Luận án tiến sĩ toán học: Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

MỞ ĐẦU. MỞ ĐẦU

1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1. Định lí cơ bản thứ hai

1.2. Định lí không gian con Schmidt

2. CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI ĐỐI VỚI ĐƯỜNG CONG NGUYÊN CÓ ĐẠO HÀM CẦU TRIỆT TIÊU TRÊN TẬP TẠO ẢNH CỦA MỘT MỤC TIÊU

2.1. Một số kiến thức chuẩn bị

2.1.1. Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna

2.1.2. Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình

2.1.3. Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liên quan

2.1.4. Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình

2.1.5. Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên

2.2. Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu

2.2.1. Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ

2.2.2. Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí Picard

2.2.3. Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên

2.3. Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu

2.3.1. Một số bổ đề

2.3.2. Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội

3. CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG GIAO ĐA TẠP ĐẠI SỐ XẠ ẢNH

3.1. Một số kiến thức chuẩn bị

3.1.1. Định giá trên trường số

3.1.2. Chuẩn hóa định giá và công thức tích

3.1.3. Độ cao Logarit và các hàm cơ bản

3.1.4. Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số

3.2. Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh

3.2.1. Một số bổ đề

3.2.2. Chứng minh Định lí 3

Kết luận và kiến nghị. Kết luận và kiến nghị

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Luận án tiến sĩ toán học

Luận án tiến sĩ toán học của Nguyễn Thanh Sơn tập trung vào hai định lý chính: Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động. Nghiên cứu này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS.TS Trần Văn Tấn. Luận án đã công bố các kết quả mới trên các tạp chí toán học uy tín trong nước và quốc tế, góp phần phát triển Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.

1.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các vấn đề liên quan đến Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody, và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Phạm vi nghiên cứu bao gồm Lí thuyết xấp xỉ Diophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng bao gồm Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, Giải tích phức, và Hình học phức. Những phương pháp này được kế thừa và phát triển để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án.

II. Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên

Định lí cơ bản thứ hai là một trong những trụ cột của Lí thuyết Nevanlinna, liên quan đến mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm đếm các giao điểm của ảnh ánh xạ với mục tiêu. Luận án tập trung vào việc thiết lập định lý này cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với điều kiện đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu.

2.1. Kiến thức chuẩn bị

Luận án trình bày các khái niệm cơ bản như hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevanlinna, toán tử Wronski, bổ đề đạo hàm Logarit, và họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Những kiến thức này là nền tảng để chứng minh các kết quả chính.

2.2. Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard

Luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu. Từ đó, Định lí Picard tương ứng cũng được chứng minh, mở rộng kết quả của Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.

III. Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động

Định lí không gian con Schmidt là một kết quả quan trọng trong Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai trong Lí thuyết Nevanlinna. Luận án tập trung vào việc thiết lập định lý này cho siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh.

3.1. Kiến thức chuẩn bị

Luận án giới thiệu các khái niệm như định giá trên trường số, chuẩn hóa định giá, độ cao Logarit, và họ siêu phẳng di động. Những khái niệm này là cơ sở để chứng minh Định lí không gian con Schmidt.

3.2. Định lí không gian con Schmidt

Luận án thiết lập Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây của Lê Giang, Chen-Ru-Yan, và Sĩ Đức Quang, đặc biệt trong trường hợp siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.

IV. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đóng góp vào sự phát triển của Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, đồng thời cung cấp các công cụ mới để nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và đường cong Brody. Các kết quả này có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, và nghiên cứu sinh trong lĩnh vực toán học.

Luận án tiến sĩ toán học: Khám phá Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động