Luận Văn Thạc Sĩ Nghiên Cứu Về Bất Đẳng Thức Xoay Vòng và Cách Vận Dụng

Luận văn thạc sĩ phân tích về bất đẳng thức xoay vòng và vận dụng, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Bùi Thị Nhất Ninh
• Người hướng dẫn: Trần Xuân Quý
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Khoa học
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Bất Đẳng Thức Xoay Vòng và Vận Dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào bất đẳng thức xoay vòng và ứng dụng thực tiễn của chúng trong toán học. Mục tiêu chính là phân tích các tính chất và phương pháp liên quan đến bất đẳng thức xoay vòng, đồng thời khám phá các ứng dụng trong thực tế. Luận văn cũng nhấn mạnh việc trình bày lại nội dung từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là chương XVI của cuốn sách 'Cyclic Inequalities'.

1.1. Bối cảnh và lý do chọn đề tài

Toán học là một môn học quan trọng giúp phát triển tư duy logic. Bất đẳng thức là một chủ đề phổ biến trong các kỳ thi học sinh giỏi. Tuy nhiên, tài liệu về lịch sử phát triển của bất đẳng thức xoay vòng còn hạn chế. Do đó, luận văn này được thực hiện để đi sâu vào phân tích lịch sử và các kết quả nghiên cứu liên quan.

1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nhằm trình bày các bất đẳng thức xoay vòng cơ bản, bao gồm bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro, và các mở rộng của chúng. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các phương pháp toán học và mô hình toán học liên quan, cùng với các ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau.

II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết để hiểu về bất đẳng thức xoay vòng. Các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Hölder, và Jensen được giới thiệu, cùng với các tính chất và hệ quả của chúng. Đặc biệt, bất đẳng thức Schur được phân tích chi tiết, bao gồm cả dạng rời rạc và liên tục.

2.1. Bất đẳng thức AM GM và Hölder

Bất đẳng thức AM-GM là một công cụ quan trọng trong toán học, liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân. Bất đẳng thức Hölder được trình bày ở cả dạng đại số và giải tích, với các ứng dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn.

2.2. Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur được phân tích từ dạng rời rạc đến dạng liên tục. Các mở rộng của bất đẳng thức này cũng được đề cập, bao gồm các kết quả của U. Guha và A. Oppenheim. Bất đẳng thức Schur đối với hàm số cũng được giới thiệu, với các ứng dụng trong việc phân tích các hàm lồi và đơn điệu.

III. Kết quả nghiên cứu và ứng dụng

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận văn, bao gồm các bất đẳng thức xoay vòng liên quan đến ba số dương và các yếu tố lượng giác. Các bài toán vận dụng và mở rộng của bất đẳng thức Shapiro cũng được đề cập, cùng với các kết quả liên quan từ các tài liệu tham khảo.

3.1. Bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương

Các bất đẳng thức liên quan đến ba số dương được trình bày, bao gồm các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản như T1^2 - 3T2 > 0 và T1^3 - 27T3 > 0. Các phương pháp biến đổi cơ bản cũng được giới thiệu để thu được các bất đẳng thức mới từ các bất đẳng thức đã biết.

3.2. Bất đẳng thức Shapiro và ứng dụng

Bất đẳng thức Shapiro được phân tích chi tiết, cùng với các mở rộng và bài toán vận dụng. Các kết quả liên quan đến bất đẳng thức xoay vòng trong các bài toán hình học cũng được đề cập, với các ứng dụng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế.

IV. Kết luận và hướng phát triển

Luận văn kết thúc với việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu và đánh giá giá trị thực tiễn của các bất đẳng thức xoay vòng. Các hướng phát triển trong tương lai bao gồm việc khám phá thêm các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau và mở rộng nghiên cứu về các phương pháp tối ưu hóa liên quan đến bất đẳng thức xoay vòng.

4.1. Tổng kết kết quả nghiên cứu

Luận văn đã trình bày chi tiết các bất đẳng thức xoay vòng cơ bản và các ứng dụng của chúng. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh được tính hiệu quả của các phương pháp toán học trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.

4.2. Hướng phát triển trong tương lai

Các nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các bất đẳng thức xoay vòng sang các lĩnh vực khác như khoa học máy tính, kinh tế, và kỹ thuật. Việc phát triển các giải thuật và mô hình toán học mới cũng là một hướng đi tiềm năng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Về bất đăng thức xoay vòng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản nhất liên quan đến luận văn, một số hệ quả của các bất đẳng thức này mà có sử dụng sẽ không được trình bày, mà được chỉ ra như hệ quả hiển nhiên. Các hệ quả của các bất đẳng thức trình bày trong mục này và các bất đẳng thức liên quan có thể xem trong tài liệu [3] của GS.1 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức AM-GM hay còn được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân được viết tắt là AM-GM hoặc một số tài liệu viết là AG, có nội dung như sau: Dinh ly 1. Giả sử ai, a›,., a„ là các số không âm. Khi đó đi +đd2 + --- +dụ n > \ai.

Dầu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = ay = +++ dp. Bat dang thức trên có thể viết lại, 1 1 1 11 1 —đi + —ữa +-'- + Tân 3 địđ2 - ' ' đụ. n n n Từ ý tưởng này, người ta đã chứng minh được kết quả tổng quát hơn là: Với ơ; là các số không âm, có tổng bằng 1, và a; là các số duong (i = 1,2,.,7), thì ta có bất đẳng thức đi 1 Œ, QA) + 0282 + -- + đyay 3 địỊ'. dạ", n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = đa = --- = a„.

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức AM-GM suy rộng (hay còn được gọi là bất đẳng thức trung bình có trọng số hay bất đẳng thức trung bình lũy thừa có trọng số).2 Bất đẳng thức Hölder, Jensen Trước tiên, về bất đẳng thức Hölder tồn tại ở nhiều phiên bản, tuy nhiên chúng tôi chỉ trình bày ở dạng đại số và giải tích cơ bản, mà chúng phù hợp với chương trình phổ thông. Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức Hölder., a„) và b = (bị, bạ,. là hai bộ n số thực dương và p > 1, — + — = L. Khi đó ta có bắt đẳng thúc sau Pp 4 Sa, (>: at} (Soar).

` i=1 i=1 i=l Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi a} = kb? véi moii € {1,2,,. Bắt đẳng thức (1.1) với p = g = 2 còn được gọi 1a bat dang thite Cauchy- Schwartz hay còn được gọi là Buniacosky-Cauchy-Schwartz. Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Hölder ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình bày kết quả mà không chứng minh. Tiếp theo là bất đẳng thức Jensen: Hàm số lồi hay gọi tắt hàm lồi là một khái niệm quan trọng trong toán học.

Các kết quả về bất đẳng thức đối với lớp hàm lồi rất đa dạng trong giải tích toán học, để liên hệ tới nội dung của luận văn, chúng tôi trình bày một kết quả kinh điển của lớp bất đẳng thức này, đó là bất đẳng thức Jensen. Giđ sử hàm số ƒ : (a,b) — R lôi trên khoảng (a,b). Khi đó với mợi xị,. n n Dầu bằng xảy ra khi va chi khi x; = x2 = +++ = Xp.2 Về bất đăng thức Schur Các kết quả về bất đẳng thức Schur được nghiên cứu và sử dụng trong nhiều khía cạnh của Toán học.

Trong khuôn khổ luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành phương pháp Toán sơ cấp, tôi chỉ trình bày hai trường hợp riêng của bất đẳng thức này mà đối tượng giáo viên và học sinh phổ thông có thể vận dụng được.1 Bất đẳng thức Schur rời rac Trường hợp đầu tiên mà J. Wolstenholme trích dẫn trong cuốn sách “A Book of Mathemtical problems (1867)” là bài toán sau: Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì ta có bất đẳng thức, a(a — b)(a — c) + b(b — c)(b — a) + c(c — a)(c — b) > Ö và a3(a — b)(a — e) + b`(b — c)(b — a) + cÌ(c — a)(c — b) > 0. Nếu x, y,z là các số dương và A là số thực tùy ý, thì ta có bắt đẳng thức sau xx= y)(x~ z) + y!@— 2Œ — x) + zÍŒ — #)(— y) > 0.3) Dầu đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Nếu hai trong ba số x, y, z bằng nhau thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.

Thật vay, chang hạn y = z, I = x‡(x— y)?. Không giảm tính tổng quát, giả sử rằng x > y > z. Vì A là số thực tùy ý, nên ta xét hai trường hợp; Ä > 0 và A < 0: Nếu A > 0 thì I = (x—y)|xœ~ z2) — y!@ — 2) +£*x— z2) — 2) >(x-y)(#'=y)@-~z)+z!œ~ø)@~ 2) >0. Vậy bất đẳng thức (1.3) được chứng minh.

oO Bắt đẳng thức (1.3) được gọi là bất đẳng thức Schur. Đã có nhiều mở rộng của bất đẳng thức Schur. Kết quả dưới đây được xem là một mở rộng sơ cấp nhất của loại bất đẳng thức này của U. Guha (1962) như sau.

Nếu a,b,c,u, v, w là các sô thực dương và thỏa mãn các bắt đẳng thức sau 1 1 1 ar+cr <br, (1.4) HP + wPT > yPH, (1.5) khi đó, nếu p > 0, thì ubc — vca + wab > 0.6) Néu -1 < p < 0 thì các bắt đẳng thức trong (1.6) đổi chiêu; nếu p < —] thì các bắt đẳng thức (1. Trong mỗi trường hợp, dáu đẳng thức trong bát đẳng thức (1.6) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra trong các bắt đẳng thức (1.5) và ght! ppt! cPtl uP vP wP ` Chứng mình. Nếu p > 0, thì theo bất đẳng thức Hölder ta có 1 [ar (ue) + cn(wa)n |” < (uc + wa) (ar + cr)” › tức là ac(ur + wrA)Pt! < (uc + wa) (+ + cry’ › bất đẳng thức (1.6) suy ra từ bất đẳng thức (1. Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Như trong chứng minh Định lý 1.1 ta có thể giả thiết 0 < z < y< x. Khi đó bất đẳng thức (1.6) chính là bất đẳng thức (1.4) xảy ra dấu bằng và bất đẳng thức (1.5) đúng bởi vì ul? > yl? hoặc wl? > pl? theo nhu 2 > 0 hoac A < 0. Amur đã có kết quả mở rộng kiểu bất đẳng thức Schur, kết quả cho năm biến công bố (1961)!. Kết quả tiếp theo dưới đây được A.

Oppenheim và Roy 0. Davis” công bố năm 1964 mở rộng cho ø biến., aạ là n số thực cho trước và xị,., xạ là n số thực tùy ý thỏa mãn Xi>--' >#„ (1. Điêu kiện cần và đủ để n S = Sai Qi — XI). Amur (1961), “An inequalities of Schur’s type for five variables” 2A.

Oppenheim va Roy 0. Davis (1964), “Inequalities of Schur’s type” (Ù. Với n = 3 có ai >0, a› < (ad? + aUŸ, as > 0. (Dac biét, v6in = 5,a; = ++: = as = 1, vax4 = x5 = O, thi bat dang thức (1.8) là bất đẳng thức Schur với 4 = 2.

Giả sử có điều kiện (1.9), ta cần chứng minh bat đẳng thức (1. Thật vậy, với n = 3 thì về phải của (1.8) được viết lại như sau S = ay (x1 — X2)(%1 — X3) + đ2(X2 — XỊ)(Xa — X3) + a3(%3 — XI)X3 — X2) 2 = |a/”GI = x2) - ay” (2 - x3)| + [(ai” + a?) — ¬ (x1 — #2) (Xa — x3).11) Rõ ràng, đẳng thức này chỉ ra Ð > 0 và cũng chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của (1. Điều kiện cân. Giả sử có bat đẳng thức (1.8), ta cần chứng minh (1.

Nghĩa là đ(XỊ — X2)(XI — X3) + đ2(%X2 — XỊ)(X¿ — X3) + đ3(X3 — XỊ)ŒX3 — x2) 3> Ö với mọi số thực x¡, x›,x thỏa mãn x; > x. Nhu vậy nếu ta chọn > 0 va a; > 0. Nhu vay, ta có thể biểu diễn về trái của bất đẳng thức (1. Vậy nếu ta chọn (xI — x2) : (Xa — %3) = ay” : a thì thu được ràng buộc Xa = X3 < xị hoặc xị = xạ > x3 thi suy ra đi 2 đạ (a7 + a;\”).

Viết lại điều kiện (1. 49 n>7:a, 20, a <a, a 20, a <0, GQn_2 20, An-1 < Gy, A, > O nếu m lẻ, An-2 <0, An-1 2 Ans An <O néun chan. Giả sử các điều kiện (1. Khi đó hai số hạng đầu tiên trong tổng 3) có dạng đi (XI — Xa): - * (XI — Xa) + đa (Xa — XỊ) + ê Xa — Xa) = (xị — Xa) [đi (Xị — 13) - - - Xị — Xn) — đ2 (%2 — X3) --' (Xa — Xn)], là không âm nếu ai; > 0 > ø›;, hoặc đi > a¿ > 0 và vì theo giả thiết XIi— 13 > X2 T— 13 >,---, XỊ T— X„ > X2 T— X„ > 0.

Áp dụng một cách tương tự cho hai số hạng tiếp theo của Ð. Đối với mỗi số hạng khác trong 3) hiển nhiên không âm nếu điều kiện (1.10) thỏa mãn, vì (với x„ — x, bi triệt tiêu) (x-— xi): -: (xy— x„) > 0 nếu r là số lẻ, và < 0 nếu r là số chẵn, nghĩa là, nó có dấu với z„. Điều kiện cân. Giả sử có bất đẳng thức (1.8), khi đó nếu ta chọn xị > xạ > X3 = --' = x„, chia cho xị — x ta thu được đị (XỊ — X3) + t (XI — Xa) — đạ (Xa — 33) © + ' (xạ — x„) > Ö.

Trong bắt đẳng thức này, ta chọn xị > x; = x¿ thì ta suy ra z¡ > 0, và chọn Xị = x¿ > x¿ thì ta thu được điều kiện ø¡ > a›. Tương tự như vậy đối với a„_¡ Và a„; và điều kiện đối với a„ với 3 < r < n — 2 thu được bằng cách chọn X⁄J=+''' =XzZ 1> Xr> Xz‡+| =-''' =Xn. Oppenheim và Roy O. Davies” đã đưa ra bài toán sau 3A.

Oppenheim va Roy O. Davies (1964), “Inequalities of Schur’s Type” 10 Định lý 1. Giả sử ai,., a„ là n số thực cho trước và xị,., xạ là n số thực tùy ý (với sô tự nhiên n > 3). Điêu kiện cần và đủ để S = S đị (Xị — XI).12) i=l với mọi xị,.

haw > 0<aj<a; +a, với mọi hoán vị ba số ijk cua 123, ® với n = 4 và n > 6: ai = --- = a„y =0, ® Với 1 = 5: đI = --- = as >0. Ivady* da chting minh bat dang thức Schur (1.3) bằng định lý gia tri trung bình.2 Bất đẳng thức Schur đối với hàm số A. Walker? đã xét trường hợp A = 2m thì trong bất đẳng thức Schur sẽ đúng với mọi số thực x, y, z, nghĩa là M(x y)(x~ 2) +y ”"Œ = 20 — x) + Z”Œ — x)Œ - y) > 0, (1.13) với mọi số thực x, y, z.