I. Giới thiệu tóm tắt về phương trình vi phân phân thứ
Chương này nhấn mạnh các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân phân thứ. Nội dung được chia thành ba phần chính. Phần đầu tiên giới thiệu về giải tích phân thứ, bao gồm tích phân phân thứ và đạo hàm phân thứ. Những khái niệm này là nền tảng cho việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân phân thứ. Phần thứ hai tập trung vào hàm Mittag-Leffler, một hàm quan trọng trong lý thuyết này, với các tính chất như biểu diễn tích phân và dáng điệu tiệm cận. Cuối cùng, phần ba trình bày Bất đẳng thức Gronwall suy rộng, một công cụ hữu ích trong việc ước lượng nghiệm của các phương trình phân thứ. Công thức biến thiên hằng số cũng được đề cập, giúp liên kết nghiệm của bài toán phân thứ với phương trình tuyến tính liên quan.
1.1. Giải tích phân thứ
Phần này giới thiệu khái niệm tích phân phân thứ như một mở rộng tự nhiên của tích phân thông thường. Định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α được trình bày, cùng với các tính chất của nó. Tích phân này tồn tại hầu hết trên đoạn [a, b] nếu hàm x khả tích. Các ví dụ cụ thể về tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản cũng được đưa ra, minh họa tính ứng dụng của khái niệm này trong thực tiễn.
1.2. Đạo hàm phân thứ
Đạo hàm phân thứ là một trong hai khía cạnh quan trọng của phép tính vi–tích phân phân thứ. Hai loại đạo hàm phổ biến là đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Định nghĩa và tính chất của hai loại đạo hàm này được trình bày rõ ràng, nhấn mạnh sự khác biệt và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Đặc biệt, đạo hàm Caputo được ưa chuộng hơn trong các mô hình vật lý do điều kiện ban đầu có ý nghĩa thực tiễn.
II. Số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu số mũ Lyapunov cho các nghiệm không tầm thường của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Phần đầu tiên chứng minh rằng số mũ Lyapunov cổ điển cho các nghiệm không tầm thường luôn không âm. Tiếp theo, một khái niệm mới là số mũ Lyapunov phân thứ được định nghĩa, giúp đặc trưng tính ổn định của nghiệm tầm thường. Cuối cùng, chương này cung cấp ví dụ minh họa cụ thể về việc tính toán số mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm không tầm thường của phương trình tuyến tính hệ số hằng hai chiều.
2.1. Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ
Phần này thảo luận về số mũ Lyapunov cổ điển và mối liên hệ của nó với tính ổn định của nghiệm. Các kết quả chứng minh cho thấy rằng số mũ này luôn không âm cho các nghiệm không tầm thường của phương trình tuyến tính. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc đánh giá tính ổn định của hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân phân thứ.
2.2. Số mũ Lyapunov phân thứ
Khái niệm số mũ Lyapunov phân thứ được giới thiệu và phân tích. Các tính chất cơ bản của số mũ này được chỉ ra, cùng với tiêu chuẩn kiểm tra tính ổn định của nghiệm. Phần này cũng đề cập đến cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm không tầm thường, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ.
III. Tính ổn định của phương trình vi phân phân thứ
Chương này chứng minh tính ổn định tiệm cận và không ổn định cho điểm cân bằng của một lớp phương trình vi phân phân thứ phi tuyến. Các khái niệm về ổn định và không ổn định được nhắc lại, cùng với các kết quả chính của chương. Đặc biệt, chứng minh rằng điểm cân bằng ổn định tiệm cận nếu phương trình tuyến tính hóa tại điểm đó cũng ổn định. Ngược lại, nếu có ít nhất một giá trị riêng nằm trong hình quạt không ổn định, nghiệm tầm thường sẽ không ổn định.
3.1. Ổn định tiệm cận
Phần này trình bày các khái niệm về ổn định tiệm cận và không ổn định. Kết quả chính được giới thiệu, nhấn mạnh mối liên hệ giữa ổn định của điểm cân bằng và tính ổn định của phương trình tuyến tính hóa. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc phân tích tính ổn định trong nghiên cứu phương trình vi phân phân thứ.
3.2. Không ổn định
Chương này cũng thảo luận về tính không ổn định của nghiệm tầm thường. Các điều kiện cần thiết để chứng minh tính không ổn định được đưa ra, cùng với các ví dụ minh họa. Việc xây dựng toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ là một phần quan trọng trong việc chứng minh các kết quả này.
IV. Đa tạp ổn định của phương trình vi phân phân thứ
Chương cuối cùng chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định gần một điểm cân bằng hyperbolic cho các phương trình vi phân phân thứ phi tuyến. Các khái niệm về đa tạp ổn định được giới thiệu, cùng với các kết quả chính của chương. Việc xây dựng toán tử Lyapunov–Perron là một phần quan trọng trong việc thiết lập các định lý về sự tồn tại của đa tạp ổn định.
4.1. Đa tạp ổn định
Phần này giới thiệu khái niệm đa tạp ổn định và phát biểu kết quả chính của chương. Sự tồn tại của đa tạp ổn định gần điểm cân bằng hyperbolic được chứng minh, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ.
4.2. Toán tử Lyapunov Perron
Phần này trình bày cách xây dựng toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ. Các tính chất của toán tử này được phân tích, cho thấy vai trò quan trọng của nó trong việc chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định. Kết quả này có ý nghĩa lớn trong việc áp dụng lý thuyết vào các bài toán thực tế.
