Luận án tiến sĩ toán học: Nghiên cứu và giải pháp cho bài toán biên phi tuyến trong phương trình vi phân cấp bốn

• Tác giả: Nguyễn Thanh Hường
• Người hướng dẫn: GS. Đặng Quang Á
• Trường học: Viện Công nghệ Thông tin và Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Giải pháp cho bài toán biên phi tuyến phương trình vi phân cấp bốn
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu
• Danh sách hình vẽ
• Danh sách bảng
• Mục lục
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC BỔ TRỢ
• 1.1. Một số định lý điểm bất động
• 1.2. Giới thiệu chung
• 1.3. Định lý điểm bất động Schauder
• 1.4. Định lý điểm bất động Banach
• 1.5. Hàm Green đối với một số bài toán
• 1.6. Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao
• 1.6.1. Đạo hàm số
• 1.6.2. Tích phân số
• 1.7. Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson
• 1.8. Phương pháp giải hệ phương trình lưới
• 1.8.1. Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm
• 1.8.2. Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm
• 1.9. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG PHI TUYẾN CẤP BỐN ĐỊA PHƯƠNG
• 2.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp
• 2.2. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet
• 2.3. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến
• 3. CHƯƠNG 3: SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP BỐN
• 3.1. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa
• 3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
• 3.3. Phương pháp giải và ví dụ số
• 3.4. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff
• 3.5. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
• 3.6. Phương pháp giải và ví dụ số
• KẾT LUẬN CHUNG
• Danh mục các công trình đã công bố của Luận án
• Tài liệu tham khảo

I. Giới thiệu về luận án tiến sĩ toán học

Luận án tiến sĩ toán học này tập trung vào việc tìm giải pháp cho bài toán biên phi tuyến của phương trình vi phân cấp bốn. Nghiên cứu này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS. Đặng Quang Á và TS. Nguyễn Thanh Hường. Các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn mới, trung thực và chưa từng được công bố trước đây. Các thí nghiệm được thực hiện trên môi trường MATLAB, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của dữ liệu.

1.1. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu phương trình vi phân cấp bốn trong bối cảnh bài toán biên phi tuyến. Phạm vi nghiên cứu bao gồm việc áp dụng các phương pháp giải tích số và lý thuyết phương trình vi phân để tìm nghiệm chính xác. Luận án cũng đề cập đến các ứng dụng thực tiễn của phương trình vi phân phi tuyến trong các lĩnh vực như vật lý và cơ học.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp giải tích số và phương pháp lặp để giải quyết bài toán biên phi tuyến. Các kỹ thuật như phương pháp biến phân và định lý điểm bất động được áp dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Các kết quả thực nghiệm được kiểm tra và xác nhận thông qua các chương trình tính toán trên MATLAB.

II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp giải

Luận án dựa trên nền tảng lý thuyết phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng để phân tích bài toán biên phi tuyến. Các phương pháp giải tích số như phương pháp lặp và phương pháp biến phân được sử dụng để tìm nghiệm chính xác. Luận án cũng đề cập đến các phương trình vi phân cấp cao và phương trình toán học liên quan.

2.1. Lý thuyết phương trình vi phân

Luận án sử dụng lý thuyết phương trình vi phân để phân tích bài toán biên phi tuyến. Các khái niệm như phương trình vi phân cấp bốn và phương trình vi phân phi tuyến được giải thích chi tiết. Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng được áp dụng để chứng minh tính chính xác của các kết quả nghiên cứu.

2.2. Phương pháp giải tích số

Các phương pháp giải tích số như phương pháp lặp và phương pháp biến phân được sử dụng để giải bài toán biên phi tuyến. Luận án cũng đề cập đến các kỹ thuật giải tích số hiện đại như phương pháp rút gọn hoàn toàn và phương pháp truy đuổi để tìm nghiệm chính xác.

III. Kết quả nghiên cứu và ứng dụng

Luận án đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc giải quyết bài toán biên phi tuyến của phương trình vi phân cấp bốn. Các kết quả thực nghiệm được kiểm tra và xác nhận thông qua các chương trình tính toán trên MATLAB. Luận án cũng đề cập đến các ứng dụng thực tiễn của phương trình vi phân phi tuyến trong các lĩnh vực như vật lý và cơ học.

3.1. Kết quả thực nghiệm

Các kết quả thực nghiệm được trình bày chi tiết trong luận án, bao gồm các đồ thị và bảng số liệu. Các kết quả này được kiểm tra và xác nhận thông qua các chương trình tính toán trên MATLAB. Luận án cũng đề cập đến các phương pháp giải tích số được sử dụng để đạt được các kết quả này.

3.2. Ứng dụng thực tiễn

Luận án đề cập đến các ứng dụng thực tiễn của phương trình vi phân phi tuyến trong các lĩnh vực như vật lý và cơ học. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng để giải quyết các vấn đề thực tế như sự uốn cong của dầm và của bản. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để mở rộng ứng dụng của các kết quả này.