Luận văn thạc sĩ về ứng dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hay sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực toán

• Đề tài: Ứng Dụng Hàng Điểm Điều Hòa Trong Giải Toán Hình Học Phẳng

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
• 1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần
• 1.3. Đường tròn trực giao
• 1.4. Cực và đường đối cực
• 1.5. Cách xác định cực và đường đối cực
• 2. CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
• 2.1. Chứng minh hàng điểm điều hòa
• 2.2. Chứng minh vuông góc
• 2.3. Chứng minh song song
• 2.4. Chứng minh thẳng hàng
• 2.5. Chứng minh đồng quy
• 2.6. Chứng minh điểm cố định
• 2.7. Chứng minh đẳng thức
• 2.8. Một số bài toán khác
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về ứng dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

Hàng điểm điều hòa là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng, giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Việc áp dụng hàng điểm điều hòa không chỉ giúp rút ngắn thời gian giải toán mà còn mang lại những lời giải đẹp mắt và dễ hiểu. Trong bối cảnh giáo dục hiện nay, việc nắm vững kiến thức này là rất cần thiết cho học sinh, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi.

1.1. Khái niệm hàng điểm điều hòa và tầm quan trọng

Hàng điểm điều hòa được định nghĩa là một tập hợp các điểm có mối quan hệ đặc biệt với nhau. Tầm quan trọng của khái niệm này nằm ở khả năng ứng dụng trong việc chứng minh các tính chất hình học phẳng, từ đó giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

1.2. Lịch sử phát triển và ứng dụng trong giáo dục

Khái niệm hàng điểm điều hòa đã được nghiên cứu và phát triển qua nhiều thế kỷ. Ngày nay, nó được đưa vào chương trình giảng dạy toán học ở nhiều cấp học, giúp học sinh tiếp cận với các phương pháp giải toán hiện đại và hiệu quả hơn.

II. Vấn đề và thách thức trong việc áp dụng hàng điểm điều hòa

Mặc dù hàng điểm điều hòa mang lại nhiều lợi ích, nhưng việc áp dụng nó trong giải toán hình học phẳng cũng gặp không ít thách thức. Nhiều học sinh vẫn chưa hiểu rõ về khái niệm này, dẫn đến việc áp dụng sai hoặc không hiệu quả. Điều này cần được khắc phục thông qua các phương pháp giảng dạy phù hợp.

2.1. Những khó khăn trong việc hiểu và áp dụng

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hình dung và áp dụng hàng điểm điều hòa vào các bài toán cụ thể. Việc thiếu kiến thức nền tảng về hình học phẳng cũng là một rào cản lớn.

2.2. Giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy

Để khắc phục những khó khăn này, giáo viên cần áp dụng các phương pháp giảng dạy trực quan, sử dụng hình ảnh và mô hình để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về hàng điểm điều hòa.

III. Phương pháp chứng minh hàng điểm điều hòa trong hình học phẳng

Có nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh hàng điểm điều hòa trong hình học phẳng. Những phương pháp này không chỉ giúp giải quyết bài toán mà còn giúp học sinh phát triển tư duy phản biện và khả năng phân tích.

3.1. Chứng minh bằng hệ thức Đề các

Hệ thức Đề-các là một trong những công cụ mạnh mẽ để chứng minh hàng điểm điều hòa. Phương pháp này giúp xác định mối quan hệ giữa các điểm trong không gian hình học một cách rõ ràng và chính xác.

3.2. Sử dụng hệ thức Niu tơn và Mácloranh

Hệ thức Niu-tơn và Mácloranh cũng là những phương pháp hữu ích trong việc chứng minh hàng điểm điều hòa. Chúng giúp học sinh dễ dàng nhận diện và áp dụng các quy tắc trong hình học phẳng.

IV. Ứng dụng thực tiễn của hàng điểm điều hòa trong giải toán

Hàng điểm điều hòa không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Việc áp dụng hàng điểm điều hòa giúp giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp một cách nhanh chóng và hiệu quả.

4.1. Ứng dụng trong các kỳ thi học sinh giỏi

Nhiều bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế đã sử dụng hàng điểm điều hòa như một công cụ chính để giải quyết. Điều này cho thấy tầm quan trọng của khái niệm này trong giáo dục.

4.2. Ứng dụng trong nghiên cứu và phát triển

Hàng điểm điều hòa cũng được ứng dụng trong các nghiên cứu khoa học và phát triển công nghệ, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học và đồ họa máy tính.

V. Kết luận và tương lai của hàng điểm điều hòa trong hình học phẳng

Hàng điểm điều hòa là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng, với nhiều ứng dụng thực tiễn và lý thuyết. Tương lai của khái niệm này hứa hẹn sẽ tiếp tục phát triển và mở rộng, đặc biệt trong bối cảnh giáo dục hiện đại.

5.1. Tầm quan trọng trong giáo dục toán học

Hàng điểm điều hòa sẽ tiếp tục là một phần quan trọng trong chương trình giảng dạy toán học, giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề.

5.2. Hướng nghiên cứu và phát triển mới

Các nghiên cứu mới về hàng điểm điều hòa sẽ mở ra nhiều hướng đi mới trong việc ứng dụng khái niệm này vào các lĩnh vực khác nhau, từ giáo dục đến công nghệ.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp quốc gia và Olympic quốc tế, các bài toán hình học phẳng luôn chiếm tỷ trọng từ 25% đến 35% tổng số điểm toàn bài. Đây là phân môn đòi hỏi tư duy logic trừu tượng cao, khả năng tưởng tượng không gian và kỹ năng biến đổi hình học sắc bén. Tuy nhiên, các phương pháp hình học thuần túy cổ điển thường yêu cầu kẻ thêm nhiều đường phụ phức tạp, khiến học sinh mất trung bình từ 30 đến 45 phút cho một bài toán nâng cao mà vẫn dễ rơi vào bế tắc. Nhằm giải quyết triệt để rào cản này, luận văn "Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng" của tác giả Nguyễn Thế Nghĩa, được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Danh Nam năm 2016, đã tập trung nghiên cứu sâu về các công cụ hình học hiện đại.

Mục tiêu cụ thể của công trình là hệ thống hóa nền tảng lý thuyết về tỉ số kép, hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, tứ giác toàn phần và phép đối cực; từ đó phân loại, xây dựng phương pháp giải chuẩn mực cho 8 dạng toán hình học phẳng đặc trưng trong các kỳ thi học sinh giỏi. Phạm vi nghiên cứu thuộc chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp (mã số 60 46 01 13), khảo sát các đề thi Olympic toán học giai đoạn từ năm 2000 đến năm 2016. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn sâu sắc, giúp rút ngắn từ 40% đến 50% thời gian trình bày lời giải, giảm thiểu sai số biến đổi và nâng cao năng lực tư duy toán học cho học sinh và giáo viên chuyên toán.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn xây dựng trên nền tảng lý thuyết hình học xạ ảnh sơ cấp và hình học giải tích hiện đại với hệ thống 4 khối kiến thức trọng tâm:

1. Lý thuyết tỉ số kép và hàng điểm điều hòa: Định nghĩa tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng $(ABCD) = (CA/CB) : (DA/DB)$. Khi tỉ số kép $(ABCD) = -1$, bốn điểm lập thành một hàng điểm điều hòa. Khung lý thuyết vận dụng ba hệ thức đại số cốt lõi:

   • Hệ thức Descartes: $\frac{2}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}$
   • Hệ thức Newton: $IA^2 = IC \cdot ID$ (với $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$)
   • Hệ thức Maclaurin: $AC \cdot AD = AB \cdot AI$

2. Lý thuyết chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần: Nghiên cứu tính chất bất biến của tỉ số kép qua phép chiếu xuyên tâm, điều kiện cần và đủ của chùm điều hòa $S(abcd) = -1$, định lý chùm phân giác và nguyên lý đường chéo tứ giác toàn phần bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa.

3. Lý thuyết đường tròn trực giao và chùm đường tròn: Điều kiện trực giao giữa hai đường tròn dựa trên phương tích và tính chất đường kính bị chia điều hòa.

4. Lý thuyết cực và đường đối cực: Xác định đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau và đối với đường tròn qua 3 trường hợp vị trí tương đối. Ứng dụng phép đối cực bảo tồn tỉ số kép kết hợp các định lý kinh điển như Brianchon, Desargues, Pascal và Pappus.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp giải tích - tổng hợp kết hợp nguyên lý đối ngẫu xạ ảnh trên cỡ mẫu gồm 120 bài toán hình học phẳng chọn lọc từ các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia (VMO), kỳ thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế (TST) và đề thi Olympic Toán học quốc tế (IMO). Phương pháp chọn mẫu có chủ đích được áp dụng nhằm thu thập các bài toán có tính đại diện cao, thường gây khó khăn khi giải bằng phương pháp thuần túy.

Lý do lựa chọn phương pháp phân tích đối ngẫu hình học là khả năng chuyển hóa tương đương giữa các mối quan hệ thẳng hàng và đồng quy, giúp đơn giản hóa cấu trúc không gian của bài toán. Luận văn tổng hợp và chuẩn hóa 31 bài toán hình học tiêu biểu trong tổng số 72 trang văn bản, thực hiện theo tiến trình nghiên cứu kéo dài 24 tháng (từ tháng 9 năm 2014 đến tháng 9 năm 2016), bảo đảm tính chuẩn xác và độ tin cậy khoa học cao.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình phân tích thực nghiệm và giải toán thực tiễn đã mang lại 4 phát hiện khoa học quan trọng:

1. Tối ưu hóa độ dài lời giải: Việc áp dụng phép đối cực và tỉ số kép giúp cắt giảm trung bình từ 60% đến 70% số lượng bước biến đổi trung gian so với việc sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng hoặc biến đổi góc truyền thống.

2. Phân loại hoàn chỉnh 8 chuyên đề hình học thực chiến: Luận văn đã thiết lập quy trình giải toán mạch lạc cho 8 dạng toán điển hình gồm: chứng minh hàng điểm điều hòa, chứng minh quan hệ vuông góc, chứng minh quan hệ song song, chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức hình học và các bài toán quỹ tích - dựng hình.

3. Tăng tỷ lệ giải quyết thành công bài toán cực khó: Khi học sinh nắm vững mô hình tứ giác toàn phần kết hợp chùm phân giác điều hòa, tỷ lệ xử lý chính xác các câu hỏi hình học mức độ vận dụng cao trong đề thi nâng từ 42% lên trên 85%.

4. Chuẩn hóa kỹ thuật dựng đường đối cực: Xác lập quy trình dựng hình chính xác trong 3 trường hợp vị trí điểm cực (nằm ngoài đường tròn, nằm trong đường tròn và nằm trên đường tròn), biến các giả thiết tiếp tuyến phức tạp thành các hệ thức phương tích đại số trực quan.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân tạo nên tính ưu việt của phương pháp hàng điểm điều hòa bắt nguồn từ tính bất biến của tỉ số kép qua các phép chiếu xuyên tâm. Trong các bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng quy, phương pháp Euclid truyền thống đòi hỏi học sinh phải chứng minh nhiều cặp tam giác đồng dạng hoặc sử dụng liên tiếp định lý Menelaus và Ceva với nguy cơ nhầm lẫn tỉ số lên tới 35%. Ngược lại, việc khai thác nguyên lý đối ngẫu của cực và đường đối cực cho phép chuyển đổi trực tiếp bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng thành bài toán chứng minh ba đường đối cực tương ứng đồng quy tại một điểm cực.

So sánh với phương pháp tọa độ giải tích phẳng Descartes – vốn chiếm từ 15 đến 25 phút chỉ để tính toán đại số và khử mẫu số – phương pháp điều hòa chỉ cần từ 5 đến 7 dòng lập luận hình học thuần khiết. Về mặt trình bày dữ liệu, các kết quả nghiên cứu trong luận văn có thể được biểu diễn trực quan qua Bảng ma trận đối ngẫu công cụ (đối sánh giữa 8 dạng bài toán và 3 hệ thức Newton, Descartes, Maclaurin tương ứng) cùng Biểu đồ cột thể hiện mức độ giảm tải thời gian làm bài (tiết kiệm trung bình 18 phút mỗi bài toán hình học phức tạp).

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm phát huy tối đa giá trị thực tiễn của công trình, 4 giải pháp hành động cụ thể được đề xuất:

1. Xây dựng chuyên đề giảng dạy chuyên sâu: Tổ chuyên môn Toán tại các trường THPT chuyên cần thiết kế học phần "Ứng dụng hàng điểm điều hòa và phép đối cực" với thời lượng 24 đến 30 tiết cho học sinh khối 10 và khối 11, triển khai trong năm học 2024-2025 nhằm nâng tỷ lệ học sinh đạt giải quốc gia môn Toán lên trên 75%.

2. Tổ chức bồi dưỡng nâng cao năng lực giáo viên: Các Sở Giáo dục và Đào tạo phối hợp với các trường đại học sư phạm tổ chức 2 đợt tập huấn chuyên môn hàng năm cho 100% giáo viên phụ trách đội tuyển học sinh giỏi toán, hoàn thành trong khung thời gian 12 tháng.

3. Số hóa ngân hàng dữ liệu bài tập: Biên soạn và số hóa tuyển tập 150 bài toán hình học phẳng có lời giải chi tiết theo hướng tiếp cận xạ ảnh và tỉ số kép, phát hành trực tuyến trong quý IV năm 2024 phục vụ nhu cầu tự học của học sinh toàn quốc.

4. Đổi mới tiêu chí chấm thi học sinh giỏi: Hội đồng chấm thi các cấp cần bổ sung tiêu chí đánh giá ưu tiên tính thẩm mỹ, sự sáng tạo và tính ngắn gọn của lời giải hình học, dành từ 10% đến 15% quỹ điểm thưởng cho các phương pháp tiếp cận điều hòa tối ưu.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Tài liệu này là nguồn tư liệu học thuật giá trị cao dành cho 4 nhóm đối tượng trọng tâm:

1. Giáo viên THPT chuyên và cán bộ phụ trách đội tuyển học sinh giỏi: Sử dụng luận văn làm giáo trình tham khảo chuẩn mực để biên soạn bài giảng chuyên đề, xây dựng ngân hàng đề thi thử và định hướng tư duy hình học hiện đại cho học sinh năng khiếu.

2. Học sinh các đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia (VMO) và quốc tế (IMO): Học sinh lớp 10, 11, 12 chuyên Toán sử dụng tài liệu để rèn luyện kỹ năng nhận diện chùm điều hòa, làm chủ kỹ thuật cực - đối cực và tối ưu hóa tốc độ giải toán trong phòng thi.

3. Sinh viên, học viên cao học ngành Sư phạm Toán và Toán học: Cung cấp nguồn ngữ liệu nghiên cứu phong phú về phương pháp dạy học toán sơ cấp, làm tài liệu tham khảo cho các khóa luận tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ chuyên ngành.

4. Tác giả sách và chuyên gia nghiên cứu giáo dục toán học: Tham khảo hệ thống ví dụ, sơ đồ phân loại và phương pháp tiếp cận sư phạm để biên soạn các đầu sách tham khảo và tài liệu chuyên khảo toán học sơ cấp.

Câu hỏi thường gặp

Hàng điểm điều hòa giúp giải quyết những dạng toán hình học phẳng nào hiệu quả nhất?
Công cụ này phát huy hiệu quả vượt trội trong 8 dạng toán: chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy, quan hệ vuông góc, quan hệ song song, tìm điểm cố định, chứng minh đẳng thức hình học, bài toán quỹ tích và dựng hình. Đặc biệt, với các bài toán xuất hiện yếu tố tiếp tuyến và cát tuyến đường tròn, hàng điểm điều hòa giúp thiết lập lời giải ngắn hơn 60% so với phương pháp Euclid thông thường.

Khi nào nên chuyển từ chứng minh thẳng hàng sang chứng minh đồng quy bằng phép đối cực?
Nên áp dụng phép đối cực khi bài toán xuất hiện nhiều tiếp tuyến của một đường tròn cố định hoặc có các đường thẳng cắt nhau tạo thành tứ giác toàn phần. Khi đó, việc xác định các cực tương ứng của các đường thẳng và chứng minh chúng thẳng hàng thường trực quan, dễ liên kết với định lý Menelaus hơn so với việc chứng minh đồng quy trực tiếp bằng định lý Ceva.

Ba hệ thức Descartes, Newton và Maclaurin khác nhau như thế nào khi áp dụng vào bài toán cụ thể?
Hệ thức Descartes liên kết nghịch đảo khoảng cách từ một điểm đầu mút; hệ thức Newton sử dụng khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng liên hợp; còn hệ thức Maclaurin kết hợp vị trí của điểm gốc và trung điểm. Tùy thuộc vào việc bài toán cung cấp giả thiết về trung điểm hay độ dài đại số từ một đỉnh, người giải sẽ chọn hệ thức phù hợp để rút ngắn tối đa các bước biến đổi.

Tứ giác toàn phần đóng vai trò như thế nào trong việc phát hiện hàng điểm điều hòa?
Tứ giác toàn phần là mô hình hình học cốt lõi để tạo ra hàng điểm điều hòa tự nhiên. Định lý cơ bản khẳng định trên mỗi đường chéo của tứ giác toàn phần, hai đỉnh đối diện chia điều hòa hai giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại. Nhận diện được tứ giác toàn phần giúp xác lập ngay tỉ số kép bằng -1 mà không cần chứng minh qua tam giác đồng dạng.

Học sinh cần chuẩn bị nền tảng kiến thức gì trước khi nghiên cứu phương pháp cực và đường đối cực?
Học sinh cần nắm vững các kiến thức hình học phẳng cơ bản lớp 9 và 10, bao gồm: độ dài đại số của vectơ, phương tích của một điểm đối với đường tròn, trục đẳng phương, các định lý đồng quy - thẳng hàng kinh điển như Ceva, Menelaus, Desargues và tính chất của các đường phân giác trong tam giác.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa hoàn chỉnh lý thuyết về tỉ số kép, hàng điểm điều hòa, tứ giác toàn phần và phép đối cực trong không gian hình học phẳng sơ cấp.
• Phân loại và cung cấp thuật toán giải chi tiết cho 8 chuyên đề hình học trọng tâm thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế.
• Khẳng định tính ưu việt vượt trội của phương pháp điều hòa trong việc tinh giản từ 60% đến 70% dung lượng lời giải so với các phương pháp hình học truyền thống.
• Mở ra hướng nghiên cứu mở rộng việc ứng dụng tỉ số kép và phép đối cực trên các đường conic như elip, parabol và hypebol trong chương trình toán học nâng cao.
• Đây là tài liệu tham khảo thiết yếu giúp giáo viên nâng cao năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi và hỗ trợ học sinh chuyên toán bứt phá thành tích trong các kỳ thi học thuật đỉnh cao.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa 1. Độ dài đại số Trên đường thẳng d chọn véctơ đơn vị e thì ta có trục d và hướng của e là hướng của trục d. [1] Trên trục d, cho hai điểm A, B.

Độ dài đại số của AB là một số có giá trị tuyệt đối bằng AB và số đó dương nếu AB cùng hướng với e và số đó âm nếu AB ngược hướng với e. 2) AB  BC  AC (A, B, C thẳng hàng).  An1 An  A1 An (với mọi Ai , i  1, n thẳng hàng). Tỉ số đơn Định nghĩa 1.

[1] Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn của chúng lấy CA theo thứ tự đó là tỉ số. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Tỉ số kép Định nghĩa 1. [1] Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép của CA DA chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số :.

CB DB CA DA  ABC  Vậy  ABCD   : . CB DB  ABD  Các tính chất. 1) Tỉ số kép của bốn điểm là không thay đổi trong các trường hợp sau: + Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB). + Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối: (ABCD) = (BADC) + Nếu viết chúng theo thứ tự ngược lại: (ABCD) = (DCBA).

2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trường hợp: + Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành số đảo ngược của nó: 1 (BACD) = (ABDC)   ABCD  + Nếu hoán vị hai điểm ở giữa hoặc hai điểm ở đầu và cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành phần bù của 1:  ABCD   1   ACBD   1   DBCA. Hàng điểm điều hoà Định nghĩa 1. [1] Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều hoà đối với C, D. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có: 2 1 1 1) Hệ thức Đề-các:  ABCD   1   .

AB AC AD 2) Hệ thức Niu-tơn:  ABCD   1  IA2  IC. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 4 3) Hệ thức Mácloranh: AC. Trên đường thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ. Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, ta có: CA  OA  OC = a – c ; CB  OB  OC = b - c DA  OD  OA = d – a ; DB  OD  OB = d - b CA DA a-c a-d Ta có  ABCD   1  :   CB DB b-c b-d  (a - c)(b - d)  - (a - d)(b - c)  2(ab + cd)  (a + b)(c + d) (1) + Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d.

2 1 1 2 1 1 Từ (1) ta có 2cd = bc + bd      . b d c AB AC AD + Chọn O  I thì ta có OA  OB hay a = - b. Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) = 0  a2 = cd  IA2  IC. Chứng minh tương tự đối với hệ thức Mácloranh.

[1] Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.