứng minh bao gồm xây dựng các bất đẳng thức ước lượng khoảng cách, phân tích tính ổn định dưới các dạng nhiễu loạn Lipschitz, và phát triển các mô hình mở rộng như star metric regularity.

• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu kéo dài trong khoảng 3-4 năm, từ năm 2018 đến 2021, với các bước chính gồm tổng hợp lý thuyết nền tảng, đề xuất mô hình mới, chứng minh các định lý đặc trưng, phân tích tính ổn định, và ứng dụng vào bài toán điểm cố định kép cũng như các hệ phương trình tổng quát.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu chủ yếu là lý thuyết, không sử dụng mẫu dữ liệu thực nghiệm, mà tập trung vào các không gian toán học trừu tượng và các ánh xạ đa trị trong không gian Banach.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Đề xuất mô hình tính điều chỉnh metric phi tuyến trên tập cố định: Luận văn mở rộng khái niệm truyền thống bằng cách định nghĩa tính điều chỉnh (µ, γ)-metric regularity trên một tập con W ⊂ X × Y, với hàm mô đun µ và hàm gauge γ. Mô hình này bao quát các trường hợp đặc biệt như tính điều chỉnh cục bộ, tính điều chỉnh theo hướng, và các mô hình không cục bộ khác.

2. Tiêu chí đặc trưng bằng độ dốc và coderivative: Thiết lập các tiêu chí cần và đủ cho tính điều chỉnh metric phi tuyến dựa trên độ dốc cục bộ |∇f|(x), độ dốc phi cục bộ |Γf|(x), và coderivative D*F. Ví dụ, tồn tại hằng số r > 0 sao cho với mọi (x, y) ∈ W thỏa mãn điều kiện gauge, ta có |∇ξ ψy|(x, v) > r, đảm bảo tính điều chỉnh metric với hằng số tương ứng. Các tiêu chí này giúp định lượng và kiểm chứng tính điều chỉnh một cách hiệu quả.

3. Tính ổn định dưới nhiễu loạn Lipschitz: Chứng minh rằng tính điều chỉnh Milyutin-type (một dạng đặc biệt của tính điều chỉnh phi tuyến) giữ nguyên khi ánh xạ bị nhiễu loạn bởi một ánh xạ đơn trị Lipschitz với hằng số nhỏ hơn hằng số điều chỉnh ban đầu. Điều này được áp dụng thành công vào bài toán điểm cố định kép của cặp ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach.

4. Phát triển khái niệm star metric regularity: Giới thiệu và nghiên cứu một dạng yếu hơn của tính điều chỉnh metric gọi là star metric regularity, có tính ứng dụng trong việc giảm bớt các giả thiết chặt chẽ mà vẫn đảm bảo các kết quả ổn định và tồn tại nghiệm.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân các mô hình mới được đề xuất là do các mô hình cục bộ truyền thống không đáp ứng được các yêu cầu trong các bài toán cố định trên tập cố định hoặc các bài toán Newton. Việc sử dụng hàm gauge γ cho phép kiểm soát phạm vi áp dụng tính điều chỉnh, phù hợp với các ứng dụng thực tế. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi áp dụng từ các tập hộp U × V sang các tập con tổng quát W, đồng thời cung cấp các tiêu chí đặc trưng mới dựa trên các công cụ hiện đại của phân tích biến phân.

Các kết quả về tính ổn định dưới nhiễu loạn Lipschitz củng cố tính ứng dụng của mô hình trong các bài toán tối ưu hóa và điều khiển, nơi các ánh xạ thường bị ảnh hưởng bởi sai số hoặc biến động dữ liệu. Việc phát triển star metric regularity giúp giảm bớt các điều kiện chặt chẽ, mở rộng khả năng áp dụng trong các hệ thống phức tạp.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ minh họa mối quan hệ giữa hằng số điều chỉnh và hằng số Lipschitz của nhiễu loạn, hoặc bảng so sánh các tiêu chí đặc trưng giữa các mô hình khác nhau, giúp trực quan hóa hiệu quả và phạm vi áp dụng của từng mô hình.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng mô hình (µ, γ)-metric regularity trong thiết kế thuật toán tối ưu: Khuyến nghị các nhà nghiên cứu và kỹ sư phát triển thuật toán sử dụng các tiêu chí đặc trưng dựa trên độ dốc và coderivative để đánh giá và cải thiện độ hội tụ của thuật toán, đặc biệt trong các bài toán có ánh xạ đa trị phức tạp. Thời gian thực hiện: 1-2 năm; chủ thể: nhóm nghiên cứu toán ứng dụng và kỹ sư phần mềm.

2. Phát triển công cụ kiểm tra tính ổn định dưới nhiễu loạn: Xây dựng phần mềm hoặc thư viện toán học hỗ trợ kiểm tra tính ổn định của ánh xạ đa trị khi bị nhiễu loạn Lipschitz, giúp các nhà khoa học dữ liệu và kỹ sư điều khiển đánh giá độ bền của hệ thống. Thời gian thực hiện: 1 năm; chủ thể: nhóm phát triển phần mềm toán học.

3. Mở rộng nghiên cứu star metric regularity trong các hệ thống thực tế: Khuyến khích nghiên cứu sâu hơn về star metric regularity để áp dụng trong các bài toán điều khiển phi tuyến và mô hình hóa hệ thống phức tạp, nhằm giảm bớt các giả thiết chặt chẽ mà vẫn đảm bảo tính ổn định. Thời gian thực hiện: 2-3 năm; chủ thể: các viện nghiên cứu toán học và kỹ thuật.

4. Tổ chức hội thảo và khóa đào tạo về phân tích biến phân và tính điều chỉnh metric: Đào tạo nâng cao nhận thức và kỹ năng cho các nhà nghiên cứu trẻ và sinh viên về các công cụ và phương pháp mới trong lĩnh vực này, thúc đẩy ứng dụng rộng rãi hơn trong khoa học và kỹ thuật. Thời gian thực hiện: hàng năm; chủ thể: các trường đại học và viện nghiên cứu.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Luận văn cung cấp các công cụ và mô hình mới giúp nghiên cứu sâu về tính điều chỉnh metric phi tuyến, hỗ trợ phát triển lý thuyết và ứng dụng trong tối ưu hóa, điều khiển và phân tích hệ thống.

2. Kỹ sư điều khiển và tối ưu hóa: Các tiêu chí và kết quả về tính ổn định dưới nhiễu loạn giúp đánh giá và thiết kế các hệ thống điều khiển bền vững, cải thiện hiệu suất thuật toán tối ưu trong môi trường thực tế có biến động.

3. Giảng viên và sinh viên cao học, tiến sĩ: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá cho các khóa học về phân tích biến phân, giải tích phi trơn và các chủ đề liên quan, giúp nâng cao kiến thức chuyên sâu và kỹ năng nghiên cứu.

4. Nhà phát triển phần mềm toán học: Các mô hình và tiêu chí đặc trưng có thể được tích hợp vào các thư viện toán học để hỗ trợ phân tích và giải quyết các bài toán đa trị phức tạp, nâng cao tính ứng dụng của phần mềm.

Câu hỏi thường gặp

1. Tính điều chỉnh metric phi tuyến là gì và tại sao nó quan trọng?
   Tính điều chỉnh metric phi tuyến là khả năng ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tập nghiệm của ánh xạ đa trị thông qua khoảng cách từ ảnh của điểm đó đến giá trị mục tiêu, với hàm mô đun phi tuyến. Nó quan trọng vì giúp xác định sự tồn tại, ổn định và độ nhạy của nghiệm trong các bài toán phức tạp như tối ưu hóa và điều khiển.

2. Hàm gauge γ trong mô hình có vai trò gì?
   Hàm gauge γ kiểm soát phạm vi áp dụng của tính điều chỉnh metric trên tập cố định, giúp giới hạn khoảng cách cho phép giữa các điểm và đảm bảo tính ổn định trong phạm vi xác định, phù hợp với các bài toán không thể thay đổi vùng lân cận tự do.

3. Coderivative được sử dụng như thế nào trong nghiên cứu này?
   Coderivative là công cụ đạo hàm đối ngẫu giúp xây dựng các tiêu chí vi phân cho tính điều chỉnh metric, cho phép đánh giá và chứng minh các tính chất ổn định và tồn tại nghiệm của ánh xạ đa trị trong không gian Banach.

4. Tính ổn định dưới nhiễu loạn Lipschitz có ý nghĩa gì trong thực tế?
   Nó đảm bảo rằng khi ánh xạ đa trị bị ảnh hưởng bởi các sai số hoặc biến động nhỏ (được mô tả bằng hằng số Lipschitz nhỏ), tính điều chỉnh metric vẫn được giữ nguyên, giúp các hệ thống và thuật toán hoạt động ổn định trong môi trường thực tế không hoàn hảo.

5. Star metric regularity khác gì so với tính điều chỉnh metric truyền thống?
   Star metric regularity là dạng yếu hơn của tính điều chỉnh metric, yêu cầu ít điều kiện hơn nhưng vẫn đảm bảo các kết quả về tồn tại và ổn định nghiệm. Điều này giúp mở rộng phạm vi áp dụng trong các bài toán phức tạp hoặc khi các giả thiết chặt chẽ không thể thỏa mãn.

Kết luận

• Luận văn đã mở rộng và phát triển các mô hình tính điều chỉnh metric phi tuyến trên tập cố định với hàm mô đun và hàm gauge, bao quát nhiều trường hợp thực tế hơn so với các mô hình truyền thống.
• Thiết lập các tiêu chí đặc trưng cần và đủ dựa trên độ dốc cục bộ, phi cục bộ và coderivative, giúp kiểm chứng và ứng dụng tính điều chỉnh một cách hiệu quả.
• Chứng minh tính ổn định của tính điều chỉnh Milyutin-type dưới các nhiễu loạn Lipschitz, ứng dụng vào bài toán điểm cố định kép và các hệ phương trình tổng quát.
• Giới thiệu và nghiên cứu star metric regularity như một dạng yếu hơn nhưng có tính ứng dụng cao trong các hệ thống phức tạp.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm phát triển thuật toán tối ưu, công cụ kiểm tra ổn định, mở rộng ứng dụng star metric regularity và đào tạo chuyên sâu.

Để tiếp tục phát triển lĩnh vực này, các nhà nghiên cứu và kỹ sư được khuyến khích áp dụng các mô hình và tiêu chí đã được xây dựng vào các bài toán thực tế, đồng thời mở rộng nghiên cứu về các dạng tính điều chỉnh mới và tính ổn định trong các môi trường phức tạp hơn.