I. Ổn định nghiệm và bất đẳng thức biến phân
Luận văn tập trung vào việc ổn định nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (BĐBP) có và không có tham số. Các khái niệm về nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của tập nghiệm được phân tích chi tiết. Đặc biệt, tính well-posed của các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu, đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Các kết quả này không chỉ hoàn thành mục tiêu đề ra mà còn đưa ra những kết quả mới về ổn định nghiệm của BĐBP.
1.1. Nửa liên tục trên của tập nghiệm
Phần này trình bày các định lý về tính nửa liên tục trên của tập nghiệm. Các giả thiết về tính liên tục và giá trị đóng của ánh xạ đa trị được sử dụng để chứng minh tính ổn định của tập nghiệm. Ví dụ, nếu ánh xạ đa trị T(.) là usc (nửa liên tục trên) và có giá trị compact, thì tập nghiệm M10(.) cũng là usc.
1.2. Nửa liên tục dưới của tập δ nghiệm
Phần này mở rộng khái niệm nửa liên tục dưới bằng cách thay thế quả cầu εBY bằng quả cầu lớn hơn (δ + ε)BY. Các định lý được chứng minh để đảm bảo rằng với mọi dãy xấp xỉ, tồn tại dãy con hội tụ về nghiệm. Điều này giúp củng cố tính ổn định của tập nghiệm trong các bài toán BĐBP.
II. Ứng dụng thực tiễn của bất đẳng thức biến phân
Luận văn không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn đưa ra các ứng dụng thực tiễn của BĐBP. Hai bài toán chính được nghiên cứu là bài toán cân bằng giao thông và bài toán trò chơi đa mục tiêu. Các ứng dụng này không chỉ minh họa tính khả thi của lý thuyết mà còn đóng góp vào việc giải quyết các vấn đề thực tế.
2.1. Ứng dụng vào ổn định dòng cân bằng trong mạng giao thông
Phần này trình bày mô hình mạng giao thông với tải năng mở rộng. Các dòng cân bằng được định nghĩa và tính well-posed của tập nghiệm được xem xét. Ví dụ, trong mạng giao thông G4, dòng cân bằng duy nhất được tìm thấy và chứng minh là nghiệm của bài toán BĐBP. Điều này cho thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa lý thuyết BĐBP và thực tế.
2.2. Ứng dụng vào ổn định cân bằng Nash Pareto trong bài toán trò chơi đa mục tiêu
Phần này khảo sát tính ổn định yếu của bài toán trò chơi có nhiều người chơi. Khái niệm well-posed được mở rộng cho cân bằng Nash, đồng thời đưa ra các kết quả mới về tính ổn định của nghiệm. Các ứng dụng này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn gợi ý chiến lược trong kinh doanh và kinh tế.
III. Phương pháp giải và tính ổn định
Luận văn đề xuất các phương pháp giải cho các bài toán BĐBP, đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Các định lý về tính well-posed được chứng minh, đảm bảo rằng mọi dãy xấp xỉ đều có dãy con hội tụ về nghiệm. Điều này không chỉ củng cố lý thuyết mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc giải các bài toán phức tạp.
3.1. Tính well posed của bài toán không tham số
Phần này chứng minh tính well-posed của các bài toán BĐBP không tham số. Các giả thiết về tính liên tục và giá trị đóng của ánh xạ đa trị được sử dụng để đảm bảo tính ổn định của tập nghiệm. Ví dụ, nếu ánh xạ T(.) là usc và có giá trị compact, thì bài toán (MQVI) là well-posed dạng I.
3.2. Tính well posed của bài toán có tham số
Phần này mở rộng khái niệm well-posed cho các bài toán BĐBP có tham số. Các định lý được chứng minh để đảm bảo rằng với mọi dãy xấp xỉ, tồn tại dãy con hội tụ về nghiệm. Điều này giúp củng cố tính ổn định của tập nghiệm trong các bài toán phức tạp hơn.
