Mở đầu Mục tiêu của đề tài là xét tính ổn định theo nghĩa nửa liên tục các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân có và không có tham số, đưa ra một số các ứng dụng vào mạng giao thông và bài toán trò chơi có nhiều người chơi. Nội dung của đề tài xét các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân, mô hình mạng giao thông tải năng mở rộng. Mặt khác, đề tài khảo sát ổn định theo nghĩa nửa liên tục cho cân bằng Nash Pareto của bài toán trò chơi đa mục tiêu. Nội dung thuyết minh đã đăng ký của đề tài là hệ thống lại các kết quả gần đây về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và nghiên cứu ứng dụng vào các bài toán khác.
Các kết quả đạt được của đề tài không những hoàn thành mục tiêu như đã đăng ký mà còn đưa ra được một số kết quả mới về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân (phần này làm thêm và chưa kịp đăng ký trong khi thuyết minh đề tài). Về ứng dụng, đề tài xét hai bài toán là bài toán cân bằng giao thông và bài toán trò chơi đa mục tiêu có và không có tham số. Giới thiệu Tykhonov (1966) xét tính Tykhonov well-posedness cho bài toán tối ưu với ý nghĩa tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán min, mỗi dãy trong tập nghiệm hội tụ về nghiệm đúng. Trong thực hành có những bài toán không chỉ tồn tại duy nhất nghiệm, một số tác giả đã xét tính wellposed tổng quát hơn cho tập nghiệm khác rỗng và mỗi dãy con trong tập nghiệm hội tụ về nghiệm đúng.
Bắt đầu bởi Smith (1979), mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân và bài toán mạng giao thông đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, có thể tham khảo các bài viết của Giannessi, Maugeri, De Luca. Gần đây các tác giả Khanh-Luu, Khanh-Anh xét mối quan hệ của tựa bất đẳng thức biến phân và mạng giao thông có tham số, tham khảo trong [4], [5], [10]. Trong thực tế có rất nhiều bài toán liên quan đến tải năng mở rộng, do đó việc đưa ra mô hình bài toán mạng giao thông có tải năng mở rộng và đưa ra các giải pháp để thiết kế mô hình cho phù hợp với nhu cầu của người sử dụng là rất cần thiết. Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập mô hình mạng giao thông có tải năng mở rộng.
Xét mối quan hệ giữa dòng cân bằng và tập nghiệm của bài tóan tựa bất đẳng thức biến phân tương ứng, đồng thời xét tính wellposedness cho tập nghiệm của bài toán. Năm 1944, John von Neumann va Oskar Morgenstern nghién cttu bai toán trò chơi có nhiều người chơi. Từ đó đến nay lý thuyết trò chơi đã được nhiều nhà toán học quan tâm với nhiều kết quả quan trọng, nó đóng góp lớn trong khi phân tích các bài toán kinh tế, dẫn đến các lời giải khá thú vị và đưa ra những gợi ý về chiến lược trong kinh doanh. Bài viết khảo sát tính ổn định yếu của bài toán trò chơi có nhiều người chơi (có và không có tham số), đưa ra khái niệm wellposed cho cân bằng Nash đồng thời mở rộng một vài kết quả đã biết trước đó, tham khảo trong [1,3,4,5].
Các định nghĩa và khái niệm Cho U, X va Y là các không gian Banach thuc. A C X là tập lồi compact khác rỗng và Œ C Y là nón lồi đóng có phần trong khác rỗng. Kí hiệu Ở := Y\— intƠ và By, By là các quả cầu đơn vị đóng của X,Y, tương ứng. Xét Ä : U x A —¬ 22,7: x A — 2!XY) là các ánh xạ đa trị (L(X,Y) chỉ không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y).
Xét các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân sau: Với mỗi u € Ù, (QVï),: Tìm #€ K(u,#),Vụ € K(u,#), 3 € T(u, 2), (t,y —£) € C; (MQVT)„: Tìm #€ K(u,#), 3i € 7(u,Z),Vụ € K(u,#), ,uT— 3) €Œ; (SQVT),: Tim z € K(u,%), Vi € T(u,Z), Vy € K(u,#), (†, — #) € Ở. Ta kí hiệu các tập nghiệm tương ứng là Q0(), \⁄2(u), 50(u). Nếu bài toán không có tham số %, ta kí hiệu đơn giản là (QV7),(MQVT),(SQVT) va cũng kí hiệu các tập nghiệm tương ứng QJ, A⁄ÿ, Sỹ. Nội dung đề tài là xét ổn định các tập nghiệm nên ta giả thiết các tập nghiệm nói trên khác rỗng.
Xét bài toán không tham s6 (MQV I). Day {z„} CA gọi là xấp xỉ dạng I nếu Fe, > OF, tn € K (an), Stn € T(an), Vy € K (an), (tn, U— Ln) € En By + C; (1) 4 b. Day {xn} C A goi la xdp xi dang II néu thay (1) bdi (tn, y—Xn) +EnBy C C. bài todn (MQV 1) duoc goi la wellposed dang I (tuong ting, dang IT) néu (a) Mj #9; (b) V6i méi day xdp xi dang I (tuong ứng, dạng II) có dãy con hội tụ tới MẸ.
Xét bài toán có tham số (ă#QVT)„ Định nghĩa 3. Cho đấy uạ — u, Day {x} C A gọi là xấp xỉ ứng với tuạ dang I néu AE, = 0*,#„ € TÃ(u„, #„), dt„ € T(uạ, #u), Vụ € K(ua, #n), (tn, U— #n) € én By + C; (2) b. Day {xn} C A goi la xdp xi dang II néu thay (2) bdi (tn, y—Xn) +EnBy C C. Ta cũng định nghĩa các khái niệm tương tự cho các bài toán (QV7) và (SQVD).
Xét ổn định của các tập nghiệm, Ta đặt từ mỗi ø € U,e > 0, j(u) = {7 € K(u,7z), Vx € K(u,7), St € T(U,Z), (t,x —Z) € C}; Q(u,e) = {z€ K(w,Z), Vz € K(m,Z), 3i € T(n,®), (t,x —Z) € eBy +C}; Mo(a) = {z € K(u,), FEE T(u,2), Ve € K(t,7): (£2 — 2) € C}; M}(u,e) = {zc K(n,%), 3i c T(U,7), Vr € K(U,2): Œ,z—>) € eBy + Ch. Ta ki hiéu Q}, Qi(e), Mj, Ä7}(e) cho trường hợp không có tham số + và cũng đưa ra các khái niệm, các kí hiệu tương tự cho (SQV7) có và không có tham số. Chú ý là nếu dãy z„ là dãy xấp xỉ dạng II thì nó cũng là dãy xấp xi dang I nhung điều ngược lại có thể không đúng. Vì vậy, nếu bài toán là wellposed dạng II thì cũng là wellposed dạng I.
Theo một hướng khác, Lignola (xem[1]) xét dãy xấp xỉ cho bài toán bất đẳng thức biến phân (QV7) trong không gian Banach thuc phan xa, K 1a tập lồi đóng, S : K — 2* và A 1a dnh xa don tri. Cho X,Y 1a hai khong gian Banach va G : X — 2F, Ta nói G IA 6 usc tại z € X nếu với méi tap mo V D G(x), c6 lan cận của x sao cho G(N) €C V. Hàm đa trị Œ là lsc tại z € X nếu với mọi #„ > x va Vụ € G(z) thì có ; € G(#„) sao cho y, —. Ta cũng nói Œ là liên tục tại + nếu nó vừa usc và lsc tại x.
Néu G liên tục với moi x € X, thì ta nói G liên tục. Với Œ nói ở trên, nếu G(z) compact thì G(.) la usc tai x khi và chỉ khi {z„}??¡ C X, #„ — #, {0s}; 0à 6€ G(ạ), tồn tại dãy con Yn, $80 ChO Yn, + y € G(x). Nửa liên tục trên của các tập nghiệm Dinh ly 1.) là liên tục có giá trị đóng và T(.) usc có giá trị compact thì M†(.) là usc tại 0. Chứng minh Giả sử ngược lại M?(.) không usc tại 0, khi đó tồn tại một lân cận mở V của M?(0) = MQ, én — OF, tồn tại z„ € Ä⁄ƒ(<„) mà In #@ V,Vn.
(4) Xét z„ € 4, do 4 compact nên tồn tại dãy con vẫn ký hiệu 1a x, > Z € A.) usc có giá trị compact nên /„ — ý € 7'(#). Khi đó với yo 6 trén, Sy, € K (2) sao cho yn — Yo. Sử dụng các dãy này vào (4) và cho n —› œ với chú ý Ở là tập đóng, ta có (, ọ — #) € Ở; mẫu thuẩn với (5) nghĩa là z € A⁄P(0).) 1a usc tại 0 và định lý được chứng minh. Cũng tương tự như chứng minh Định lý l nhưng xét trong trường hợp có tham số ta có Định lý 2.) là liên tục, có giá trị đóng và T(.) wsc có giá trị compact trong (ti, A) thi M)(.) là usc tai (u, 0).
Xét (SQVT), ta có các kết quả tương tự nhưng với giả thiết về Isc của T(.) la lién tục có giá tri déng va T(.) la usc tai 0. Chứng minh Giả sử ngược lại S?(.) không usc tại 0, khi đó tồn tại một lân cận mở V của S?(0) = Sỹ, e„ — 0, tồn tại z„ € Sƒ(<„) mà Ln € Vin. 8 Bởi z„ € S7(c„) nên ø„ € J{(z„), Vt € T(+„),Vụ € K(za), (t,y — an) € en By + C. (6) Xét z„ € 4, do 4 compact nên tồn tại dãy con vẫn ký hiệu 1a x, > Z € A.) 1a Isc thi v6i yo va t° 6 trên, Jy, € K (xn), tn € T (Xn), sao cho Yn > Yo, tn — t°.
Sit dung cdc day nay vao (6) va cho n — œo với chú ý Ở là tập đóng, ta có ("tụ — #) € C; mâu thuẫn. Phần tiếp theo chứng minh tương tự định lý trên.) là liên tục có giá trị đóng và T(.) lsc tai (u, A) thi Si(.) la usc tai (ữ, 0). Với cùng các giả thiết của Định lý 1 thì QŸ(. Chứng minh Giả sử ngược lại Q9(.) không usc tại 0, khi đó tồn tại một lân cận mở V của Q?(0) = Q, e„ — 0”, tồn tại z„ € Qƒ(<„) mà In #@ V,Vn.
Xét z„ € 4, do 4 compact nên tồn tại dãy con vẫn ký hiệu 1a x, > # € A. Khi đó với „ ở trên, d„ € K (an) sao cho 1„ —> 9o. Bởi z„ € QP(e„) và với „ € K(z„) ở trên, 3t„ € 7(„), (tn; Yn — En) € EnBy + C.) usc có giá trị compact nên #„ — ý € 7(#). Sử dụng các dãy này và cho z — oo trong biểu thức trên, với chú ý Œ là tập đóng, ta có Ñ,o — #) € Ở; mẫu thuẩn với (7) nghĩa là # € (0).
Phần tiếp theo lý luận tương tự như chứng minh Định lý 1. Với cùng các giả thiết của Định lý 2 thì Q1(.) là wsc tại (0, À). Nửa liên tục dưới của các tập 6—nghiém Bây giờ, để nới rộng thêm hàm mục tiêu, ta thay qua céu ¢By trong các tập Q), MP, 5} ở trên bởi quả cầu to hơn (ð + £)y với ð > 0 cố định, và ta cũng kí hiệu các bài toán này có ổ tương ứng trên các kí hiệu của chúng.
