I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu
Luận văn thạc sĩ này tập trung vào tính chính quy mêtric phi tuyến của ánh xạ đa trị và các ứng dụng toán học của nó. Tính chính quy mêtric là một khái niệm quan trọng trong phân tích biến phân, đặc biệt trong việc nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các phương trình tổng quát. Ánh xạ đa trị thường xuất hiện trong các bài toán thực tế như bất đẳng thức biến phân, hệ phương trình tối ưu, và lý thuyết điểm bất động. Tính chính quy mêtric phi tuyến mở rộng khái niệm truyền thống bằng cách xem xét các ước lượng phi tuyến, phù hợp hơn với các bài toán phức tạp trong toán học ứng dụng.
1.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn thạc sĩ là đề xuất các mô hình mới về tính chính quy mêtric phi tuyến trên một tập cố định và nghiên cứu các đặc tính của chúng. Cụ thể, luận văn xem xét tính chính quy mêtric trên một tập con W của không gian tích X × Y, với một hàm mô-đun µ và hàm đo γ. Điều này không chỉ là sự tổng quát hóa tự nhiên mà còn đáp ứng các yêu cầu thực tế khi tính chính quy mêtric trên các tập hộp bị vi phạm.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các công cụ từ phân tích biến phân và phân tích không trơn, bao gồm nguyên lý biến phân Ekeland, đạo hàm dưới vi phân, và đạo hàm coderivative. Các phương pháp này giúp thiết lập các đặc trưng cho các mô hình tính chính quy mêtric phi tuyến và chứng minh tính ổn định của chúng dưới các nhiễu nhỏ.
II. Các khái niệm và đặc trưng của tính chính quy mêtric phi tuyến
Tính chính quy mêtric phi tuyến được định nghĩa thông qua các ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tập nghiệm của phương trình tổng quát. Các đặc trưng của tính chính quy mêtric được thiết lập dựa trên các công cụ như độ dốc địa phương, độ dốc không địa phương, và đạo hàm coderivative. Các kết quả này không chỉ mới mẻ mà còn có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng các khái niệm tính chính quy mêtric truyền thống.
2.1. Định nghĩa và tính tương đương
Tính chính quy mêtric phi tuyến được định nghĩa thông qua các ước lượng khoảng cách d(x, F⁻¹(y)) ≤ τµ(d(y, F(x))), với µ là hàm mô-đun. Các định nghĩa này được chứng minh là tương đương với các đặc trưng dựa trên độ dốc và đạo hàm coderivative.
2.2. Đặc trưng thông qua độ dốc
Các đặc trưng của tính chính quy mêtric phi tuyến được thiết lập thông qua độ dốc địa phương và độ dốc không địa phương. Các kết quả này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chính quy mêtric và các công cụ trong phân tích biến phân.
III. Ứng dụng và tính ổn định của tính chính quy mêtric phi tuyến
Tính chính quy mêtric phi tuyến có nhiều ứng dụng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong việc nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các phương trình tổng quát. Luận văn cũng nghiên cứu tính ổn định của tính chính quy mêtric dưới các nhiễu nhỏ và áp dụng vào các bài toán điểm bất động kép.
3.1. Tính ổn định dưới nhiễu
Luận văn chứng minh rằng tính chính quy mêtric phi tuyến vẫn được bảo toàn khi ánh xạ bị nhiễu bởi một ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Kết quả này mở rộng định lý Milyutin cho trường hợp tính chính quy mêtric phi tuyến.
3.2. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động kép
Luận văn áp dụng các kết quả về tính chính quy mêtric phi tuyến để nghiên cứu sự tồn tại của điểm bất động kép trong các ánh xạ đa trị. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết điểm bất động và toán học ứng dụng.
IV. Kết luận và hướng nghiên cứu tương lai
Luận văn thạc sĩ đã đề xuất và nghiên cứu các mô hình mới về tính chính quy mêtric phi tuyến của ánh xạ đa trị và các ứng dụng toán học của chúng. Các kết quả đạt được không chỉ mở rộng các khái niệm truyền thống mà còn có ý nghĩa thực tiễn trong toán học ứng dụng. Hướng nghiên cứu tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả này cho các lớp ánh xạ phức tạp hơn và nghiên cứu sâu hơn về tính ổn định của tính chính quy mêtric phi tuyến.
