I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm trong các bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Mục tiêu chính là thiết lập các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm cho các bài toán này, đồng thời mở rộng các kết quả hiện có trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Luận án được chia thành ba chương chính, mỗi chương tập trung vào một khía cạnh cụ thể của vấn đề nghiên cứu.
1.1. Tổng quan về bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân
Bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân là hai lớp bài toán quan trọng trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Chúng có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học máy tính. Luận án này tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán này, đặc biệt là trong trường hợp Pareto và yếu loại I, II.
1.2. Mục tiêu và đóng góp của luận án
Mục tiêu chính của luận án là thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng Pareto và bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Luận án cũng đóng góp bằng cách mở rộng các kết quả hiện có, đặc biệt là trong việc áp dụng các phương pháp vô hướng hóa và Bổ đề Fan-KKM để giải quyết các bài toán phức tạp.
II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Chương 1 của luận án trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích đa trị, bao gồm các khái niệm về ánh xạ đa trị, nón trong không gian tuyến tính, và các tính chất liên quan. Đây là nền tảng quan trọng để nghiên cứu sâu hơn về các bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân.
2.1. Khái niệm ánh xạ đa trị và nón cực chặt
Ánh xạ đa trị là một công cụ quan trọng trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Luận án trình bày các khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị và nón cực chặt, cùng với các điều kiện đủ để đảm bảo tính không rỗng của nón cực chặt. Đây là điều kiện quan trọng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto.
2.2. Tính liên tục và lồi theo nón của ánh xạ đa trị
Luận án cũng trình bày các tính chất liên quan đến tính liên tục và lồi theo nón của ánh xạ đa trị. Các tính chất này được sử dụng để thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân.
III. Kết quả chính và ứng dụng
Chương 2 và 3 của luận án trình bày các kết quả chính về sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng Pareto và bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Các kết quả này được thiết lập bằng cách sử dụng các phương pháp vô hướng hóa và Bổ đề Fan-KKM, đồng thời mở rộng các kết quả hiện có trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị.
3.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto
Luận án thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto loại I và loại II. Các kết quả này được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất giả đơn điệu mạnh theo nón của ánh xạ đa trị, đồng thời xem xét cả hai trường hợp ánh xạ mục tiêu lồi theo nón và giống như tựa lồi theo nón.
3.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto
Luận án cũng thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và loại II. Các kết quả này được chứng minh bằng phương pháp vô hướng hóa và áp dụng Bổ đề Fan-KKM, đồng thời xem xét cả hai trường hợp ánh xạ mục tiêu lồi theo nón và giống như tựa lồi theo nón.
IV. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận án kết thúc với việc tổng hợp các kết quả chính và đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo. Các kết quả của luận án không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có tiềm năng ứng dụng trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học máy tính.
4.1. Tổng hợp kết quả chính
Luận án đã thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng Pareto và bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Các kết quả này được chứng minh bằng cách sử dụng các phương pháp vô hướng hóa và Bổ đề Fan-KKM, đồng thời mở rộng các kết quả hiện có trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị.
4.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc nghiên cứu sâu hơn về các bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân trong các không gian phức tạp hơn, cũng như ứng dụng các kết quả này vào các lĩnh vực thực tế như kinh tế và kỹ thuật.
