Luận Văn Thạc Sĩ Về Phương Pháp Giải Bài Toán Cực Trị và Ứng Dụng

Trong chương trình phổ thông, hàm số nhiều biến không được nghiên cứu kỹ. Vì vậy, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp số. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp là những khái niệm cơ bản. Điều kiện tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cũng được trình bày. Trong phạm vi chương trình phổ thông, hàm số nhiều biến không được nghiên cứu. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp số.

Giả sử hàm số f liên tục trên (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0. Định lý 1 đưa ra điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại một điểm. Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0. Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.

Quy tắc 1: Tìm các điểm mà tại đó f'(x) = 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm; Xét dấu f'(x). Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Ví dụ, xét hàm số y = √(3x(1 - x)^2). Với mọi x khác 0 và x khác 1, y' = (1 - 3x) / (√(3x^2(1 - x))). Lập bảng biến thiên của hàm y. Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số đạt cực đại tại x = 1/3, giá trị cực đại của hàm số là y(1/3) = √(3/4). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0.

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hai hàm số sau: f(x) = xe^(-1/x^2) và g(x) = e^(-1/x^2). Ta có: f'(x) = e^(-1/x^2) + (2/x^2)e^(-1/x^2), với mọi x khác 0. Nhận thấy f'(x) > 0, với mọi x khác 0. Mặt khác, lim (x->0) xe^(-1/x^2) = 0. Nên hàm f(x) không liên tục tại x = 0. Hàm g(x) liên tục với mọi x, vì lim (x->0) e^(-1/x^2) = 0. Ta thấy với mọi x khác 0, g'(x) = (2/x^3)e^(-1/x^2). Lập bảng biến thiên của hàm g(x).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = sin(x) - √(4cos(x)). Trong trường hợp này, nếu sử dụng phương pháp xét dấu đạo hàm thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Mặc dù đây là hàm lượng giác nhưng ta cũng không vận dụng được quy tắc 2 cho ví dụ này, do đó ta cần vận dụng một phương pháp khác. Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, ta luôn có: -1 ≤ sin(x) ≤ 1 và -1 ≤ -√(4cos(x)) ≤ 0. Suy ra -1 ≤ y = sin(x) - √(4cos(x)) ≤ 1. Vậy hàm số đạt cực đại tại x = π/2 + k2π, k ∈ Z, giá trị cực đại của hàm số là y = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = k2π, giá trị cực tiểu của hàm số là y = -1.

Giả sử x0 là điểm cực đại của hàm f(x), tức là 0 < f(x) < f(x0), x ∈ {0 < |x - x0| < δ}. Từ đó suy ra F(x) = f^2(x) cũng có cực đại tại x0, vì F(x) < F(x0), x ∈ {0 < |x - x0| < δ}. Tương tự với trường hợp x0 là điểm cực tiểu. Cho hàm số f(x) > 0, ∀x ∈ TXĐ và hàm F(x) = cf^2n(x), với c > 0 bất kỳ và n ∈ N*. Khi đó hai hàm F(x) và f(x) có cùng các điểm cực trị.

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = x / (2x^2 + 1). Vì hàm y = log2(x) là hàm đồng biến với x > 0, nên hàm y = x / (2x^2 + 1) có cùng các điểm cực trị với hàm f(x) = log2(x / (2x^2 + 1)) = log2(x) - log2(2x^2 + 1). f'(x) = 0 ⇔ x = ±1. Lập bảng biến thiên của hàm f(x). Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm f(x) đạt cực tiểu tại x = -1 và đạt cực đại tại x = 1. Do đó hàm y cũng đạt cực tiểu tại x = -1, giá trị cực tiểu của hàm y là y(-1) = -√2. Hàm y đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại của hàm y là y(1) = √2.

Chứng minh rằng hàm f[φ(x)] cũng đạt cực tiểu tại x0. Giả sử hàm f(X) đạt cực tiểu tại điểm X0 = φ(x0), tức là f(X) ≥ f(X0), ∀x ∈ (X0 - δ; X0 + δ) với δ > 0. Giả sử φ(x0 - α) = X0 - δ và φ(x0 + α) = X0 + δ, nên φ[f(x)] ≥ φ[f(x0)], ∀x ∈ (x0 - α; x0 + α) = D. Như vậy hàm φ[f(x)] cũng đạt cực tiểu tại điểm x0. Chứng minh tương tự với trường hợp cực đại. Kết luận: hàm f(x) và φ[f(x)] có cùng các điểm cực trị.

Một doanh nghiệp sản xuất và kinh doanh một loại sản phẩm. Hàm chi phí sản xuất là C(x) = ax^2 + bx + c, trong đó x là số lượng sản phẩm sản xuất. Hàm doanh thu là R(x) = px, trong đó p là giá bán sản phẩm. Bài toán đặt ra là tìm số lượng sản phẩm x để lợi nhuận của doanh nghiệp là lớn nhất. Lợi nhuận của doanh nghiệp là P(x) = R(x) - C(x) = px - (ax^2 + bx + c) = -ax^2 + (p - b)x - c. Để tìm giá trị lớn nhất của P(x), ta tìm đạo hàm P'(x) = -2ax + (p - b). Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = (p - b) / (2a). Vì P''(x) = -2a < 0, nên x = (p - b) / (2a) là điểm cực đại của P(x).

Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Chi phí sản xuất bao gồm chi phí nguyên vật liệu và chi phí nhân công. Chi phí nguyên vật liệu là C1(x) = ax, trong đó x là số lượng sản phẩm sản xuất. Chi phí nhân công là C2(x) = b / x, trong đó b là một hằng số. Bài toán đặt ra là tìm số lượng sản phẩm x để tổng chi phí sản xuất là nhỏ nhất. Tổng chi phí sản xuất là C(x) = C1(x) + C2(x) = ax + b / x. Để tìm giá trị nhỏ nhất của C(x), ta tìm đạo hàm C'(x) = a - b / x^2. Giải phương trình C'(x) = 0, ta được x = √(b / a). Vì C''(x) = 2b / x^3 > 0, nên x = √(b / a) là điểm cực tiểu của C(x).

Các phương pháp giải bài toán cực trị đã trình bày trong luận văn có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Phương pháp sử dụng đạo hàm là phương pháp phổ biến và hiệu quả, nhưng đòi hỏi hàm số phải có đạo hàm và việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0 có thể gặp khó khăn. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức có thể áp dụng cho các hàm số không có đạo hàm hoặc việc tìm đạo hàm gặp khó khăn, nhưng đòi hỏi phải tìm được bất đẳng thức phù hợp. Phương pháp sử dụng hàm số đơn điệu có thể giúp đơn giản hóa bài toán, nhưng đòi hỏi phải tìm được hàm số đơn điệu phù hợp.

Trong tương lai, có thể nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải bài toán cực trị mới, hoặc cải tiến các phương pháp hiện có để nâng cao hiệu quả và tính ứng dụng. Ngoài ra, có thể nghiên cứu các ứng dụng mới của bài toán cực trị trong các lĩnh vực khác nhau, như khoa học máy tính, kỹ thuật, và tài chính. Việc nghiên cứu và phát triển bài toán cực trị sẽ góp phần giải quyết các vấn đề thực tế và thúc đẩy sự phát triển của khoa học và công nghệ.