Chương 1 Bai toan K-médmen Trong chương này chúng tôi giới thiệu bài toán #{-mômen trên một không gian tôpô compact địa phương Hausdorff và định lý về điều kiện cần và đủ để bài toán K-mômen có nghiệm. Kết quả chính của chương là Định lý Choquet và một hệ quả quan trọng của nó, Dịnh lý Haviland. Các kết quả của chương này được trình bày lại từ tài liệu [2].1 Bài toán K-mémen Cho X là một không gian tôpô compact địa phương Hausdorff. Ký hiệu bởi C(X,R) không gian các hàm thực liên tục trên X.
Xét E C C(X,R) la một không gian véctơ con của C(X,R) và C X là một tập con đóng của X. Ký hiệu %(X) là ø-đại số Borel sinh bởi các tập con mở của X. Mot dé do Radon trén X là một độ đo pu: B(X) > [0, +00) sao cho (4) < œ với mọi tập con compact Á của X ` và u(M) = sup{u(A): AC M, A compact} véi moi M € B(X). Theo định nghĩa này thì một độ đo Radon luôn không âm.
Với mỗi phiếm hàm tuyến tính L trên E, bài toán lÝ-mômen được phát 22 biều như sau: Khi nào tồn tại một độ do ladon H trên X có giá trong K. (L1) Phiém ham như vậy được gọi là một phiếm hàm K-mômen và Ji được gọi là một độ đo biểu diễn cho L. Trong trường hợp = X thì D được gọi là một phiếm hàm mmômen. Chú ý rằng khi ta viết các phương trình có dạng như (1.1) thì ta luôn giả thiết hàm ƒ là -khả tích trên X và tích phân của ƒ bằng Ƒ(ƒ).
Giả sử (e; : j € J) là một cơ sở của không gian vécbơ #. Khi đó với mỗi dãy số thực (s;);e„, tồn tại duy nhất một phiếm hàm tuyến tính L,: E > R xác định bởi L;(e;) = s; với j € J, gọi là phiếm hàm Riesz liên kết với s. Như vậy phương trình (1.1) đúng cho phiém hàm L = L, khi va chi khi 8; = fy ej(x)du(x) với mọi j € J.2 Không gian tương thích Cho # € C(X,R) là một không gian véctơ con của không gian vécto Œ(X,R). Cho Œ là một tập con của #7.
Phiếm hàm Ƒ trên # được gọi là đương trên Œ (hoặc Ở-dương) nếu L(ƒ) > 0 với mọi ƒ € Ở. tập các hàm trong # có giá trị không âm trên X, tức là E,={f ¢E: f(x) > 0 với mọi z€ X}. Một không gian con # của Œ(X,R) được gọi là tương thích nêu thỏa mãn các điều kiện sau: () Mỗi hàm trong # đều biểu diễn được dưới dạng hiệu của hai hàm không âm trên X, tức là B=E,-—E,. Ham g xác định như trong điều kiện (iii) gọi là hàm làm trội ƒ.
g lam trội ƒ nếu lim Vi dụ 1. (1) Cho X là một tập con đóng của R“. Thật vậy, với mỗi p € E ta pt+l\? /p-1Ÿ ".= Với mỗi phần tử a = (œ, dạ,., œa) € X, xét đa thức đều có thể viết fa(x) =ert+ (x1 — ay)” + (x2 — as)” tees + (Xa — aa)” € Fi, với e > 0 tùy ý. d Ta kiểm tra điều kiện thứ ba.
Với mỗi f € Rg[z], xét g = Sox} f. m khi đó a = —>0 khi Sa? —+ oo. @) She x Điều này chứng tỏ ø là hàm làm trội ƒ. Do đó # là một không gian con tương thích của C(X,R).
(2) E = Ralz|m = {p € Ralz] : deg(p) < m} không phải là một không gian con tuong thich cia R,[z] vi diéu kién (iii) khong théa man. ƒ(z) 1 : g Để chứng minh Định lý Choquet, chúng tôi cần một số bổ đề sau đây. Giả sử E là một không gian con tương thích của C(X,R). Khi đó, với mỗi phiếm hàm € Œ,(X,R);; tồn tại g € Ex, sao cho g(x) > f(x) vdi moixe X.(X,R) = {ƒ € C(X,R): {z€ X: ƒ(z) # 0} là một tập compaet} là tập con của Œ(X,R) gồm các hàm liên tục trên X có giá compact.
Từ tính xác định dương trong không gian tương thích, tồn tại hàm ø„ € FE, sao cho g,(x) > 0. Nhân gø„ với một hằng số dương ta được ø;() > ƒ(#). Bất đẳng thức này vẫn còn đúng trong một lân cận của zø. Vì ƒ có giá compaet nên tồn tại #,a,.,#„ € X sao cho 9() := Gry (©)+Goo(@) +++ -+Gx,(a) > f(x) voi a € supp(f) và g(x) > f(a) với mọi z € X.
Bổ đề được chứng minh. Cho E là một không gian con tuyến tính của khong gian vécto thuc F va C la mét nén loi trong F théa man F = E + Ơ. Khi đó mỗi phiếm hàm tuyến tính L trên F duong trên AE có thể mổ rộng được thành một phiếm hàm tuyến tính Ù trên F đương trên C. Với mỗi ƒ € F’, dinh nghĩa q(ƒ) := mf{L(g):g€ E,g— ƒ € Ch.2) Theo giả thiết F = E+ C, do đó tồn tại g € F sao cho —f +g € C.
Diéu nay chttng td tap hop {L(g) |g € E, g—f € C} #@. Kiém tra duce q là một phiếm hàm duéi tuyén tinh, httu han, théa man L(g) = q(g) véi g € E. Theo Định lý Hahn-Banach!, tồn tại một mở rộng L của L dén F sao cho L(f) < q(f) voi mọi ƒ € F. Với h € Œ, đặt g = 0 và f = —h ta cd g— f € C.
Tu cach dinh nghia ctia q ta suy ra q(—h) < L(0) = 0. Ta suy ra L(h) > 0. Vay L 1a phiém ham duong trén C. Oo Định lý sau của Choquet cho ta điều kiện cần và đủ để một phiếm ham tuyến tính Ƒ trên # là một phiếm hàm mômen.
1Định lý Hahn-Banch cho không gian véctơ: Giả sử X là một không gian véctơ và p là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính ƒ trên một không gian con Z của X thỏa mãn ƒ(z) < p(œ) với mọi ø € Z đều có thể mở rộng thành một phiếm hàm tuyến tính ƒ trên X théa man f(x) < p(œ) với mọi z € X. Giá sử E là một không gian tương thích của C(X,R) va L la mét phiếm hàm tuyến tính trên E. Khi đó L là một phiếm hàm mémen khi va chi khi L(f) > 0 uới moi f € Fy.
R6 rang néu L 1a mot phiếm ham mémen thi L(f) > 0 với mọi ƒ€E. Ngược lai, xét tập hợp E:={ƒcC(X,R):|ƒ(z)| < g(a), « © X, voi g € E nao do}. Ta kiểm tra E = E + (E)„. Chon g € Ey sao cho |f| < g.
Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên.4, Ù có thể mở rộng được thành một phiếm hàm trên #, dương trên ()„, ký hiệu phiếm hàm này là 7. Do đó tồn tại một dd do Radon # trên X sao cho L(f) = J du với ƒ € Œ. Vì E là một không gian tương thích nên = E_. Do đó ta chỉ cần chứng minh mỗi hàm ƒ € #2, đều là /-khả tích và thỏa mãn L(f) = L(f) = f fdy.
Khi đó, với r € U ta cd fn € C.8) ncu neu Diều này chứng tổ ƒ là p-kha tich. Nhu vay ta chi can ching minh L(f) < J fd. Vi £ la mot khong gian tuong thich nén tén tai g € E, lam tréi f. Với e > 0, chon ham 7, € U sao cho n- = 1 trén tap compact K- nhu trong định nghĩa của không gian tương thích.
Vì ƒn; < ƒ nên ta SUY ra L1) = Ö() < L(g) + Ltn. Ta có điều phải chứng mình. Oo 9 Bây giờ, với mỗi tập con đóng #€ của R#, xét tập hợp sau Pos(#Z) = {p € Rajz] : p(z) > 0 với mọi z € #}. Do đó từ Dinh ly Choquet ta suy ra hệ quả sau, goi la Dinh ly Haviland.
Cho K la mét tap con dong cia R* va L la mot phiếm hàm tuyến tính trên Rạ|z]. Khi đó L là một phiém ham K-mémen khi va chi khi L(f) > 0 vdi moi f € Pos(K). Dinh ly Haviland là một cầu nối quan trọng giữa Lý thuyết toán tử và Hình học đại số thực, bởi vì một trong những bài toán quan trọng trong Hình học đại số thực là mô tả các đa thức dương (tương ứng, không âm) trên một tập nửa đại số đóng cơ bản C R#“. Trong các chương sau của luận văn, chúng tôi xét bài toán -mômen một chiều trên các khoảng C TR.
Với = R, bài toán IR-mômen được gọi là bài toán mômen Hamburger. Véi K = [a, +00), bai toan [a, +oo)-mômen được gọi là bài toán momen Stielties. Với K = [a,b], bài toán [a, b]-mômen được gọi là bài toán mômen Haus- dorff. 10 Chương 2 Biểu diễn của các đa thức không âm trên khoảng Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu diễn của một đa thức với hệ số thực, dương trên một tập con của R, thanh tổng các bình phương.
Đồng thời chúng tôi còn trình bày tính duy nhất của các biểu diễn trên. Các kết quả của chương này được trình bày theo tài liệu [2].1 Biểu diễn tổng bình phương của các đa thức không âm trên khoảng Cho p € Rịz| là một đa thức khác hằng với hệ số thực. Nếu À là một nghiệm phức bội ! của p thì liên hợp phức của À, ký hiệu bởi À, cũng là một nghiệm bội Ï của p. Khi đó ta có phân tích (v= d)"(e =H)! = (ew)? + 9) trong đó = ReA và 0 = ImÀ.
Do đó, mỗi đa thức khác không p(z) € Rị[z| đều có thể biểu diễn dạng p(#) = a(# — œi)”*.2) 11 trong đó N1,---;Mr,Ji,---, Jr E Nia,ay,.,a, € R, Ay = Uy + ivy,.,0yCTR; Ơi # Aj nếu ¿ # 7, À¡ Aj Ài # Àj nếu ? # j. Như vậy, mỗi đa thức p có thể được biểu diễn dưới dạng tích của một hằng số a, các lũy thừa của các đa thức tuyến tính z — œ; và các đa thức dang (# — uj)” + 07 không có nghiệm thực. Chú ý rằng với ø, b, c, đ là các phần tử trong một vành giao hoán, chúng ta có đồng nhất thức sau, gọi là “đồng nhất thức hai bình phương”: (a2 + b2)(c? + đ?) = (ae — bd)? + (ad + be)’.3) Tức là, mỗi tích của tổng hai bình phương là một tổng của hai bình phương. Nhấc lại, với C 1, ký hiệu Pos(K) = {ƒ € Rlz]| ƒ() >0, Ve € K}; Pos()„ = {ƒ € Pos(K), deg(ƒ) < m}.
Với các ký hiệu ở trên, ta có (¡) Pos(R) = À ` Rịz] = {ƒ” + g”: ƒ,ø e Ria}. (ii) Pos(R)an =O = (PP +9": fg € Rien}. (i) Gia stt p € Pos(R) 1a mot da thtte khac 0. Xét biéu dién của p nhu trong (2.
Vi p(x) > 0 trén R nén a > 0 va cdc 86 mii ny,.