I. Luận án tiến sĩ toán học
Luận án tiến sĩ toán học của Nguyễn Thanh Sơn tập trung vào hai định lý chính: Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động. Nghiên cứu này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS.TS Trần Văn Tấn. Luận án đã công bố các kết quả mới trên các tạp chí toán học uy tín trong nước và quốc tế, góp phần phát triển Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.
1.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các vấn đề liên quan đến Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody, và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Phạm vi nghiên cứu bao gồm Lí thuyết xấp xỉ Diophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng bao gồm Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, Giải tích phức, và Hình học phức. Những phương pháp này được kế thừa và phát triển để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án.
II. Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên
Định lí cơ bản thứ hai là một trong những trụ cột của Lí thuyết Nevanlinna, liên quan đến mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm đếm các giao điểm của ảnh ánh xạ với mục tiêu. Luận án tập trung vào việc thiết lập định lý này cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với điều kiện đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu.
2.1. Kiến thức chuẩn bị
Luận án trình bày các khái niệm cơ bản như hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevanlinna, toán tử Wronski, bổ đề đạo hàm Logarit, và họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Những kiến thức này là nền tảng để chứng minh các kết quả chính.
2.2. Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard
Luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu. Từ đó, Định lí Picard tương ứng cũng được chứng minh, mở rộng kết quả của Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.
III. Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động
Định lí không gian con Schmidt là một kết quả quan trọng trong Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai trong Lí thuyết Nevanlinna. Luận án tập trung vào việc thiết lập định lý này cho siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh.
3.1. Kiến thức chuẩn bị
Luận án giới thiệu các khái niệm như định giá trên trường số, chuẩn hóa định giá, độ cao Logarit, và họ siêu phẳng di động. Những khái niệm này là cơ sở để chứng minh Định lí không gian con Schmidt.
3.2. Định lí không gian con Schmidt
Luận án thiết lập Định lí không gian con Schmidt cho siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây của Lê Giang, Chen-Ru-Yan, và Sĩ Đức Quang, đặc biệt trong trường hợp siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
IV. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án đóng góp vào sự phát triển của Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, đồng thời cung cấp các công cụ mới để nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và đường cong Brody. Các kết quả này có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, và nghiên cứu sinh trong lĩnh vực toán học.
