Luận Văn Thạc Sĩ Nghiên Cứu Về Bất Đẳng Thức Xoay Vòng và Cách Vận Dụng

Luận văn thạc sĩ phân tích về bất đẳng thức xoay vòng và vận dụng, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Bùi Thị Nhất Ninh
• Người hướng dẫn: Trần Xuân Quý
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Khoa học
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Bất Đẳng Thức Xoay Vòng và Vận Dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• Bảng ký hiệu
• MỞ ĐẦU
• 1. Chương 1: Về bất đẳng thức xoay vòng
• 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
• 1.1.1. Bất đẳng thức AM-GM
• 1.1.2. Bất đẳng thức Hölder, Jensen
• 1.2. Về bất đẳng thức Schur
• 1.2.1. Bất đẳng thức Schur rời rạc
• 1.2.2. Bất đẳng thức Schur đối với hàm số
• 2. Chương 2: Một số kết quả liên quan và vận dụng
• 2.1. Một số bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương
• 2.2. Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan tới yếu tố lượng giác
• 2.3. Một số bài toán bất đẳng thức vận dụng
• 3. Chương 3: Bất đẳng thức Shapiro và một số kết quả liên quan
• 3.1. Một số bài toán bất đẳng thức của Diananda và Daykin
• 3.2. Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào bất đẳng thức xoay vòng và ứng dụng thực tiễn của chúng trong toán học. Mục tiêu chính là phân tích các tính chất và phương pháp liên quan đến bất đẳng thức xoay vòng, đồng thời khám phá các ứng dụng trong thực tế. Luận văn cũng nhấn mạnh việc trình bày lại nội dung từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là chương XVI của cuốn sách 'Cyclic Inequalities'.

1.1. Bối cảnh và lý do chọn đề tài

Toán học là một môn học quan trọng giúp phát triển tư duy logic. Bất đẳng thức là một chủ đề phổ biến trong các kỳ thi học sinh giỏi. Tuy nhiên, tài liệu về lịch sử phát triển của bất đẳng thức xoay vòng còn hạn chế. Do đó, luận văn này được thực hiện để đi sâu vào phân tích lịch sử và các kết quả nghiên cứu liên quan.

1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nhằm trình bày các bất đẳng thức xoay vòng cơ bản, bao gồm bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro, và các mở rộng của chúng. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các phương pháp toán học và mô hình toán học liên quan, cùng với các ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau.

II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết để hiểu về bất đẳng thức xoay vòng. Các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Hölder, và Jensen được giới thiệu, cùng với các tính chất và hệ quả của chúng. Đặc biệt, bất đẳng thức Schur được phân tích chi tiết, bao gồm cả dạng rời rạc và liên tục.

2.1. Bất đẳng thức AM GM và Hölder

Bất đẳng thức AM-GM là một công cụ quan trọng trong toán học, liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân. Bất đẳng thức Hölder được trình bày ở cả dạng đại số và giải tích, với các ứng dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn.

2.2. Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur được phân tích từ dạng rời rạc đến dạng liên tục. Các mở rộng của bất đẳng thức này cũng được đề cập, bao gồm các kết quả của U. Guha và A. Oppenheim. Bất đẳng thức Schur đối với hàm số cũng được giới thiệu, với các ứng dụng trong việc phân tích các hàm lồi và đơn điệu.

III. Kết quả nghiên cứu và ứng dụng

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận văn, bao gồm các bất đẳng thức xoay vòng liên quan đến ba số dương và các yếu tố lượng giác. Các bài toán vận dụng và mở rộng của bất đẳng thức Shapiro cũng được đề cập, cùng với các kết quả liên quan từ các tài liệu tham khảo.

3.1. Bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương

Các bất đẳng thức liên quan đến ba số dương được trình bày, bao gồm các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản như T1^2 - 3T2 > 0 và T1^3 - 27T3 > 0. Các phương pháp biến đổi cơ bản cũng được giới thiệu để thu được các bất đẳng thức mới từ các bất đẳng thức đã biết.

3.2. Bất đẳng thức Shapiro và ứng dụng

Bất đẳng thức Shapiro được phân tích chi tiết, cùng với các mở rộng và bài toán vận dụng. Các kết quả liên quan đến bất đẳng thức xoay vòng trong các bài toán hình học cũng được đề cập, với các ứng dụng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế.

IV. Kết luận và hướng phát triển

Luận văn kết thúc với việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu và đánh giá giá trị thực tiễn của các bất đẳng thức xoay vòng. Các hướng phát triển trong tương lai bao gồm việc khám phá thêm các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau và mở rộng nghiên cứu về các phương pháp tối ưu hóa liên quan đến bất đẳng thức xoay vòng.

4.1. Tổng kết kết quả nghiên cứu

Luận văn đã trình bày chi tiết các bất đẳng thức xoay vòng cơ bản và các ứng dụng của chúng. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh được tính hiệu quả của các phương pháp toán học trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.

4.2. Hướng phát triển trong tương lai

Các nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các bất đẳng thức xoay vòng sang các lĩnh vực khác như khoa học máy tính, kinh tế, và kỹ thuật. Việc phát triển các giải thuật và mô hình toán học mới cũng là một hướng đi tiềm năng.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong hệ thống toán học sơ cấp và các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp quốc gia, khu vực cũng như quốc tế, các bài toán về bất đẳng thức luôn chiếm tỷ trọng từ 15% đến 20% cấu trúc đề thi phân loại năng khiếu. Luận văn thạc sĩ Toán học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp (mã số 8 46 01 13) của tác giả Bùi Thị Nhất Ninh, thực hiện tại Trường Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên năm 2019 dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Trần Xuân Quý, tập trung giải quyết bài toán hệ thống hóa và vận dụng lớp bất đẳng thức xoay vòng.

Vấn đề cốt lõi của nghiên cứu xuất phát từ thực trạng các tài liệu tiếng Việt trước năm 2019 chủ yếu tập trung vào việc đưa ra kỹ thuật giải mẹo cho từng bài toán đơn lẻ mà thiếu đi cái nhìn lịch sử và phân loại bản chất đại số của các biểu thức đối xứng suy rộng. Mục tiêu cụ thể của luận văn là nghiên cứu chuyên sâu về sự tiến hóa của các bất đẳng thức kinh điển từ bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro đến các dạng mở rộng nhiều biến, kết hợp yếu tố giải tích và lượng giác. Phạm vi nghiên cứu bao quát các công trình học thuật từ năm 1867 đến năm 2019, phân tích trên tập số thực và số thực dương. Về mặt giá trị ứng dụng, công trình cung cấp cơ sở lý luận giúp rút ngắn hơn 80% các phép biến đổi cồng kềnh trong việc tìm cực trị, đồng thời nâng cao hiệu quả sư phạm trong công tác đào tạo học sinh năng khiếu toán học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng của 5 trụ cột lý thuyết toán học sơ cấp và giải tích hiện đại:

1. Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (AM-GM) cổ điển và dạng suy rộng có trọng số với điều kiện tổng các trọng số bằng 1.
2. Bất đẳng thức Hölder và trường hợp đặc biệt kinh điển Cauchy-Schwarz thiết lập mối liên hệ giữa các bộ n số thực dương.
3. Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi xác định trên khoảng mở, đóng vai trò bản lề trong việc chuyển đổi giữa giải tích lồi và bất đẳng thức đại số.
4. Lý thuyết hàm thuộc lớp Godunova-Levin (lớp hàm Q) không âm thỏa mãn tính chất lồi suy rộng, được phát triển bởi Pecaric và Mitrinovic từ năm 1990.
5. Hệ thống bất đẳng thức Schur từ dạng 3 biến rời rạc sơ khai của Wolstenholme năm 1867 đến dạng liên tục cho hàm số lồi hoặc đơn điệu.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng mẫu dữ liệu học thuật gồm hơn 50 định lý, bổ đề và bài toán bất đẳng thức được trích xuất từ 18 công trình chuyên khảo uy tín trong và ngoài nước, tiêu biểu là các nghiên cứu của Mitrinovic, Klamkin và tài liệu Geometric Inequalities. Phương pháp chọn mẫu là phương pháp chọn mẫu có chủ đích (purposive sampling), tập trung vào các dạng toán xoay vòng có tính đại diện lịch sử cao qua các giai đoạn từ năm 1867 đến năm 2019.

Lý do lựa chọn phương pháp phân tích đại số kết hợp giải tích lồi và biến đổi lượng giác là vì cấu trúc xoay vòng đòi hỏi kỹ thuật xử lý đối xứng hóa cục bộ và đánh giá biên chặt chẽ, điều mà các phương pháp biến đổi sơ cấp đơn thuần không thể bao quát hết. Timeline nghiên cứu được thực hiện hoàn chỉnh trong thời gian 24 tháng thuộc khóa đào tạo Cao học Toán K11B và chính thức bảo vệ thành công vào tháng 12 năm 2019.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Luận văn đã tổng hợp và chứng minh 4 cụm phát hiện mang tính học thuật cốt lõi:

1. Thiết lập trọn vẹn điều kiện cần và đủ cho bất đẳng thức dạng Schur n biến theo kết quả của Oppenheim và Davis (1964), mở rộng thành công trường hợp 5 biến của Amur (1961) và dạng hàm số của Walker (1971).
2. Phân loại hoàn chỉnh các bất đẳng thức đối xứng bậc 2, bậc 3, bậc 4 và bậc 6 theo 3 đa thức cơ bản $T_1 = x+y+z$, $T_2 = xy+yz+zx$, $T_3 = xyz$. Luận văn chỉ ra rằng trong không gian bậc 3, các bất đẳng thức tạo bởi tổ hợp tuyến tính của bộ ba đại lượng U, V, W là tốt nhất theo nghĩa yếu với điều kiện các hệ số không âm.
3. Mở rộng bất đẳng thức xoay vòng lượng giác gắn với hệ thức góc tam giác $A+B+C=p\pi$, xác lập cận trên tối ưu $3\sqrt{3}/8$ (xấp xỉ 0.6495) cho tích các hàm lượng giác và mở rộng định lý Neuberg-Pedoe cho diện tích 2 tam giác đồng dạng.
4. Hệ thống hóa toàn diện giả thiết Shapiro với n biến. Luận văn đã phân tích chứng minh tính đúng đắn khi n nhận giá trị 3, 4, 5, đồng thời làm rõ các trường hợp phản ví dụ khi n đạt giá trị 20 theo các nghiên cứu của Diananda (1959) và Daykin.

Thảo luận kết quả

Dữ liệu và kết quả nghiên cứu có thể được trực quan hóa qua bảng ma trận phân cấp độ chặt (mạnh và yếu) của các bất đẳng thức thuần nhất, cùng biểu đồ biểu diễn miền giá trị đúng của tham số r trong khoảng từ 0 đến 2 đối với các bất đẳng thức lượng giác hình học. Nguyên nhân cốt lõi khiến giả thiết Shapiro thất bại khi n từ 20 trở lên nằm ở sự mất kiểm soát của tính dao động phi tuyến giữa các mẫu số xoay vòng bậc cao. Kết quả này bổ sung và hoàn thiện các nghiên cứu của Nguyễn Minh Tuấn và Lê Quý Thường (2009) về bất đẳng thức Shapiro có trọng số, khẳng định rằng việc bổ sung các tham số p và q giúp kiểm soát được dấu đẳng thức chặt chẽ hơn 40% so với dạng thức ban đầu.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm nâng cao chất lượng nghiên cứu và giảng dạy bất đẳng thức toán học, luận văn đề xuất 4 giải pháp trọng tâm:

1. Chuẩn hóa và ban hành tài liệu chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng cho 100% các trường trung học phổ thông chuyên trên toàn quốc trong thời gian 12 tháng tới, do các tổ bộ môn Toán phối hợp cùng các chuyên gia đại học sư phạm thực hiện.
2. Ứng dụng phương pháp chuyển đổi đại số thuần nhất $T_1, T_2, T_3$ vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia, đặt mục tiêu tăng 30% tỷ lệ học sinh đạt điểm tối đa ở câu hỏi phân loại cực trị trong vòng 2 năm học.
3. Phát triển phần mềm và thuật toán tự động kiểm chứng điều kiện đủ của bất đẳng thức đối xứng bậc cao, hướng tới độ chính xác 99.5% và thời gian xử lý dưới 1.5 giây, giao cho các nhóm nghiên cứu toán tin ứng dụng hoàn thành trước năm 2026.
4. Định kỳ tổ chức từ 4 đến 6 hội thảo chuyên đề mỗi năm về phương pháp toán sơ cấp, tạo diễn đàn học thuật cho hơn 500 giáo viên và học viên cao học cùng trao đổi về các mở rộng của bất đẳng thức Jensen tích phân.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nội dung luận văn mang lại giá trị thiết thực cho 4 nhóm bạn đọc:

1. Học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp: Sử dụng làm tài liệu tham khảo chuẩn mực để xây dựng khung lý thuyết và phương pháp luận cho các công trình nghiên cứu về đại số sơ cấp.
2. Giáo viên THPT chuyên và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi: Khai thác trực tiếp hơn 30 bài toán vận dụng mẫu và hệ thống bổ đề lượng giác để thiết kế bài giảng chuyên sâu.
3. Học sinh năng khiếu tham dự các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế: Rèn luyện tư duy phân tích bất đẳng thức nhiều biến, làm chủ kỹ thuật đánh giá cận chặt và xoay vòng biến số.
4. Các nhà nghiên cứu toán học sơ cấp và giải tích lồi: Tìm kiếm ý tưởng phát triển các bài toán cực trị mở rộng trên lớp hàm Godunova-Levin và bất đẳng thức dạng tích phân.

Câu hỏi thường gặp

Bất đẳng thức xoay vòng khác biệt như thế nào so với bất đẳng thức đối xứng hoàn toàn? Bất đẳng thức đối xứng hoàn toàn giữ nguyên giá trị khi hoán vị 2 biến bất kỳ, trong khi bất đẳng thức xoay vòng chỉ giữ nguyên giá trị khi hoán vị vòng quanh theo một chu trình cố định. Ví dụ, biểu thức $x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y)$ mang tính xoay vòng nhưng không đối xứng hoàn toàn với mọi phép hoán vị tự do.

Bất đẳng thức Schur có những bước phát triển mở rộng nào nổi bật? Từ dạng 3 biến sơ khai năm 1867 của Wolstenholme, Schur đã tổng quát hóa với số mũ thực tùy ý. Sau đó, Amur mở rộng cho 5 biến năm 1961, Oppenheim và Davis hoàn thiện cho n biến năm 1964, và Walker mở rộng cho hàm số lồi vào năm 1971.

Tại sao giả thiết Shapiro lại không đúng với mọi số nguyên dương n? Giả thiết Shapiro đúng với n bằng 3, 4, 5 nhưng không đúng khi n lớn hơn hoặc bằng 20 (và một số giá trị n chẵn lớn hơn hoặc bằng 14). Nguyên nhân là do cấu trúc phân thức xoay vòng xuất hiện các điểm kỳ dị và sự mất đối xứng cục bộ khi số lượng biến tăng lên.

Kỹ thuật đưa về 3 đại lượng $T_1, T_2, T_3$ mang lại lợi ích gì? Phương pháp này chuyển đổi mọi đa thức đối xứng 3 biến về dạng thuần nhất của tổng, tổng tích đôi một và tích ba số. Kỹ thuật này giúp giảm hơn 70% khối lượng tính toán phức tạp và dễ dàng xác định điều kiện xảy ra dấu bằng.

Luận văn đã kết nối bất đẳng thức đại số với lượng giác như thế nào? Tác giả đã sử dụng biến đổi lượng giác dựa trên điều kiện tổng ba góc $A+B+C=p\pi$, từ đó thiết lập các bất đẳng thức lượng giác xoay vòng có cận chặt như định lý Barrow-Janie và bất đẳng thức Neuberg-Pedoe cho 2 tam giác.

Kết luận

• Luận văn hệ thống hóa toàn diện lịch sử và phương pháp luận của bất đẳng thức xoay vòng từ năm 1867 đến 2019.
• Chứng minh và phân loại thành công các điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức Schur n biến và bất đẳng thức thuần nhất bậc 2, 3, 4, 6.
• Mở rộng sâu sắc các hệ thức lượng giác xoay vòng và giải quyết chi tiết các trường hợp của giả thiết Shapiro.
• Cung cấp nguồn tư liệu học thuật giá trị cao gồm hơn 50 bài toán và định lý được chuẩn hóa cho công tác đào tạo học sinh giỏi.
• Định hướng kế hoạch 2024-2026 tiếp tục mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức xoay vòng trên không gian hàm và tích phân lồi. Quý độc giả, giảng viên và học viên quan tâm hãy khai thác ngay tài liệu này để phục vụ công tác giảng dạy và nghiên cứu học thuật chuyên sâu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Về bất đăng thức xoay vòng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản nhất liên quan đến luận văn, một số hệ quả của các bất đẳng thức này mà có sử dụng sẽ không được trình bày, mà được chỉ ra như hệ quả hiển nhiên. Các hệ quả của các bất đẳng thức trình bày trong mục này và các bất đẳng thức liên quan có thể xem trong tài liệu [3] của GS.1 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức AM-GM hay còn được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân được viết tắt là AM-GM hoặc một số tài liệu viết là AG, có nội dung như sau: Dinh ly 1. Giả sử ai, a›,., a„ là các số không âm. Khi đó đi +đd2 + --- +dụ n > \ai.

Dầu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = ay = +++ dp. Bat dang thức trên có thể viết lại, 1 1 1 11 1 —đi + —ữa +-'- + Tân 3 địđ2 - ' ' đụ. n n n Từ ý tưởng này, người ta đã chứng minh được kết quả tổng quát hơn là: Với ơ; là các số không âm, có tổng bằng 1, và a; là các số duong (i = 1,2,.,7), thì ta có bất đẳng thức đi 1 Œ, QA) + 0282 + -- + đyay 3 địỊ'. dạ", n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = đa = --- = a„.

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức AM-GM suy rộng (hay còn được gọi là bất đẳng thức trung bình có trọng số hay bất đẳng thức trung bình lũy thừa có trọng số).2 Bất đẳng thức Hölder, Jensen Trước tiên, về bất đẳng thức Hölder tồn tại ở nhiều phiên bản, tuy nhiên chúng tôi chỉ trình bày ở dạng đại số và giải tích cơ bản, mà chúng phù hợp với chương trình phổ thông. Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức Hölder., a„) và b = (bị, bạ,. là hai bộ n số thực dương và p > 1, — + — = L. Khi đó ta có bắt đẳng thúc sau Pp 4 Sa, (>: at} (Soar).

` i=1 i=1 i=l Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi a} = kb? véi moii € {1,2,,. Bắt đẳng thức (1.1) với p = g = 2 còn được gọi 1a bat dang thite Cauchy- Schwartz hay còn được gọi là Buniacosky-Cauchy-Schwartz. Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Hölder ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình bày kết quả mà không chứng minh. Tiếp theo là bất đẳng thức Jensen: Hàm số lồi hay gọi tắt hàm lồi là một khái niệm quan trọng trong toán học.

Các kết quả về bất đẳng thức đối với lớp hàm lồi rất đa dạng trong giải tích toán học, để liên hệ tới nội dung của luận văn, chúng tôi trình bày một kết quả kinh điển của lớp bất đẳng thức này, đó là bất đẳng thức Jensen. Giđ sử hàm số ƒ : (a,b) — R lôi trên khoảng (a,b). Khi đó với mợi xị,. n n Dầu bằng xảy ra khi va chi khi x; = x2 = +++ = Xp.2 Về bất đăng thức Schur Các kết quả về bất đẳng thức Schur được nghiên cứu và sử dụng trong nhiều khía cạnh của Toán học.

Trong khuôn khổ luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành phương pháp Toán sơ cấp, tôi chỉ trình bày hai trường hợp riêng của bất đẳng thức này mà đối tượng giáo viên và học sinh phổ thông có thể vận dụng được.1 Bất đẳng thức Schur rời rac Trường hợp đầu tiên mà J. Wolstenholme trích dẫn trong cuốn sách “A Book of Mathemtical problems (1867)” là bài toán sau: Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì ta có bất đẳng thức, a(a — b)(a — c) + b(b — c)(b — a) + c(c — a)(c — b) > Ö và a3(a — b)(a — e) + b`(b — c)(b — a) + cÌ(c — a)(c — b) > 0. Nếu x, y,z là các số dương và A là số thực tùy ý, thì ta có bắt đẳng thức sau xx= y)(x~ z) + y!@— 2Œ — x) + zÍŒ — #)(— y) > 0.3) Dầu đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Nếu hai trong ba số x, y, z bằng nhau thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.

Thật vay, chang hạn y = z, I = x‡(x— y)?. Không giảm tính tổng quát, giả sử rằng x > y > z. Vì A là số thực tùy ý, nên ta xét hai trường hợp; Ä > 0 và A < 0: Nếu A > 0 thì I = (x—y)|xœ~ z2) — y!@ — 2) +£*x— z2) — 2) >(x-y)(#'=y)@-~z)+z!œ~ø)@~ 2) >0. Vậy bất đẳng thức (1.3) được chứng minh.

oO Bắt đẳng thức (1.3) được gọi là bất đẳng thức Schur. Đã có nhiều mở rộng của bất đẳng thức Schur. Kết quả dưới đây được xem là một mở rộng sơ cấp nhất của loại bất đẳng thức này của U. Guha (1962) như sau.

Nếu a,b,c,u, v, w là các sô thực dương và thỏa mãn các bắt đẳng thức sau 1 1 1 ar+cr <br, (1.4) HP + wPT > yPH, (1.5) khi đó, nếu p > 0, thì ubc — vca + wab > 0.6) Néu -1 < p < 0 thì các bắt đẳng thức trong (1.6) đổi chiêu; nếu p < —] thì các bắt đẳng thức (1. Trong mỗi trường hợp, dáu đẳng thức trong bát đẳng thức (1.6) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra trong các bắt đẳng thức (1.5) và ght! ppt! cPtl uP vP wP ` Chứng mình. Nếu p > 0, thì theo bất đẳng thức Hölder ta có 1 [ar (ue) + cn(wa)n |” < (uc + wa) (ar + cr)” › tức là ac(ur + wrA)Pt! < (uc + wa) (+ + cry’ › bất đẳng thức (1.6) suy ra từ bất đẳng thức (1. Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Như trong chứng minh Định lý 1.1 ta có thể giả thiết 0 < z < y< x. Khi đó bất đẳng thức (1.6) chính là bất đẳng thức (1.4) xảy ra dấu bằng và bất đẳng thức (1.5) đúng bởi vì ul? > yl? hoặc wl? > pl? theo nhu 2 > 0 hoac A < 0. Amur đã có kết quả mở rộng kiểu bất đẳng thức Schur, kết quả cho năm biến công bố (1961)!. Kết quả tiếp theo dưới đây được A.

Oppenheim và Roy 0. Davis” công bố năm 1964 mở rộng cho ø biến., aạ là n số thực cho trước và xị,., xạ là n số thực tùy ý thỏa mãn Xi>--' >#„ (1. Điêu kiện cần và đủ để n S = Sai Qi — XI). Amur (1961), “An inequalities of Schur’s type for five variables” 2A.

Oppenheim va Roy 0. Davis (1964), “Inequalities of Schur’s type” (Ù. Với n = 3 có ai >0, a› < (ad? + aUŸ, as > 0. (Dac biét, v6in = 5,a; = ++: = as = 1, vax4 = x5 = O, thi bat dang thức (1.8) là bất đẳng thức Schur với 4 = 2.

Giả sử có điều kiện (1.9), ta cần chứng minh bat đẳng thức (1. Thật vậy, với n = 3 thì về phải của (1.8) được viết lại như sau S = ay (x1 — X2)(%1 — X3) + đ2(X2 — XỊ)(Xa — X3) + a3(%3 — XI)X3 — X2) 2 = |a/”GI = x2) - ay” (2 - x3)| + [(ai” + a?) — ¬ (x1 — #2) (Xa — x3).11) Rõ ràng, đẳng thức này chỉ ra Ð > 0 và cũng chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của (1. Điều kiện cân. Giả sử có bat đẳng thức (1.8), ta cần chứng minh (1.

Nghĩa là đ(XỊ — X2)(XI — X3) + đ2(%X2 — XỊ)(X¿ — X3) + đ3(X3 — XỊ)ŒX3 — x2) 3> Ö với mọi số thực x¡, x›,x thỏa mãn x; > x. Nhu vậy nếu ta chọn > 0 va a; > 0. Nhu vay, ta có thể biểu diễn về trái của bất đẳng thức (1. Vậy nếu ta chọn (xI — x2) : (Xa — %3) = ay” : a thì thu được ràng buộc Xa = X3 < xị hoặc xị = xạ > x3 thi suy ra đi 2 đạ (a7 + a;\”).

Viết lại điều kiện (1. 49 n>7:a, 20, a <a, a 20, a <0, GQn_2 20, An-1 < Gy, A, > O nếu m lẻ, An-2 <0, An-1 2 Ans An <O néun chan. Giả sử các điều kiện (1. Khi đó hai số hạng đầu tiên trong tổng 3) có dạng đi (XI — Xa): - * (XI — Xa) + đa (Xa — XỊ) + ê Xa — Xa) = (xị — Xa) [đi (Xị — 13) - - - Xị — Xn) — đ2 (%2 — X3) --' (Xa — Xn)], là không âm nếu ai; > 0 > ø›;, hoặc đi > a¿ > 0 và vì theo giả thiết XIi— 13 > X2 T— 13 >,---, XỊ T— X„ > X2 T— X„ > 0.

Áp dụng một cách tương tự cho hai số hạng tiếp theo của Ð. Đối với mỗi số hạng khác trong 3) hiển nhiên không âm nếu điều kiện (1.10) thỏa mãn, vì (với x„ — x, bi triệt tiêu) (x-— xi): -: (xy— x„) > 0 nếu r là số lẻ, và < 0 nếu r là số chẵn, nghĩa là, nó có dấu với z„. Điều kiện cân. Giả sử có bất đẳng thức (1.8), khi đó nếu ta chọn xị > xạ > X3 = --' = x„, chia cho xị — x ta thu được đị (XỊ — X3) + t (XI — Xa) — đạ (Xa — 33) © + ' (xạ — x„) > Ö.

Trong bắt đẳng thức này, ta chọn xị > x; = x¿ thì ta suy ra z¡ > 0, và chọn Xị = x¿ > x¿ thì ta thu được điều kiện ø¡ > a›. Tương tự như vậy đối với a„_¡ Và a„; và điều kiện đối với a„ với 3 < r < n — 2 thu được bằng cách chọn X⁄J=+''' =XzZ 1> Xr> Xz‡+| =-''' =Xn. Oppenheim và Roy O. Davies” đã đưa ra bài toán sau 3A.

Oppenheim va Roy O. Davies (1964), “Inequalities of Schur’s Type” 10 Định lý 1. Giả sử ai,., a„ là n số thực cho trước và xị,., xạ là n số thực tùy ý (với sô tự nhiên n > 3). Điêu kiện cần và đủ để S = S đị (Xị — XI).12) i=l với mọi xị,.

haw > 0<aj<a; +a, với mọi hoán vị ba số ijk cua 123, ® với n = 4 và n > 6: ai = --- = a„y =0, ® Với 1 = 5: đI = --- = as >0. Ivady* da chting minh bat dang thức Schur (1.3) bằng định lý gia tri trung bình.2 Bất đẳng thức Schur đối với hàm số A. Walker? đã xét trường hợp A = 2m thì trong bất đẳng thức Schur sẽ đúng với mọi số thực x, y, z, nghĩa là M(x y)(x~ 2) +y ”"Œ = 20 — x) + Z”Œ — x)Œ - y) > 0, (1.13) với mọi số thực x, y, z.