CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CAP CAO Chương này dành cho việc khảo sát một số phương trình sai phân tuyến tính một biến phụ thuộc cấp cao. Các phương trình này được phát sinh ở hầu hết c: ĩnh vực khoa học như: biến động quần thể (các nghiên cứu đơn loài), kinh tế học (nghiên cứu môt loại hàng hóa), vật lý (các nghiên cứu về chuyển động của một đối tượng). Trong toàn bộ chương này, chúng. tôi quy ước #(n) là hàm xác định trên Ñ.
Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong [1J, |.Phép tính sai phân Định nghĩa 1. Toán tử A được xác định bởi Az(n) = z(n +1) — z(n) (1.1) được gọi là toán tử sai phân.1) dưới dạng Az(m) + z(n) =z(n + 1). (13) Khi đó, toán tử E = A + I được gọi là toán tử dịch chuyển. Giả sử A là toán tử sai phân.
được gọi là sai phân cấp k của z(n). Sử dụng toán tử dịch chuyển Z ta suy ra AFz(n) = (E— I)*z(n >a y(f jen 'z(n) (14) „cư( ()* )ensn-a. =n Hoàn toàn tương tự ta có thể viết k Etz(n) =3) ( Ệ Jat etn. Với mọi a, b€ R, ta có 1) A [az (n) + bụ (n)} = aAz (n) + bAy (n); #) E laz (n) + bụ (n)] = aEz (n) + bEụ (n); 3) A[x(n)y(n)] = Ex(n) Ay(n) + y(n) Ax(n); >A)] _ y()Az(m) = z(n)Ay(n).
(m)Eu() Như vậy, bổ đề được chứng minh. Tu có được các biểu thức sau đâu nod SY Ax (k) = 2(n) = x(n); (1.7) k=ne Chứng mình. Ta có Ss Az(R) = [r(n) — 2(n — 1)] + [e(n — 1) — z(n — 9)]+ in “+s n(ng + 1) = a(n) =z(n)— 0)- nod A(x z2) = [2(n) — a(n— 1)] + [z(n — 1) — z(n — 9) + --: keno + [#(mo + 1) — x(no)] = z(n) — z (nạ). Như vậy, bổ đề được chứng minh.
n Bây giờ, giả sử p(n) = agn* + ayn! +. + ay là đa thức cấp k. “Tương tự có thể viết A2p(n) = agk (k — 1) n*2 + p(r),r < k— 9. “Thực hiện quá trình này đến bước thứ È, ta thu được Afp(n) = aok! (1.8) Như vậy, với mọi ¿ > 1, ta có AF*ip(n) =0.10) 5 là đa thức bậc & theo #.
Đối với hằng số b bất kỳ, ta tiến hành khảo sát đa thức cấp k khi thực hiện toán tử dịch chuyển # trên số hang b" ta được p(E)b" = agb"*Ê + aibhfÊ—I +. + apbh = (agbÊ + aybÊ=} +. “Tổng quát hóa công thức (1.11), ta thu được bổ đề sau. Giả sử p(E) là đa thức trong (1.
Giả sử z € ïR. Như vậy, nếu z = n € Z* và n > È, thì Bồ dé 1. Gid sik € Z* vax ER. Khi do, Adk = kx; (1.
Ta có Ac® = (2 +1)" — z9 ((v + )x(x= 1)---(e@-k +2) ~ lr —1)-:-(œ—k+2)( — k+ 1)} 1)---(#— k+9)k 6 Chứng minh tương tự với các công thức (1. Nếu với moi k € Z*, ta đặt 1 a) ~ a(@+1)---(@+k-1)’ (1.16) va dat 2 = 1, thi c6 thể mở rộng bổ đề trên đúng với mọi k € Z. Giả sử A là toán tử sai phân. Khi đó, toán tử sai phân nghịch A~ được xác định như sau.
& Nếu AF(n) = 0, thi A-1(0) = F(n) = e với e là hằng số tùy ý; « AA“!(n) = ƒ(n): & A“!AF(n) = F(n) +e; ® AA“!=T những AT1A #7, Ấp dụng công thức (1.2) ta có A'f(n)= Sof li $e.17) io Công thức (1.19) rất có ích trong việc chứng minh toán tử A~ là tuyến tính. Toán tử A~Ì là tuyến tính. Ta cần chứng tỏ rằng a,b € TR, ta có AT![az(n) + bụ(n)} = aÄ~}z (n) + bA~'y(n). “Thật vậy, từ công thức (1.
Như vậy, định lí đã được chứng minh. o 7 Bỏ đề sau là sai phân nghịch của một số hàm sơ cấp. Tu có được các biểu thức sau đâu: A #0 = emÊ=! + ean tebe.18) n kc 2 A a tern! + con®? 4 «ep.21) k=0 k=0 Ngoài ra, sử dụng công thức (1.17) ta suy ra với mọi n, ta có (n) Az(n) = A(#(n)(n)) = #(n + 1) Aw(n). Ấp A~1 vào hai về ta được: F y@)Az(E) = z(n)y(n) — S z( + 1)Ay(E) +e.Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao.
Giả sử p, (n) và ø (n) là các hàm thực được xác định với Vn > nọ và 0y (n) # 0 với moi n > no. Khi đó, phương trình tín + È) + pị (n) y(n + k— 1) + --- + pẹ (n) y(n) = gín) — (122) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cap cao. Đặc biệt, nếu như.22) được gọi là phương trình thuần nhát. Ta viết lại phương trình (1.22) dưới dạng: vía +) = —pị (n) y(n + k— 1) — -*+ — pẹ (n) y(n) — g(n).
- (123) Bằng cách cho m = 0 trong (1.23) ta suy ra ¿/() được biểu diễn qua các số hạng /(E — 1), (E — 3), --- ,(0). Rõ ràng rằng (È) = —pi (0) (E — 1) — pà (0) (E — 3) — --- — ø (0) (0) + ø(0)- § Như vậy, nếu biết y (k), thi chỉ việc cho œ = 1 trong (1.23), ta sẽ xác định được #(k + 1). Điều này dẫn đến y(k +1) = pr (1) y (&) = po (1) y (kK = 1) — --- — pe (Ly (1) + 9 (1)-- Bằng cách lặp lại các bước trên, có thể xác định tất cả (n) với n > k. Bây giờ, ta sẽ minh họa các bước trên qua ví dụ sau.
Cho phương trình sai phân tuyến tính cấp ba sau: n y(n +3) = y(n + 2) + ny(n + 1) — 3y(n) +n, (1. Hay tim céc gia tri w(4),w(5). Trước tiên ta viết lại (1.25) y(n +3) = n+l Lan lugt cho n = 1, n= 2, n = 3 và n = 4 vào (1.25) ta thu được v(d) = 3) =3) + 3y(1) +1 = 3. Ta nói rằng y(n) là một nghiệm của (1.22) nếu nó thỏa mãn phương trình.
Ngoài ra, nếu việc giải phương trình (1. mãn điều kiện cho trước y (no) = ao, y (no + 1) = ứ, + U (nạ + & — 1) = aa, trong đó a; các là các số thực, thì bài toán (k + n) + pị (n) (n + k — 1) + --- + p (n) (n) = g(n), — (126) được gọi là bài toán giá trị ban đầu (mạ) = 40, (nạ + 1) = ai, + v (nạ + & — 1) = ag.26) tới giá trị đầu (12T) có một nghiệm duy nhất y(n), nghĩa là nếu ÿ(n) cũng là một nghiệm của bài toán (1.26) tới giá trị ban đầu (1. Với mọi n > nạ + k ta viết m = nọ + k + (n — nạ — k). Do đó, định lí được chứng minh khi ta 4p dung (1.26) cho n = no, no +1, Ng +2,.
o Vấn đề đặt ra rằng liệu ta có thể xác định một nghiệm cho (1. Không giống như các phương trình bậc nhất đơn giản việc thu được một nghiệm cho (1.22) là một nhiệm vụ khó khăn. Tuy nhiên, nếu các hệ số p; trong (1.22) là hằng số thì đễ dàng có được lời giải cho phương. trình đã cho, ta sẽ xác định thấy điều này trong phần tiếp theo.
Trong phần này ta sẽ phát triển lý thuyết chung cho các phương trình sai phân thuần nhất tuyến tính cấp & có dạng: xín + k) + pị (n)# (n + — 1) +--- + pẹ (n) + (n) =0.29) kéo theo ai =a) = +++ =a, = Định nghĩa 1.30) Néu fi (n) , fo(n),--- f, (n) khong phu thu6c tuyến tính, thì ta nói rằng. nó độc lập tuyến tính. Nếu a; Z 0, thì ta chia (1.30) cho a; ta được 10t) = =1 101) = T5 (8)«. = my (n) = = x a6) (139 Phương trình (1.31) cho thấy rằng với mỗi ƒ; với hệ số khác 0 là một tổ hợp tuyến tính của các ƒ với ¡ # j.
Như vậy, hai hàm ƒ¡ (n) và fo(n 1a phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hằng số œ sao cho. “Ta hãy mình họa khái niệm này bằng ví dụ minh họa sau đây. Hãy chứng tỏ rằng các hàm 3", n3", và n23" là độc ập tuyến tính. Giả sử với mọi a > 1, tồn tại các hằng số ø\, dạ và as sao cho a3" + aạn3" + aạn?3" = 0 Khi đó, ta chia phương trình này cho 3” ta được a, + ayn + azn” = 0.32) Bởi vì phương trình trên đúng với mọi n > 1 nên ta suy ra (1.32) có vô số nghiệm.32) là một phương trình bậc không quá 2 nên không thể có quá hai nghiệm.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ hệ đã cho là độc lập tuyến tính. Một hệ gồm & nghiệm độc lập tuyến tính của (1.30) được gọi là hệ nghiệm cơ bản. 11 “Trong thực tế ta sẽ không thường xuyên kiểm tra tính độc lập tuyến tính của tập nghiệm bằng cách dùng định nghĩa mà có một cách đơn giản hơn là sử dụng định thức Casorati W(n).33) được gọi là định thức Casorati cita x(n) ,22(n),. Xét phương trình sai phân sau.
Như vậy, chúng là các nghiệm của phương trình. “Tiếp theo ta xây dựng công thức Abel dé tinh dinh thite Casorati W(n). Điểm nổi bật của công thức Abel là tính hiệu quả của nó trong việc kiểm nghiệm lại tính độc lập tuyến tính của nghiệm. #u(n) là nghiệm ciia (1.
(134) Đặc biệt, nếu pị = po =. Ta sé chitng minh bé dé véi trudng hop k = 3, còn trường hợp tổng quát ta có thé chứng minh được bằng phương pháp quy nạp. “Thật vậy, giả sử #\ (n), #a (n) và #s (n) là 3 nghiệm của (1.36) a(n+3) a(n+3) x3(n+3) Mặt khác, theo (1.30) ta suy ra với 1 < ¡ < 3, ta có #i(n + 3) = —pa(n)#¡(m) — [p(n)z¡(n + 2) + pa(n)#¡(n + 1)). - (137) Sử dụng công thức (1.37) để thay cho #x(n + 3), za(n + 3) và zs(n + 3) ở dòng cuối của (1.36) và thực hiện các phép biến đổi đối với định thức ta 13 nhận được #Ín+1) #s(n+1) sa(n+ 1) W(n +1) = det ( min +2) saín +2) x3(n +2) ) mn+3) tan +3) x;(n +3) mÍn+1) - mín+1) - z(n+1) = det ( x(n+2) xo(n+2) x(n +2) ) —ps(n)xi(n) —ps(n)x2(n) —ps(n)xs(n) a(n+1) 22(n+1) 2x3(n +1) = —ps(n) det ( a(n+2) x(n +2) x3(n +2) ) a(n) a(n) +a(n) x(n) +s(n) +a(n) = —p3(n)(—1) det { mi(n +9) za(n+ 2) za(n +2) a(n+1) a(n+1) a3(n+1) x(n) +s(n) #a(n) = =m(n)(—1)? det ( #i{n +1) #a(n+1) zs(n + 1) ) .38) và nghiệm của (1.38) được xác định là nà W(n) = | C000) Wn) = (I TE pal) (0.
Như vậy, bổ đề đã được chứng minh cho trường hợp k = 3.35) có sự tương ứng quan trọng sau đây. Giá sử py(n) # Ú tới mọi n > nọ.