Luận Văn Thạc Sĩ: Khám Phá Bất Đẳng Thức Erdos Mordell Và Các Ứng Dụng Thực Tiễn

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu bất đẳng thức erdos mordell một số mở rộng và ứng dụng, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực .

• Tác giả: Trần Bá Cầu
• Người hướng dẫn: TS. Lê Thanh Bính
• Trường học: Đại học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Bất đẳng thức Erdos - Mordell: Một số mở rộng và ứng dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Bình Định

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS-MORDELL VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ
• 1.1. Bất đẳng thức Erdos - Mordell
• 1.2. Một số bài toán áp dụng
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL
• 2.1. Một số mở rộng của bất đẳng thức Erdos - Mordell trong tam giác
• 2.2. Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho đa giác
• 2.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho tứ diện
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS MORDELL VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ

Chương này trình bày và chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell. Định lý này khẳng định rằng trong một tam giác ABC với điểm P nằm trong tam giác, tổng khoảng cách từ P đến các đỉnh lớn hơn tổng khoảng cách từ P đến các cạnh. Cụ thể, bất đẳng thức được phát biểu như sau: R1 + R2 + R3 > 2(r1 + r2 + r3). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm của tam giác. Nhiều phương pháp chứng minh đã được đưa ra, trong đó có ba cách chứng minh chính. Cách đầu tiên sử dụng tính chất hình học của tam giác để chứng minh rằng R1 > r2 + r3, R2 > r3 + r1, và R3 > r1 + r2. Cách thứ hai áp dụng định lý hàm số sin để chứng minh các bất đẳng thức tương tự. Cuối cùng, cách thứ ba sử dụng bổ đề về khoảng cách từ điểm P đến các cạnh và đỉnh của tam giác. Những chứng minh này không chỉ khẳng định tính đúng đắn của bất đẳng thức Erdos - Mordell mà còn mở ra nhiều ứng dụng trong nghiên cứu toán học.

1.1. Bất đẳng thức Erdos Mordell

Bất đẳng thức Erdos - Mordell là một trong những bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học. Định lý này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong nghiên cứu toán học. Bằng cách phân tích các khoảng cách từ một điểm trong tam giác đến các đỉnh và cạnh, bất đẳng thức này cho thấy mối quan hệ sâu sắc giữa các yếu tố hình học. Đặc biệt, nó nhấn mạnh rằng tổng khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh luôn lớn hơn tổng khoảng cách đến các cạnh, điều này có thể được chứng minh qua nhiều phương pháp khác nhau. Việc chứng minh này không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực hình học.

II. MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS MORDELL

Chương này tập trung vào việc mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho các hình dạng khác nhau như tam giác, đa giác và tứ diện. Các mở rộng này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết mà còn cung cấp nhiều ứng dụng thực tiễn trong nghiên cứu toán học. Một trong những mở rộng quan trọng là áp dụng bất đẳng thức cho đa giác, cho thấy rằng mối quan hệ giữa tổng khoảng cách từ một điểm trong đa giác đến các đỉnh và cạnh vẫn giữ nguyên tính chất. Điều này mở ra nhiều khả năng nghiên cứu mới trong toán học. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho các mở rộng này, từ đó khẳng định tính đúng đắn và giá trị của bất đẳng thức Erdos - Mordell trong các trường hợp phức tạp hơn.

2.1. Một số mở rộng của bất đẳng thức Erdos Mordell trong tam giác

Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho tam giác cho thấy rằng các tính chất hình học vẫn được duy trì. Cụ thể, khi áp dụng cho tam giác, bất đẳng thức này khẳng định rằng tổng khoảng cách từ một điểm trong tam giác đến các đỉnh vẫn lớn hơn tổng khoảng cách đến các cạnh. Điều này có thể được chứng minh thông qua các phương pháp hình học và đại số. Các ví dụ minh họa cho thấy rằng bất đẳng thức này không chỉ đúng cho tam giác đều mà còn cho các loại tam giác khác. Việc mở rộng này không chỉ củng cố lý thuyết mà còn mở ra nhiều ứng dụng trong nghiên cứu toán học và hình học.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Bất đẳng thức Erdos - Mordell là một trong những bất đẳng thức hình học quan trọng liên quan đến tam giác, được phát biểu lần đầu bởi nhà toán học L. Mordell vào năm 1935. Theo ước tính, bất đẳng thức này có ứng dụng rộng rãi trong toán học sơ cấp và nâng cao, đặc biệt trong các bài toán hình học và cực trị. Nghiên cứu tập trung vào mối quan hệ giữa tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tam giác đến các đỉnh và tổng khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của tam giác. Cụ thể, với tam giác ABC và điểm P nằm trong tam giác, bất đẳng thức được phát biểu như sau: tổng các khoảng cách từ P đến các đỉnh lớn hơn hai lần tổng các khoảng cách từ P đến các cạnh.

Mục tiêu của luận văn là chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell bằng nhiều phương pháp khác nhau, đồng thời mở rộng bất đẳng thức này sang các trường hợp đa giác, tứ diện và ứng dụng trong các bài toán hình học thực tế. Nghiên cứu được thực hiện trong phạm vi toán học sơ cấp, tập trung vào tam giác và các hình đa diện đơn giản, với dữ liệu và ví dụ minh họa từ các tam giác đều, tam giác nhọn và các điểm đặc biệt như tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm.

Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc cung cấp các công cụ toán học để giải quyết các bài toán hình học phức tạp, đồng thời mở rộng phạm vi ứng dụng của bất đẳng thức Erdos - Mordell trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Các chỉ số như tỷ lệ khoảng cách, các hệ quả từ bất đẳng thức và các điều kiện xảy ra dấu đẳng thức được phân tích chi tiết, góp phần nâng cao hiểu biết về cấu trúc hình học của tam giác và đa giác.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình toán học sau:

• Bất đẳng thức Erdos - Mordell: Phát biểu chính là với tam giác ABC và điểm P nằm trong tam giác, tổng khoảng cách từ P đến các đỉnh lớn hơn hai lần tổng khoảng cách từ P đến các cạnh, tức là [ R_1 + R_2 + R_3 > 2(r_1 + r_2 + r_3), ] trong đó (R_i) là khoảng cách từ P đến đỉnh (i), (r_i) là khoảng cách từ P đến cạnh đối diện.

• Bất đẳng thức Barrow: Một bất đẳng thức lượng giác mở rộng, liên quan đến các đường phân giác trong của tam giác, được sử dụng để chứng minh các mở rộng của bất đẳng thức Erdos - Mordell.

• Các khái niệm chính:

  • Khoảng cách từ điểm đến đỉnh và cạnh tam giác.
  • Đường phân giác trong, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
  • Các phép biến hình như phép nghịch đảo qua đường tròn.
  • Các bất đẳng thức lượng giác và đại số như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Kooi.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp toán học lý thuyết kết hợp với chứng minh hình học và đại số:

• Nguồn dữ liệu: Các định nghĩa, định lý, bổ đề và bất đẳng thức được trích xuất từ các tài liệu toán học chuyên ngành và các công trình nghiên cứu trước đây.

• Phương pháp phân tích:

  • Chứng minh bất đẳng thức bằng ba cách khác nhau, bao gồm sử dụng hình học phẳng, lượng giác và đại số.
  • Áp dụng các bất đẳng thức cổ điển như Cauchy, Kooi để mở rộng và phát triển các hệ quả.
  • Sử dụng phép nghịch đảo và các phép biến hình để chứng minh các bất đẳng thức mở rộng.
  • Phân tích các điều kiện xảy ra dấu đẳng thức để xác định các trường hợp đặc biệt như tam giác đều và điểm tâm.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong năm 2020, với quá trình thu thập tài liệu, chứng minh lý thuyết và tổng hợp kết quả trong vòng 6 tháng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell:

   • Ba phương pháp chứng minh được trình bày, trong đó phương pháp đầu tiên dựa trên hình học phẳng, phương pháp thứ hai sử dụng lượng giác, và phương pháp thứ ba kết hợp đại số với bổ đề liên quan đến khoảng cách và diện tích tam giác.
   • Kết quả cho thấy bất đẳng thức luôn đúng với mọi điểm P nằm trong tam giác ABC, với dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm của tam giác.

2. Mở rộng bất đẳng thức sang đa giác và tứ diện:

   • Nghiên cứu mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho các đa giác và tứ diện, với các bất đẳng thức tương tự được phát biểu và chứng minh.
   • Ví dụ, với đa giác lồi, tổng khoảng cách từ điểm trong đa giác đến các đỉnh lớn hơn một hằng số nhân với tổng khoảng cách đến các cạnh.

3. Hệ quả và ứng dụng trong các bài toán hình học:

   • Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi tổng khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến các đỉnh bằng 6 lần bán kính đường tròn nội tiếp.
   • Chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến cosin các góc tam giác, ví dụ: [ \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}, ] với dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác đều.
   • Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh các mối quan hệ giữa trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và các khoảng cách đặc biệt trong tam giác.

4. Phát triển các bất đẳng thức lượng giác và đại số liên quan:

   • Sử dụng bất đẳng thức Barrow và các bổ đề lượng giác để phát triển các bất đẳng thức mới, mở rộng phạm vi ứng dụng của bất đẳng thức Erdos - Mordell.
   • Chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến các đường phân giác trong và các khoảng cách từ điểm đến các cạnh và đỉnh.

Thảo luận kết quả

Các kết quả chứng minh được sự vững chắc và tính tổng quát của bất đẳng thức Erdos - Mordell trong hình học tam giác. Việc sử dụng nhiều phương pháp chứng minh khác nhau không chỉ làm rõ bản chất của bất đẳng thức mà còn giúp mở rộng sang các trường hợp phức tạp hơn như đa giác và tứ diện. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã bổ sung các mở rộng mới và các ứng dụng thực tế trong toán học sơ cấp.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ minh họa mối quan hệ giữa các khoảng cách (R_i) và (r_i), cũng như bảng so sánh các điều kiện xảy ra dấu đẳng thức trong các trường hợp tam giác đều, tam giác nhọn và tam giác tù. Các ví dụ minh họa cụ thể giúp người đọc dễ dàng hình dung và áp dụng các bất đẳng thức vào bài toán thực tế.

Ý nghĩa của nghiên cứu không chỉ nằm ở việc củng cố kiến thức về bất đẳng thức hình học mà còn mở ra hướng phát triển các bất đẳng thức mới trong hình học đa diện và các lĩnh vực liên quan như hình học giải tích và hình học phức tạp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các bất đẳng thức mở rộng cho đa giác lồi và đa diện cao chiều: Nghiên cứu nên tiếp tục mở rộng các bất đẳng thức tương tự cho các đa giác có số cạnh lớn hơn và các đa diện trong không gian ba chiều, nhằm tăng tính ứng dụng trong hình học không gian.

2. Ứng dụng trong giải toán hình học nâng cao và thi học sinh giỏi: Đề xuất xây dựng bộ tài liệu bài tập và hướng dẫn áp dụng bất đẳng thức Erdos - Mordell và các mở rộng vào các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia và quốc tế, giúp nâng cao kỹ năng giải toán hình học.

3. Phát triển phần mềm hỗ trợ chứng minh và minh họa hình học: Khuyến nghị phát triển các công cụ phần mềm giúp minh họa trực quan các bất đẳng thức, hỗ trợ việc giảng dạy và nghiên cứu, đặc biệt là các phép biến hình như phép nghịch đảo qua đường tròn.

4. Tăng cường hợp tác nghiên cứu liên ngành: Khuyến khích hợp tác giữa các nhà toán học và các chuyên gia trong lĩnh vực khoa học máy tính, vật lý để ứng dụng các bất đẳng thức hình học vào các bài toán thực tế như mô phỏng hình học, thiết kế cấu trúc và phân tích dữ liệu không gian.

Các giải pháp trên cần được thực hiện trong vòng 2-3 năm tới, với sự phối hợp của các trường đại học, viện nghiên cứu và các tổ chức giáo dục chuyên sâu về toán học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Luận văn cung cấp kiến thức sâu rộng về bất đẳng thức hình học, phù hợp cho việc học tập và nghiên cứu chuyên sâu trong lĩnh vực toán học sơ cấp và đại số hình học.

2. Giáo viên và giảng viên Toán học: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá để giảng dạy các chủ đề về bất đẳng thức hình học, giúp xây dựng bài giảng sinh động và có hệ thống chứng minh đa dạng.

3. Học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi Toán: Các bài toán ứng dụng bất đẳng thức Erdos - Mordell và các hệ quả là tài liệu luyện tập hiệu quả, giúp nâng cao kỹ năng giải toán hình học phức tạp.

4. Nhà nghiên cứu và chuyên gia trong lĩnh vực hình học và toán ứng dụng: Luận văn mở rộng các bất đẳng thức cổ điển, cung cấp cơ sở lý thuyết để phát triển các nghiên cứu mới trong hình học đa diện, hình học giải tích và các ứng dụng liên quan.

Câu hỏi thường gặp

1. Bất đẳng thức Erdos - Mordell là gì?
   Bất đẳng thức Erdos - Mordell phát biểu rằng với tam giác ABC và điểm P nằm trong tam giác, tổng khoảng cách từ P đến các đỉnh lớn hơn hai lần tổng khoảng cách từ P đến các cạnh, tức là
   [ R_1 + R_2 + R_3 > 2(r_1 + r_2 + r_3). ]
   Đây là một bất đẳng thức hình học cơ bản với nhiều ứng dụng.

2. Khi nào dấu đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức Erdos - Mordell?
   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều và điểm P là tâm của tam giác đó. Điều này thể hiện tính chất đối xứng và cân bằng trong tam giác đều.

3. Có những phương pháp nào để chứng minh bất đẳng thức này?
   Luận văn trình bày ba phương pháp chính: chứng minh hình học phẳng, chứng minh dựa trên lượng giác và chứng minh sử dụng đại số kết hợp bổ đề về diện tích và khoảng cách. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm riêng và giúp hiểu sâu hơn về bản chất bất đẳng thức.

4. Bất đẳng thức này có thể mở rộng cho các hình khác không?
   Có, nghiên cứu đã mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho đa giác lồi và tứ diện, với các bất đẳng thức tương tự được phát biểu và chứng minh, mở rộng phạm vi ứng dụng trong hình học không gian.

5. Ứng dụng thực tế của bất đẳng thức Erdos - Mordell là gì?
   Bất đẳng thức được sử dụng trong giải các bài toán hình học phức tạp, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi, cũng như trong nghiên cứu hình học đa diện, thiết kế cấu trúc và mô phỏng hình học trong khoa học máy tính và vật lý.

Kết luận

• Bất đẳng thức Erdos - Mordell được chứng minh bằng ba phương pháp khác nhau, khẳng định tính đúng đắn và tổng quát của nó trong tam giác.
• Nghiên cứu mở rộng bất đẳng thức sang đa giác và tứ diện, đồng thời phát triển các bất đẳng thức lượng giác liên quan như bất đẳng thức Barrow.
• Các hệ quả và ứng dụng của bất đẳng thức được minh họa qua nhiều bài toán hình học thực tế, giúp nâng cao hiểu biết và kỹ năng giải toán.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm mở rộng sang đa diện cao chiều, phát triển tài liệu giảng dạy và phần mềm hỗ trợ minh họa.
• Khuyến khích các nhà nghiên cứu, giảng viên, sinh viên và học sinh sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo để phát triển kiến thức và ứng dụng trong toán học hình học.

Next steps: Tiếp tục nghiên cứu mở rộng bất đẳng thức cho các hình đa diện phức tạp hơn và phát triển công cụ hỗ trợ giảng dạy. Độc giả và nhà nghiên cứu được mời đóng góp ý kiến để hoàn thiện và phát triển thêm các ứng dụng mới.

Call-to-action: Hãy áp dụng các bất đẳng thức và phương pháp chứng minh trong luận văn để giải quyết các bài toán hình học nâng cao và tham gia vào các nghiên cứu mở rộng trong lĩnh vực toán học hình học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 BAT DANG THUC ERDOS-MORDELL VA MOT SO HE QUA Trong chương này, chúng tôi phát biểu và trình bày các cách chứng minh của bất đẳng thức Erdos - Mordell, các hệ quả và một số bài toán ap dung. Cho tam gidc ABC va P la diém nim trong tam gidc ABC. Ky hiéu a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BŒ, ƠA, AB và hạ, hụ, h„ là các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C cua tam giác ABŒ, SAaøc là diện tích của tam giác ABỚ. Ký hiệu ị, R¿, l¿ lần lượt là khoảng cách từ điểm P tới cdc dinh A, B, C cia tam giác A BƠ và rị, ra, rs lần lượt là khoảng cách từ điểm P tới các cạnh ĐŒ, CA, AB của tam giác ABC.1 Bất đẳng thức Erdos - Mordell.

Bất đẳng thức Erdos - Mordell được phát biểu như định lý sau: Định lý 1. Cho tam giác ABC va điểm P nằm trong tam giác. Khi đó, ta có bất đẳng thức lTị + Rs+ R¿ 5 2(m +72 +ra).1) Đẳng thức xẩu ra khi uà chỉ khi tam giác ABC đều 0à P là tâm của tam giác ABC. 4 Bất đẳng thức có nhiều cách chứng minh khác nhau.

Người chứng minh đầu tiên là Nhà toán học L.Mordell vào năm 1935, sau đó nhiều tác giả đưa ra các cách chứng minh khác nhau. Sau đây, chúng tôi xin đưa ra ba cách chứng minh cho bất đẳng thức Erdos - Mordell. Trong cách tiếp cận đầu tiên, chúng tôi sẽ chứng minh rằng Cc b Ti 3> ra— +†Ta—, a a a c Tà > rp TÚ b a lạ Đ rị—- +ra—. Cc Cc Ẩ\ T1 Lo ‹ Hình 1.1 e Cách 1 Chitng minh.

Giả sử đường thẳng 4X đối xứng với đường thẳng 4P qua đường phan giác trong của góc 4 của tam giác ABŒ. Ký hiệu B’, C’ lan luot 1A hinh chiếu vuông góc của điểm B, C lén AX. Khi đó suy ra PAC = BAB’, PAB - CAC on Ta có a> BH +CŒ — AB sin BAB’ + AC sin CAC! = csin PAC + bsin PAB T2 T3 hay Ry > roe Tran.2) a a Tương tự, ta có Ry > ro tng, (1.4) e Cc Cộng về theo về của các bất đẳng thức (1.4) ta được b b Bit + fax (TtcÌn+(S+)m+( ty} (1.5) be a c b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho về phải của bất đẳng thức L5}, ta có lị + Rạ + Rạ 3 2(mi + rv + 1). Rõ ràng, dấu đẳng thức của bất đẳng thức xay ra khi và chỉ khi a =b= c hay tam giác ABC déu va a = BB'+C'C suy ra B’ trùng với Œ và Œ” thuộc ÖŒ.

Từ đó suy ra AC” vuông góc với BŒ. Vì tam giác ABC đều nên đường phân giác trong góc 4 chính là 4Œ” Do đó, AZ trùng với ÁP trùng với AC, suy ra ÁP vuông góc với ĐŒ. Tương tự, ta có ÁP vuông góc với 4B, ÁP vuông góc với AŒ hay P là trực tâm của tam giác 1BŒ. Vậy dấu đẳng thức trong xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm ctia tam gidc ABC.

Oo Cách chứng minh tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh sinC sin B sin A + "Sin A’ e Cách 2 Chitng minh. ta 6 sin A Tủ Ð rã sin C TTB’ sin A ra : sin C D Hinh 1.2 Giả sử E” F” lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E, F lén DP. Áp dụng định lý hàm số sin, ta có TsinA = F3» EE' + FF' = rssin B +r› sin Œ, suy ra Tương tự, ta có Ra Ð ra— 2 Z 3in B +T1= sin A (1.8) ĩ Cộng về theo về các bất đẳng thức (1.8) ta dude sinB sin œ + sinA sin? snA sinB Ri + Fa + Rs P(E sin B sin C + sin A) Nà + Sin A” + r( (1.9) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho về phải của bất đẳng thức (1.9), ta được Ry + Ry + Rg > Ar, +72 +73). Rõ ràng, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin A = sin 8 = sinC suy ra A= B=C hay tam giác ABC đều và F' = E' + FF' suy ra Eˆ trùng với ” hay ' vuông góc với DP tại E Do đó # song song với BC.

Tuong tu, ta c6 ED song song véi AB, DF song song với AC. Vì E song song với ĐỂ nên ~ = a suy ra AF = AF, ta cũng suy ra PF = PE do tam giác AFP bằng tam giác AEP(canh huyền và cạnh góc vuông). Do đó 4P là đường phân giác của góc A. Tương tự BP là đường phân giác của góc B.

Vay P là trực tâm của tam giác ABC. Vậy đẳng thức trong xảy ra khi và chỉ khi tam giác 4BŒ đều và P là tâm của tam giác ABC. L] e Cách 3 Để trình bày cách chứng minh tiếp theo, chúng tôi cần sử dụng bổ đề sau đây. Với điểm P bắt kỳ nằm trong tam giác ABC, ta có ›.

b [a2 + ar? > os j2 Tớ, (1.10) Cc Dấu đẳng thức xảu ra khi uà chỉ khi PO sơng song cạnh BC, véi O la tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC. Ấp dụng công thức thức Heron, ta có SAaAnc = Vp(p~ a)(p — b)Úp — ©), (1.11) œ+b+ec trong dé p= 5 , ta suy ra 16S, apo = 20°? + 2a? + 2a7b? — at — b* — c'.12) Sử dụng đẳng thức (1.12) ta chứng minh được 9 1627S spc AS, apc ce taz ay+br\’ q“ + — + (ax + by+cz)? (az + bụ + c2)? b c [(2b2c? + a2b? + ac? — bt — c†)+ — a(b2 + c2 — a2)(ub + ze)|? Ab?c? (ax + by + cz) ) (1.13) trong đó x, y, z là các số thực va ax + by + cz # 0. Béi vay 3 16275 ape 4S% apc cx +az ay+ba\? a+ — + >0. Thé vao bat dang thtte (1.14) va sit dung đẳng thức đơn giản ar, + bra + ra = 2SAAbpC, (1.15) ta được b Cc hay bất đẳng thức (1.

Rõ ràng, dấu đẳng thức của bất đẳng thức (1.10) xảy ra khi và chỉ khi (202c? + q20? + q2c2 _ pt _ đồn _ a(b? + eC _ a’)(br2 + crs) — 0.16) Xét các tam giác BPŒ, ŒPA, APB. Ta có 1 SABPC = 2411, 1 SAOPA = gore 1 SAAPB = 2Œ: Áp dụng (1.12), ta suy ra (1.16) tương đương với Qe tab +e? —b' — c?)Jrị — a(bỀ + c° — a”)(bra + era) = 0 1 1 1 & (P+ 0P +a? — bt c)sam -07(P +e — a’) (Sbra + 503) =0 -© SAppo(2°c7 + a°Ù + a c? — b?— c') = a (0? +0 — a’)(Sacpa + SAAPB) = Sappc|l6Sa anc — a (0° + c — a’)| = a° (0? + c — a’)(Sacpa + SAAPB)- (1.17) Ta xét các trường hợp của góc A. - Nếu A= § và r¡ =0 thì P là điểm nằm trên BƠ và tâm Ó của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BƠ đồng thời là trung điểm của cạnh BC. Do đó PO nằm trên cạnh ÖC.

£ 7T 3 N - Nếu 1z 5 thì Sacpg # 0 tt (1.17), ta suy ra 165à apo @ “+ cˆ— 4) — SAcpA+ Sapa a2(2 + c2 — a3) s Sappc Ti (1.15) ta c6 Sappc + Sacpat Saaps = Saapc, cho nén ta duge 1 1 1 SABPC = a (b) + cẰ — a”) = qe cota = si sin 2A, 16Sa4Bo 10 trong đó # là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABŒ. Mặt khác do SAopo = sử sin 2A, nên Sagpc = SAOBC: Vậy ta có PO song song với BƠ.2 được chứng minh. L] Trở lại với cách chứng minh thứ 3 của bất đẳng thức Erdos - Mordell. Ap dụng Bồ đề 1.2, ta có các bất đẳng thức + b b - + [eae apg > Wet bea bra bere (1.

[ayaa > Mates, eit ars (1.4 Từ 25AAnc = ahg va theo cong thtic (1.11), ta dude he = 5 VIOF Ae 0 < 5 VORP a. a Do đó b+c> Ja tan.20) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c. Áp dụng bất đẳng thức (1.20) déi với tam giác BPŒ, ta có Ra + Hà > \/42 + 4r‡.21) Áp dụng bất đẳng thức (1.20) đối với tam giác ŒPA, ta có Ry + Rs > \/b2 + 4r3.22) ul Áp dụng bất đẳng thức đối với tam giác APB, ta có Rị + Rp > (c2 + r3.23) Cộng về theo về các bất đẳng thức (1.21), và ta được 2(Ri + Ry + Rs) > ya? + Ar) + VÌD2 + Arệ + VÌ + đệ. (134) Mặt khác, cộng về theo về các bất đẳng thức (1.19) ta được ye +4r?+ ye +4r3 + ve + 4r3 > 2Œ + “yn + 3Ễ + “rs + 2° + nts.25) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho về phải của bất đẳng thức (1.25) ta thu được bất đẳng thức Erdos - Mordell.

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác 4Œ đều và P là tâm của tam giác ABC. L] Bất đẳng thức Erdos - Mordell nói lên mối quan hệ giữa tổng khoảng cách từ một điểm trong tam giác tới các đỉnh so với tổng khoảng cách từ điểm đó tới các cạnh của tam giác. Ngoài ra, còn có mối quan hệ giữa tích và tổng căn bậc hai các khoảng cách từ một điểm trong tam giác tới các đỉnh so với tích và tổng căn căn bậc hai các khoảng cách từ điểm đó tới các cạnh của tam giác. Điều này được thể hiện qua hai hệ quả sau.

Hệ quả đầu tiên nói lên mối liên hệ giữa tích khoảng cách từ một điểm nằm trong tam giác tới các đỉnh so với tích khoảng cách từ điểm đó tới các cạnh của tam giác. Cho tam giác ABC va P là điểm nằm trong tam giác. Khi đó, ta có bất đẳng thức Rị. Trước hết, ta nhắc lại các bất đẳng thức Í1.3) và (E1): C Ti 3> ra— +†Ta—, a a a Cc > 3+ 11 Tà rap Tp a b lạ Đ ra— +rị-.

Cc Cc Nhãn về theo vế các bất đẳng thức này, ta có Cc b a c a b Ry. tị Ro Rs (5; + nạ) Ge + ny) & + nz) q 27) Hình 1.5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho về phải của ất đẳng thức ([.27), ta co Ry. Từ Hệ quả 1.1, ta có các kết quả sau ¡ i, BB ror3, 37, M172 R R R: 1 4 2 + 3 Tạ T†Tạ Tạ TTỊ TỊ T2 > 12, 2. V†2T3 VWT3TI wWTU2 Chứng mình.

Ấp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 2 2 | 2 p2 p2 ; Ry + Ry + Tạ >gQể RR RS > 3ử8? > 12, T2T3 — T3T1 T172 T2T3T3T1T1T2 R R R: R R R: a 2 3 1 2 3 3.