I. Luận Văn Thạc Sĩ và Tính Chất Số Học của Hệ Số Nhị Thức
Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc khám phá tính chất số học của hệ số nhị thức, một chủ đề quan trọng trong toán học và nghiên cứu khoa học. Nghiên cứu này bắt nguồn từ các công trình của các nhà toán học như Kummer và Lucas, những người đã đặt nền móng cho việc hiểu biết về đồng dư số học và lý thuyết số. Luận văn không chỉ trình bày các định lý cơ bản mà còn mở rộng chúng, đặc biệt là trong việc xem xét hệ số nhị thức theo modulo lũy thừa nguyên tố. Điều này có ý nghĩa lớn trong phân tích toán học và đại số, đồng thời mở ra các hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết tổ hợp và xác suất.
1.1. Định lý Kummer và Định lý Lucas
Định lý Kummer và Định lý Lucas là hai trụ cột chính của luận văn. Định lý Kummer, được phát biểu năm 1852, liên quan đến việc xác định lũy thừa cao nhất của một số nguyên tố chia hết hệ số nhị thức. Định lý Lucas, phát biểu năm 1878, cung cấp một phương pháp hiệu quả để tính hệ số nhị thức theo modulo nguyên tố. Cả hai định lý đều được chứng minh chi tiết trong luận văn, kèm theo các hệ quả và ví dụ ứng dụng. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong phân tích số học và toán học ứng dụng.
1.2. Mở rộng của Định lý Lucas
Luận văn cũng trình bày các mở rộng của Định lý Lucas, đặc biệt là việc xem xét hệ số nhị thức theo modulo lũy thừa nguyên tố. Các kết quả của Anton, Stickelberger và Hensel được giới thiệu, trong đó họ đã mở rộng Định lý Lucas bằng cách liên kết trực tiếp số nguyên tố, các số thành phần trong hệ số nhị thức và bậc lũy thừa cao nhất chia hết chúng. Những mở rộng này không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết toán học mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho nghiên cứu toán học hiện đại.
II. Hệ Số Nhị Thức Modulo Lũy Thừa Nguyên Tố
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu hệ số nhị thức theo modulo lũy thừa nguyên tố, một chủ đề phức tạp nhưng đầy tiềm năng trong toán học. Luận văn trình bày các mở rộng của Định lý Wilson, một trong những định lý cổ điển trong lý thuyết số, và áp dụng chúng vào việc phân tích hệ số nhị thức. Các kết quả của Granville được giới thiệu, trong đó ông đã nâng modulo từ số nguyên tố lên lũy thừa nguyên tố, mở ra một hướng nghiên cứu mới trong phân tích toán học.
2.1. Mở rộng của Định lý Wilson
Định lý Wilson phát biểu rằng với mọi số nguyên tố p, (p-1)! ≡ -1 (mod p). Luận văn mở rộng định lý này bằng cách xem xét tích các số nguyên dương không vượt quá n và không chia hết cho p. Các kết quả này không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết số mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho việc phân tích hệ số nhị thức theo modulo lũy thừa nguyên tố.
2.2. Kết quả của Granville
Granville đã mở rộng Định lý Lucas bằng cách nâng modulo từ số nguyên tố lên lũy thừa nguyên tố. Kết quả này không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết toán học mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho nghiên cứu toán học hiện đại. Luận văn trình bày chi tiết các kết quả này, kèm theo các ví dụ ứng dụng và phân tích số học.
III. Định lý Wolstenholme và Ứng Dụng
Chương này tập trung vào Định lý Wolstenholme và các mở rộng của nó. Định lý này liên quan đến việc xác định đồng dư của hệ số nhị thức với thành phần nguyên tố theo modulo lũy thừa nguyên tố. Luận văn trình bày các kết quả của Charles Babbage, Joseph Wolstenholme và Ljunggren, những người đã mở rộng định lý này lên các bậc lũy thừa cao hơn. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong toán học ứng dụng và nghiên cứu khoa học.
3.1. Định lý Wolstenholme
Định lý Wolstenholme phát biểu rằng với mọi số nguyên tố p ≥ 5, hệ số nhị thức của 2p và p đồng dư với 1 theo modulo p^3. Luận văn trình bày chi tiết định lý này, kèm theo các chứng minh và ví dụ ứng dụng. Định lý này không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết số mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho việc phân tích hệ số nhị thức theo modulo lũy thừa nguyên tố.
3.2. Mở rộng của Định lý Wolstenholme
Luận văn cũng trình bày các mở rộng của Định lý Wolstenholme, đặc biệt là các kết quả của Ljunggren và Jacobsthal. Những mở rộng này không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết toán học mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ cho nghiên cứu toán học hiện đại. Các kết quả này được trình bày chi tiết, kèm theo các ví dụ ứng dụng và phân tích số học.
