Luận Án Tiến Sĩ Toán Học: Khám Phá Nguyên Lý Hasse Cho Nhóm Đại Số Trên Trường Toàn Cục

• Tác giả: Ngô Thị Ngoan
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Quốc Thắng
• Trường học: Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Nguyên Lý Hasse Cho Nhóm Đại Số Trên Trường Toàn Cục
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: Một số kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Dạng toàn phương trên trường có đặc số khác 2
• 1.2. Dạng toàn phương trên trường địa phương và toàn cục
• 1.3. Dạng hecmit trên một thể trên một trường
• 1.4. Dạng hecmit (phản hecmit) trên một thể trên trường địa phương và trường toàn cục
• 1.5. Nhóm đại số trên trường không đóng đại số
• 1.6. Phân loại nhóm đơn
• 1.7. Đối đồng điều Galoa và đối đồng điều phẳng
• 2. CHƯƠNG 2: Một số tính chất phân rã và nguyên lý địa phương-toàn cục
• 2.1. Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã của nhóm giải được
• 2.2. Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã của nhóm reductive
• 2.3. Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông
• 2.4. Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất tựa phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông
• 3. CHƯƠNG 3: Nguyên lý Hasse cho không gian thuần nhất trên trường toàn cục
• 3.1. Nguyên lý Hasse cho không gian thuần nhất xạ ảnh. Chứng minh thứ nhất
• 3.2. Chứng minh thứ hai của Định lý
• 3.3. Một số áp dụng của Định lý
• 3.4. Nguyên lý Hasse cho các không gian thuần nhất chính
• 4. CHƯƠNG 4: Nguyên lý Hasse trên trường toàn cục vô hạn cho các dạng
• 4.1. Dạng toàn phương trên trường địa phương hóa và toàn cục vô hạn
• 4.2. Định lý Hasse về chuẩn và Định lý Hasse-Brauer-Noether
• 4.3. Lý thuyết địa phương của các dạng hecmit và phản hecmit
• 4.4. Nguyên lý Hasse và phân loại toàn cục
• 4.5. Nguyên lý Hasse yếu
• Kết luận của luận án
• Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Giới thiệu và mục tiêu luận án

Luận án tiến sĩ Toán học này tập trung nghiên cứu nguyên lý Hasse trong bối cảnh nhóm đại số trên trường toàn cục. Mục tiêu chính là khảo sát các tính chất địa phương-toàn cục liên quan đến nhóm đại số và không gian thuần nhất, đặc biệt là trong các lớp đa tạp đặc biệt. Luận án gồm bốn chương, mỗi chương tập trung vào một khía cạnh cụ thể của nguyên lý Hasse và lý thuyết số.

1.1. Bối cảnh nghiên cứu

Luận án bắt đầu với việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về dạng toàn phương, dạng hecmit, và nguyên lý địa phương-toàn cục. Đồng thời, luận án cũng giới thiệu các khái niệm về nhóm đại số trên trường không đóng đại số và phân loại nhóm đơn. Đây là nền tảng quan trọng để hiểu các nghiên cứu sâu hơn trong các chương sau.

1.2. Mục tiêu cụ thể

Mục tiêu chính của luận án là chứng minh tính đúng đắn của nguyên lý Hasse cho tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông trên trường toàn cục. Ngoài ra, luận án cũng nghiên cứu nguyên lý Hasse cho không gian thuần nhất và mở rộng các nguyên lý này cho các mở rộng đại số vô hạn của trường toàn cục.

II. Nguyên lý Hasse và tính chất phân rã

Chương này tập trung vào việc chứng minh nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông trên trường toàn cục. Kết quả chính là sự khẳng định rằng một nhóm đại số phân rã trên trường toàn cục nếu và chỉ nếu nó phân rã trên tất cả các trường địa phương tương ứng.

2.1. Tính chất phân rã của nhóm đại số

Tính chất phân rã của nhóm đại số là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết nhóm. Luận án đưa ra định nghĩa và chứng minh rằng nguyên lý Hasse áp dụng được cho tính chất này. Điều này có ý nghĩa lớn trong việc hiểu cấu trúc của nhóm đại số trên các trường toàn cục.

2.2. Ứng dụng của nguyên lý Hasse

Ngoài việc chứng minh tính đúng đắn của nguyên lý Hasse, luận án cũng chỉ ra các ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu không gian thuần nhất và tính chất tựa phân rã của nhóm đại số. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết số và đại số học.

III. Nguyên lý Hasse cho không gian thuần nhất

Chương này nghiên cứu nguyên lý Hasse cho không gian thuần nhất của nhóm reductive liên thông trên trường toàn cục. Kết quả chính là sự khẳng định rằng nguyên lý Hasse đúng cho các không gian thuần nhất xạ ảnh của nhóm nửa đơn.

3.1. Không gian thuần nhất và nguyên lý Hasse

Luận án chứng minh rằng nguyên lý Hasse áp dụng được cho không gian thuần nhất của nhóm reductive liên thông. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết số và hình học đại số.

3.2. Ứng dụng trong lý thuyết số

Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc nghiên cứu các đối tượng hình học và tính chất số học của chúng. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu sâu hơn về nguyên lý Hasse và các ứng dụng của nó.

IV. Mở rộng nguyên lý Hasse cho trường vô hạn

Chương cuối cùng của luận án tập trung vào việc mở rộng nguyên lý Hasse cho các mở rộng đại số vô hạn của trường toàn cục. Kết quả chính là sự thiết lập nguyên lý Hasse cho các dạng hecmit và phản hecmit trên các trường vô hạn.

4.1. Nguyên lý Hasse cho dạng hecmit

Luận án chứng minh rằng nguyên lý Hasse áp dụng được cho các dạng hecmit trên các trường vô hạn. Điều này mở rộng phạm vi áp dụng của nguyên lý Hasse và cung cấp thêm công cụ để nghiên cứu các đối tượng đại số phức tạp hơn.

4.2. Ý nghĩa của mở rộng

Việc mở rộng nguyên lý Hasse cho các trường vô hạn không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có tiềm năng ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, như lý thuyết số và hình học đại số. Đây là một đóng góp quan trọng của luận án.