Chương I: TỔNG QUAN 1. Giới thiệu Trong chương này trước khi giới thiệu sơ lược các mô hình lý thuyết về vật liệu xốp dẻo ta sẽ tóm tắt một số vấn đề cơ bản về lý thuyết dẻo của vật liệu mạng không có độ xốp. Vật liệu mạng được quan tâm ở đây là loại vật liệu von Mises đẳng hướng, các lý thuyết về hàm chảy von Mises và biểu diễn hàm chảy trong không gian ứng suất chính sẽ được trình bày trong phần đầu chương này. Tiếp theo đó các mô hình hàm chảy của vật liệu xốp dẻo đã có sẽ được phân tích sơ lược để ta có thể thấy được sự khác biệt của chúng, từ các đặc điểm này trong chương tiếp theo ta sẽ áp dụng chúng để xác định hàm chảy.
Không gian ứng suất chính Với mỗi trạng thái ứng suất chính (σ1, σ2, σ3) ta có thể biễn trên 1 hệ trục tọa độ Decartes Oσ1σ2σ3 như là 1 vector có dạng OS = (σ , σ , σ ). Hệ trục tọa độ này có 3 trục tọa độ tương ứng với 3 thành phần ứng suất chính được gọi là không gian ứng suất suất chính. Trạng thái ứng suất OS có thể phân tích thành 2 thành phần: + OD OS = OP Trong đó OP là thành phần nằm trên trục h là trục đi qua gốc tọa độ O và có vector chỉ phương đơn vị là n = ( , , ) và OD là vector vuông góc với OP và OS tại √ √ √ O như được biểu diễn trong hình 1. 3 σ1 S h D P O σ2 σ3 Mặt phẳng lệch Hình 1.1 – Không gian ứng suất chính được xác định bằng cách xem OP Độ dài của OP là hình chiếu của OS lên trục h = OS.
OP n 1 = OP (σ + σ + σ ) = √3p √3 Với p là thành phần ứng suất thủy tĩnh: σ + σ + σ p= 3 : Như vậy ta xác định được vector OP = (p, p, p) OP Vì các thành phần của OP là ứng suất thủy tĩnh p nên phương của của OP tức là trục h còn được gọi là trục thủy tĩnh. được tính như sau: Và OD 4 = OS OD − OP = (σ − p, σ − p, σ − p) thể hiện thành phần ứng suất lệch si: Ta thấy OD OD = (σ − p, σ − p, σ − p) = (s , s , s ) Vậy độ lớn của OD có thể tính như sau: = (s ) + (s ) + (s ) = 2J OD Vì các thành phần của OD là thành phần ứng suất lệch nên mặt phẳng chứa OD và vuông góc trục thủy tĩnh h được gọi là mặt phẳng lệch. Như vậy với mỗi vector trạng thái ứng suất trong không gian ứng suất chính ta có thể phân tích thành 2 thành phần gồn vector biểu diễn thành phần ứng suất thủy tĩnh nằm trên trục thủy tĩnh và vector biểu diễn thành phần ứng suất lệch nằm trên mặt phẳng lệch là mặt phẳng vuông góc với trục thủy tĩnh. Tiêu chẩn chảy chảy von Mises Tiêu chuẩn chảy von Mises: Chảy khi bất biến J đạt giá trị tới hạn bằng.
thường được biểu diễn toán học: J =k J2 là bất biến thứ 2 của tensor ứng suất lệch: 1 J = (σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) 6 Gọi σ! là ứng suất chảy đơn trục của vật liệu, khi đó hàm chảy von Mises có thể viết dưới dạng: (σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) = 2(σ! ) Tiêu chuẩn chảy von Mises lúc này được biểu diễn trong không gian ứng suất chính có dạng 1 mặt trụ tròn có bán kính bằng 2/3σ! như trong hình 1.2 5 σ1 h Mặt phẳng lệch σ1 O σ2 O σ2 σ3 σ3 Mặt phẳng lệch Hình 1.2 - Mặt chảy von Mises 3 trục Và trong trường hợp tải 2 trục sẽ được biểu diễn dưới dạng 1 đường ellipse có tâm tại gốc tọa độ và các bán trục nằm xiên 45o so với các trục chính như trong hình 1. Hàm chảy von Mises 2 trục có dạng: (σ ) + (σ ) − σ σ = (σ! ) σ1 σo σo -σo O σ2 -σo Hình 1.3 – Hàm chảy von Mises 2 trục 6 Ta gọi σ# là ứng suất tương đương von Mises: 3 1 σ# = $ s%& s%& = $ (σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) 2 2 Khi đó hàm chảy von Mises được viết dưới dạng ứng suất tương đương như sau: σ# = σ! 1. Biến cứng đẳng hướng Ở đây ta chỉ xem xét trường hợp biến cứng đẳng hướng, tức là khi biểu biễn bề mặt chảy chỉ thay đổi kích thước chứ không thay đổi hình dạng hay di chuyển. Từ mặt chảy von Mises ban đầu: σ# = σ! Khi biến cứng sẽ trở thành: σ# = φ(ε# ) > σ! Ta thấy rằng trong quá trình biến cứng mặt trụ von Mises trong không gian ứng suất chính sẽ chỉ tăng kích thước bán kính và hình ellipse von Mises trong trường hợp tải 2 trục cũng sẽ tăng kích thước bán trục nhưng vẫn đồng dạng với hình ellipse ban đầu như minh họa trong hình 1.
σ1 h σ1 Biến cứng Ban đầu O σ3 O σ2 Ban đầu σ2 Biến cứng Hình 1.4 - Biến cứng đẳng hướng 7 Để xác định hàm φ ta cần phải dựa vào quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục và 2 thông số: ứng suất tương đương và biến dạng tương đương. Ta định nghĩa biến dạng tương đương ε# tương tự như ứng suất tương đương σ# : σ# = ((3/2)s%& s%& dε# = (Cdε%& dε%& Với C là hệ số cần tìm, ta tìm C thông qua trường hợp tải đơn trục và giả thiết vật liệu không nén được và đẳng hướng, khi tải trên phương σ1 ta có: dε + dε + dε = 0 dε , →/ dε = dε = − dε = dε 2 1 3 3 → dε# = (Cdε%& dε%& = $C 02 1 dε 2 3 = $C dε 3 2 2 Vậy để có thể đảm bảo rằng quan hệ ứng suất biến dạng tương đương tổng quát sẽ trở thành quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục trong trường hợp tải đơn trục thì lúc này trong biến dạng đương đương phải đúng bằng biến dạng đơn trục trên phương chịu tải: 3 2 2 dε# = $C dε = dε → C = → dε# = $ 4dε%& dε%& 5 2 3 3 Khi đã có ứng suất tương đương σ# và biến dạng tương đương ε# , ta giả định mối quan hệ σ# − ε# có dạng hàm tương tự như trong trường hợp tải đơn trục tức là hàm φ trong: σ# = φ(ε# ) cũng chính là hàm quan hệ ứng suất - biến dạng trong trường hợp tải đơn trục với ứng suất tương đương thay cho ứng suất tải đơn trục và biến dạng tương đương thay cho biến dạng trên phương chịu tải. Thông thường quan hệ ứng suất - biến dạng đơn trục thực nghiệm được giả định có dạng hàm phụ thuộc biến dạng tổng ε và các hằng số vật liệu k % : σ = φ(ε, k % ) 8 Các hằng số k % được tìm dựa theo kết quả thực nghiệm sao cho hàm φ phù hợp nhất với kết quả thực nghiệm trong vùng biến dạng dẻo, còn trong vùng đàn hồi quan hệ ứng suất biến dạng vẫn tuân theo định luật Hooke như minh họa trong hình 1.4 – Quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục 1. Vật liệu xốp dẻo Các nghiên cứu về vật liệu có chứa lổ hổng sớm nhất có thể kế đến các nghiên cứu tăng trưởng kích thước lổ hổng đơn độc tồn tại trong phân tố vật liệu von Mises chủ yếu dùng dự đoán tăng trưởng lổ hổng và sự liên kết lổ hổng gây ra nứt dẻo của kim loại.
Các nghiên cứu có thể ra đây như Mclintock [1] dựa trên mô hình lổ hổng hình trụ tròn trong vật liệu mạng dẻo lý tưởng chịu kéo dọc theo trục lổ hổng và trên phương bán kính vuông góc với trục lổ hổng và Rice và Tracey [2] dựa trên mô hình lổ hổng hình cầu nằm trong vật liệu dẻo lý tưởng. Các nghiên cứu này giới thiệu được hàm tăng trưởng kích thước của lổ hổng thông qua lượng tăng bán kính lổ hổng theo tải và biến dạng. Nghiên cứu được sử dụng rông rải nhất là nghiên cứu của Gurson [3] vì đưa ra được hàm chảy cho mô hình lổ hổng đơn độc hình trụ tròn và hình cầu chứa trong phân tố vật liệu von Mises đẳng hướng dẻo lý tưởng, các mô hình vật liệu này có hình dạng như minh họa trong hình 1. 9 σ1 vật liệu σ1 vật liệu lổ hổng lổ hổng σ2 σ3 σ2 σ3 Hình 1.5 – Mô hình lổ hổng đơn độc hình trụ tròn và hình cầu Gurson Trong đó hàm chảy Gurson gần đúng cho mô hình lổ hổng hình cầu có dạng: σ# 3p 1 2 + 2fcosh 1 2−1−f =0 (1.1) σ! 2σ! với σ! là ứng suất chảy của vật liệu mạng, trong trường hợp vật liệu mạng biến cứng đẳng hướng σ! được xem như hàm theo biến dạng.
σ# và p lần lượt là thành phần ứng suất tương đương và ứng suất thủy tĩnh của tải: 3 σ>> σ# = $ σ%& σ%& p= 2 3 và f là độ xốp thể tích được tính bằng tỉ số của thể tích lổ hổng chia cho thể tích toàn bộ phân tố. Như vậy khi ta xem vật liệu mạng như là vật liệu von Mises và giả thuyết vật liệu có đặc tính kéo nén giống nhau, hàm chảy trên được biểu diễn trong không gian ứng suất chính với dạng hình tròn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h. Lúc này mặt chảy biểu diễn bởi (1.1) sẽ nằm gọn trong mặt chẳy dạng mặt trụ von Mises của vật liệu mạng như minh họa trong hình 1. Hình dáng của mặt chảy (1.1) sẽ thay đổi cùng với độ xốp của vật liệu.
10 σ1 h mặt phẳng lệch Von Mises σ1 Gurson σ3 σ2 σ3 σ2 Hình 1.6 - Mặt chảy Gurson Vì mặt chảy này có dạng mặt tròn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h nên ta có thể biểu diễn thông quan hệ σe-p. Để tiện lợi khi biểu diễn, quan hệ σe - p được thay − ?@ B ?A ?A bằng quan hệ với cùng ý nghĩa như trong hình 1.
