Luận Án Tiến Sĩ Toán-Tin: Nghiên Cứu Tổ Hợp Cộng Tính

Luận án này định nghĩa rõ ràng về tổ hợp cộng tính như một sự giao thoa giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học, bao gồm lý thuyết số, tổ hợp, và giải tích điều hòa. Nó tập trung vào việc nghiên cứu các cấu trúc đại số xấp xỉ, bao gồm nhóm, vành và trường. Tổ hợp cộng tính nghiên cứu về các cấu trúc xấp xỉ như xấp xỉ nhóm, vành trường, đa thức và đồng cấu, theo Green.

Luận án này nhắc đến những đóng góp quan trọng của các nhà nghiên cứu như Hamidoune, Nathanson, Bibak, Green và Tao. Hamidoune sử dụng tính liên thông của đồ thị. Nathanson giới thiệu các cơ sở cộng tính mới. Green và Tao kết hợp nhiều lĩnh vực toán học khác nhau để giải quyết các bài toán phức tạp. Những phát triển này đã thúc đẩy sự tiến bộ nhanh chóng trong lý thuyết số cộng tính.

Luận án này nêu bật các ứng dụng tiềm năng của tổ hợp cộng tính trong khoa học máy tính (hàm nở, hàm trích xuất, tựa ngẫu nhiên), mật mã, e-voting, và vật lý thống kê. Sự kết nối giữa tổ hợp cộng tính và lý thuyết ma trận ngẫu nhiên cũng được đề cập, mở ra nhiều ứng dụng khác.

Luận án nghiên cứu các hàm nở bốn biến trên trường hữu hạn và cố gắng chứng minh một số lớp hàm nở bốn biến với ngưỡng 5/13 và 3/8. Các kết quả trước đó được đưa ra bởi Hart và Iosevich (1/3). Vinh đã xây dựng được một số hàm nở vừa bốn biến với ngưỡng tốt hơn (3/8).

Luận án nghiên cứu các hàm nở hai biến trên vành định giá. Mở rộng các kết quả đã được chứng minh trên trường hữu hạn. Vinh, Thang và tác giả đã mở rộng bài toán trên vành định giá hữu hạn và đã thu được một số kết quả về hàm nở hai biến dưới dạng tổng - tích

Luận án nghiên cứu các hàm nở và đánh giá lực lượng của tập tích các ma trận trên nhóm Heisenberg. Nghiên cứu các hàm nở, đánh giá lực lượng của tập tích các ma trận trên nhóm Heisenberg.

Luận án sử dụng phương pháp phổ đồ thị để mở rộng các kết quả hiện có về hàm nở trên trường hữu hạn cho vành định giá hữu hạn. Phương pháp này cho phép đánh giá mối quan hệ giữa các phần tử trong tập hợp và xác định tốc độ nở của hàm.

Luận án áp dụng lý thuyết liên thuộc điểm-đường trên trường hữu hạn (Vinh) và trên trường nguyên tố (Stevens và De Zeeuw) để chứng minh các bổ đề quan trọng. Lý thuyết này giúp xác định số lượng các cặp điểm và đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được sử dụng để đánh giá tổng các bình phương và ước lượng lực lượng của các tập hợp. Bất đẳng thức này cung cấp một công cụ mạnh mẽ để thiết lập các mối quan hệ giữa các biến số và chứng minh các bất đẳng thức cần thiết.

Luận án chứng minh rằng các hàm có dạng F(u,v,y,z) := f(Q(u,v),y,z), trong đó Q(u,v) = m(u) + u*n(v) và f không có dạng g(h(x) + k(y) + l(z)), là nở vừa với ngưỡng 5/13 trên trường nguyên tố. Ví dụ: u(u+ 0) + 2, tấu + 0) + yz, u(u + 0)( + 2)

Luận án chứng minh rằng các hàm có dạng F(u,v,y,z) := f(Q(u,v),y,z), trong đó Q(u,v) = m(u) + u*n(v) và f không có dạng g(h(x) + k(y) + l(z)), là nở vừa với ngưỡng 3/8 trên trường hữu hạn bất kỳ. Ví dụ: u(u + v)y +z, u(u+v) + 9z, u(u + v)(y + 2)

Một số lớp hàm F'(u,v,y, z) := f(Q(u,v),y, 2), trong đó f không có dạng g(h(x) + k(ø) + l{z)), Q(u,v) = m(u) + u#n() là né vừa với ngưỡng 5/13 trên trường nguyên tố và ngưỡng 3/8 trên trường hữu hạn bất kỳ.

Luận án cải thiện các kết quả của Hegyvári và Hennecart về hàm nở trên nhóm Heisenberg. Nhóm Heisenberg bậc ø trên trường hữu han Fy, ký hiệu bởi H,,(F,), là nhóm nhãn các phan tử có dạng.

Luận án chứng minh được |[E, £,0]|[E,E,0]| > |[E,E,0]|5, on trong đó |E| < p5. Trên Hi(F,), luận ấn chứng minh được |[A, A,0][A, A, 0]| > |[A, A, 0]| 8°, với [AI Sp”? 4.

Luận án xác định một lớp hàm nở hai biến trên vành định giá hữu hạn. Kết quả này mở rộng các kết quả trước đó trên trường hữu hạn và cung cấp thông tin về cấu trúc của hàm nở trong không gian đại số này.

Luận án nghiên cứu một lớp hàm nở ba biến trên vành định giá hữu hạn. Kết quả này cung cấp một cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các biến số và cách chúng tương tác với nhau trong vành định giá hữu hạn. ary + g(x) + s(y) + £(z) là một hàm nở.

Luận án xác định một số hàm nở bốn biến trên vành định giá hữu hạn. Các hàm này có cấu trúc đặc biệt và đáp ứng các điều kiện cần thiết để được coi là hàm nở. u(u+v)y+z, u(u+v)+yz, u(u + v)(u+z), y(u(utv)+z), (u(utv)—0)2+z, và (yT— z)2 + u{(u + 0) là nổ