I. Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với ánh xạ không giãn. Công trình được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Bưởng tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên. Luận án đưa ra các phương pháp mới để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach, đặc biệt là trên tập điểm bất động chung của họ vô hạn các ánh xạ không giãn.
1.1. Xấp xỉ nghiệm
Xấp xỉ nghiệm là một trong những vấn đề trọng tâm của luận án. Các phương pháp lặp được đề xuất nhằm tìm nghiệm gần đúng cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Các phương pháp này dựa trên việc sử dụng các ánh xạ không giãn và các kỹ thuật lặp để đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm.
1.2. Bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong các lĩnh vực như tối ưu hóa, lý thuyết điểm bất động, và phương trình biến phân. Luận án tập trung vào việc giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn.
II. Ánh xạ không giãn
Ánh xạ không giãn là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán bất đẳng thức biến phân. Luận án đề xuất các phương pháp lặp dựa trên các ánh xạ không giãn để tìm nghiệm gần đúng cho bài toán. Các phương pháp này được thiết kế để làm việc trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
2.1. Lý thuyết ánh xạ
Lý thuyết ánh xạ là nền tảng cho việc xây dựng các phương pháp lặp trong luận án. Các ánh xạ không giãn được sử dụng để đảm bảo sự hội tụ của dãy nghiệm. Luận án cũng đề cập đến các tính chất hình học của không gian Banach và cách chúng ảnh hưởng đến sự hội tụ của các phương pháp lặp.
2.2. Phương pháp lặp
Phương pháp lặp là công cụ chính để tìm nghiệm gần đúng cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Luận án đề xuất các phương pháp lặp mới dựa trên các ánh xạ không giãn, đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm. Các phương pháp này được minh họa qua các ví dụ cụ thể và so sánh với các phương pháp đã có.
III. Toán học ứng dụng
Toán học ứng dụng là một trong những lĩnh vực chính mà luận án hướng đến. Các kết quả nghiên cứu không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các bài toán như xử lý tín hiệu, phân phối băng thông, và kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng viễn thông.
3.1. Phương pháp số
Phương pháp số được sử dụng để giải quyết các bài toán bất đẳng thức biến phân trong thực tế. Luận án đề xuất các phương pháp số mới dựa trên các kỹ thuật lặp và ánh xạ không giãn, đảm bảo tính hiệu quả và độ chính xác cao trong việc tìm nghiệm gần đúng.
3.2. Giải tích hàm
Giải tích hàm là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán bất đẳng thức biến phân. Luận án sử dụng các kết quả từ giải tích hàm để chứng minh sự hội tụ của các phương pháp lặp và đưa ra các đánh giá về sai số của nghiệm gần đúng.
