I. Số nguyên tố và trường số đại số
Luận văn nghiên cứu số nguyên tố trong trường số đại số, một lĩnh vực quan trọng của toán học và đại số trừu tượng. Số nguyên tố trong vành số nguyên Z khi nhúng vào trường số đại số có thể không còn bất khả quy. Điều này dẫn đến sự phức tạp trong phân tích nhân tử và tính duy nhất của phân tích. Nghiên cứu này giúp hiểu sâu hơn về tính chất số nguyên tố và ứng dụng trong bài toán số học.
1.1. Tính chất số nguyên tố trong trường số đại số
Trong trường số đại số, tính duy nhất của phân tích số nguyên đại số không còn đúng như trong vành số nguyên Z. Thay vì phân tích số nguyên, nghiên cứu tập trung vào phân tích iđêan. Cách tiếp cận này giúp duy trì tính chất tương tự như số học trong Z. Đây là nền tảng cho nguyên lý số nguyên tố và các định lý trong đại số.
1.2. Ứng dụng của số nguyên tố trong toán học
Nghiên cứu số nguyên tố trong trường số đại số có nhiều ứng dụng trong số học sơ cấp và hệ thống số. Các kết quả từ luận văn có thể áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến phân tích số nguyên tố và tính toán số nguyên tố trong các trường hợp cụ thể.
II. Rẽ nhánh trong trường số đại số
Chương này tập trung vào rẽ nhánh của số nguyên tố trong trường số đại số. Định lý cơ bản của lý thuyết iđêan được áp dụng để nghiên cứu sự phân nhánh của các số nguyên tố. Đây là một phần quan trọng của nghiên cứu toán học, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các trường số đại số.
2.1. Iđêan trong trường số đại số
Iđêan trong trường số đại số có nhiều tính chất đặc biệt. Mọi iđêan khác không đều có thể phân tích thành tích các iđêan cực đại. Điều này tương tự như phân tích số nguyên thành tích các số nguyên tố. Tính chất này là nền tảng cho phương pháp nghiên cứu và phân tích số nguyên tố trong trường số đại số.
2.2. Định lý cơ bản của lý thuyết iđêan
Định lý cơ bản của lý thuyết iđêan khẳng định rằng mọi iđêan trong trường số đại số đều có thể phân tích duy nhất thành tích các iđêan cực đại. Đây là kết quả quan trọng, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các trường số đại số và ứng dụng trong bài toán số học.
III. Rẽ nhánh trong trường bậc hai và bậc ba
Chương này nghiên cứu rẽ nhánh của số nguyên tố trong trường bậc hai và trường bậc ba. Các kết quả từ chương này giúp hiểu rõ hơn về sự phân nhánh của số nguyên tố trong các trường cụ thể, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa cho lý thuyết tổng quát.
3.1. Số nguyên tố trong trường bậc hai
Trong trường bậc hai, số nguyên tố có thể phân nhánh thành các iđêan khác nhau. Nghiên cứu này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các trường bậc hai và ứng dụng trong số học đại số. Các kết quả từ luận văn có thể áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến phân tích số nguyên tố.
3.2. Số nguyên tố trong trường bậc ba
Tương tự như trường bậc hai, số nguyên tố trong trường bậc ba cũng có thể phân nhánh thành các iđêan khác nhau. Nghiên cứu này cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc của các trường bậc ba và ứng dụng trong toán học và số học đại số.
