Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học "Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc", chuyên ngành Toán Giải tích (mã số: 62 46 01 02), do nghiên cứu sinh Nguyễn Trung Dũng thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Hà Bình Minh (bảo vệ năm 2018).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều hệ thống động lực chịu sự tác động của các biến động ngẫu nhiên từ môi trường bên ngoài (như thời tiết thay đổi trong các hệ thống năng lượng mặt trời, năng lượng gió) hoặc biến đổi cấu trúc nội tại (hỏng hóc đột xuất, tự động phục hồi linh kiện, chuyển mạch kênh kết nối trong mạng viễn thông, chuyển trạng thái trong điều khiển bay). Các hệ thống này được mô hình hóa phù hợp bởi hệ thống gồm hữu hạn các chế độ vận hành (mode), trong đó quy tắc chuyển đổi giữa các mode được điều khiển bởi một xích Markov hữu hạn – gọi là hệ nhảy Markov (Markov Jump Systems - MJS).

Bên cạnh yếu tố nhảy ngẫu nhiên, độ trễ thời gian (time-delay) xuất hiện phổ biến trong quá trình đo đạc, truyền tải và xử lý dữ liệu, là nguyên nhân gây suy giảm chất lượng vận hành hoặc làm mất ổn định hệ thống. Mặc dù lý thuyết hệ nhảy Markov có trễ đã nhận được nhiều sự quan tâm, tác giả luận án chỉ ra các khoảng trống khoa học cụ thể sau:

  • Bài toán ước lượng tập đạt được (Reachable Set Estimation - RSE) dưới tác động của nhiễu bị chặn đã được nghiên cứu nhiều trên các hệ tất định, nhưng chưa được thiết lập một cách hệ thống cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc có trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên cộng tính.
  • Các điều kiện ổn định phụ thuộc khoảng trễ cho hệ nhảy Markov phi tuyến rời rạc vẫn còn độ bảo thủ cao, đòi hỏi cải tiến các kỹ thuật ước lượng sai phân của phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii thông qua các bất đẳng thức tổng có trọng số.
  • Trong bài toán ổn định hóa, hầu hết các công trình trước đây đều giả định điều khiển đồng bộ (chế độ của bộ điều khiển trùng khớp hoàn toàn với chế độ của hệ thống). Giả thiết này không thực tế khi có trễ truyền thông hoặc hiện tượng mất gói dữ liệu. Do đó, việc thiết kế bộ điều khiển không đồng bộ cho hệ nhảy Markov rời rạc chứa nhiễu nhân tính là một vấn đề mở cần giải quyết.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung giải quyết 3 mục tiêu cụ thể:

  1. Đánh giá tập đạt được của lớp hệ nhảy Markov tuyến tính chứa trễ biến thiên với nhiễu ngẫu nhiên bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình.
  2. Thiết lập điều kiện ổn định và ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi trạng thái đối với một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc có trễ.
  3. Thiết kế điều khiển phản hồi dạng không đồng bộ ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu ngẫu nhiên nhân tính.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên mô tả hệ nhảy Markov rời rạc: hệ tuyến tính có trễ biến thiên và nhiễu cộng tính bị chặn, hệ phi tuyến có trễ biến thiên với ma trận xác suất chuyển biết một phần, hệ tuyến tính có trễ phụ thuộc mode, và hệ tuyến tính có nhiễu nhân tính.
  • Phạm vi nghiên cứu:
    • Miền thời gian rời rạc $k \in \mathbb{Z}_0 = {0, 1, 2, \dots}$.
    • Không gian trạng thái của xích Markov là tập hữu hạn $\mathcal{M} = {1, 2, \dots, m}$.
    • Hàm trễ thời gian $\tau(k)$ là trễ nguyên biến thiên bị chặn trong khoảng xác định: $\tau_l \le \tau(k) \le \tau_u$ (hoặc trễ phụ thuộc mode $\tau(k, r_k)$).
    • Nhiễu ngẫu nhiên cộng tính bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình; nhiễu nhân tính là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng bằng 0 và phương sai xác định.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được điểm lại trong văn bản

Tác giả đã hệ thống hóa lịch sử phát triển của lý thuyết hệ nhảy Markov và hệ có trễ qua các mốc nghiên cứu chính:

  • Khởi nguồn lý thuyết hệ nhảy Markov: Krasovskii và Lidskii (1960) [43] lần đầu tiên sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp nguyên lý quy hoạch động để giải bài toán điều khiển tối ưu. Sworder (1969) [72] áp dụng nguyên lý cực đại ngẫu nhiên nghiên cứu điều khiển phản hồi cho hệ Markov tuyến tính; Sworder và Rogers (1983) [73] giải bài toán điều khiển tối ưu toàn phương cho hệ thống năng lượng mặt trời. Morozan [56], Mariton (1990) [54], Ji và Chizeck (1990) [38] phát triển bài toán điều khiển được và ổn định hóa. Boukas (1995) [8] khảo sát tính ổn định của hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc.
  • Phương pháp hàm Lyapunov ngẫu nhiên và LMIs: Bắt nguồn từ luận án tiến sĩ của Lyapunov (1892), phương pháp hàm Lyapunov thứ hai dạng ngẫu nhiên được phát triển bởi Bertram và Sarachik [7], Kats và Krasovskii [41], Kushner [45]. Phương pháp bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) được chuẩn hóa và ứng dụng rộng rãi bởi Boyd và các cộng sự (1994) [10].
  • Hệ động lực có trễ và phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF): Các công trình của Fridman [25], Gu, Kharitonov và Chen (2003) [30], Niculescu (2001) [58] phát triển phương pháp LKF cho hệ có trễ. Các kỹ thuật giảm độ bảo thủ cho hệ rời rạc được đề xuất gần đây gồm bất đẳng thức Wirtinger rời rạc của Seuret và Gouaisbaut (2013) [68], bất đẳng thức tổng Jensen cải tiến của He, Liu, Xiong và Wu (2014) [33].
  • Hệ nhảy Markov có trễ và điều khiển: Boukas [9], Mahmoud [50, 51], Mao [53], Shi và Boukas [67], Yao và các cộng sự [85, 86, 87] nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên, ổn định $H_\infty$, điều khiển đảm bảo giá trị, và điều khiển trượt khi ma trận xác suất chuyển biết một phần.
  • Bài toán ước lượng tập đạt được (RSE): Xuất hiện từ cuối thập niên 1960, được phát triển trên hệ tất định có trễ bởi Fridman và Shaked (2003) [26], Gouaisbaut và Peaucelle [31], Kuntsevich [46], Shen và các cộng sự [66].
  • Điều khiển không đồng bộ cho hệ Markov: Shen, Wu, Park (2012) [65], Wu, Shi, Su, Lu (2014) [81] nghiên cứu hệ có nhiễu; tuy nhiên phần lớn tập trung vào điều khiển đồng bộ. Hạn chế của điều khiển đồng bộ và nhu cầu điều khiển không đồng bộ được nhấn mạnh bởi Liu, Ho, Niu (2009) [49].

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

  1. Thiết lập bài toán RSE cho hệ nhảy Markov rời rạc có trễ: Do trạng thái là biến ngẫu nhiên, các kỹ thuật bao tập ellipsoid tất định không thể áp dụng trực tiếp mà cần xây dựng khái niệm tập đạt được bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình ($\gamma$-MSB).
  2. Xây dựng bất đẳng thức tổng có trọng số mới nhằm cải tiến đánh giá sai phân của hàm LKF, từ đó mở rộng miền ổn định cho hệ nhảy Markov phi tuyến có trễ và xác suất chuyển không đầy đủ.
  3. Thiết lập khung phân tích và tổng hợp bộ điều khiển phản hồi trạng thái không đồng bộ giải quyết bài toán ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc chịu tác động đồng thời của nhiễu nhân tính và thông tin chuyển mode không hoàn hảo.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và khung phân tích

Luận án vận dụng các khái niệm và công cụ giải tích toán học chặt chẽ:

  • Giải tích ngẫu nhiên: Không gian xác suất đầy đủ $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, $\sigma$-đại số Borel $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$, biến ngẫu nhiên khả tích, kỳ vọng $E[\cdot]$, và kỳ vọng có điều kiện $E[\cdot | \mathcal{A}]$ với các tính chất $E[E[\xi|\mathcal{A}]] = E[\xi]$, $E[\xi \eta | \mathcal{A}] = \eta E[\xi | \mathcal{A}]$ khi $\eta$ đo được đối với $\mathcal{A}$.
  • Xích Markov rời rạc thuần nhất hữu hạn: Dãy biến ngẫu nhiên ${r_k}{k \in \mathbb{Z}0}$ nhận giá trị trong $\mathcal{M} = {1, 2, \dots, m}$ với ma trận xác suất chuyển $\Pi = (\pi{ij}){m \times m}$ thỏa mãn $\pi_{ij} \ge 0$, $\sum_{j \in \mathcal{M}} \pi_{ij} = 1$, và phương trình Chapman-Kolmogorov $\Pi^{(s+m)} = \Pi^{(s)}\Pi^{(m)}$.
  • Các khái niệm ổn định ngẫu nhiên:
    • Ổn định tiệm cận bình phương trung bình (AMSS): $\lim_{k \to \infty} E[|x(k)|^2] = 0$.
    • Ổn định mũ bình phương trung bình (EMSS): $E[|x(k)|^2] \le c |x_0|^2 \alpha^k$ với $c > 0, \alpha \in (0, 1)$.
    • Ổn định ngẫu nhiên (SS): $\sum_{k=0}^{\infty} E[|x(k)|^2] < \infty$.
    • Ổn định tiệm cận hầu chắc chắn (ASS): $P\left{\lim_{k \to \infty} |x(k)| = 0\right} = 1$.
    • Tập đạt được bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình ($\gamma$-MSB): $E[|x(k)|^2] \le \gamma, \forall k \in \mathbb{Z}_0$.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF) dạng ngẫu nhiên: Xây dựng các phiếm hàm $V(x_k, r_k)$ phụ thuộc mode chứa các số hạng tổng hữu hạn đơn, kép và bội ba có trọng số suy giảm $\alpha^{k-v-1}$ kết hợp kỹ thuật phân hoạch đoạn trễ (chia đoạn $[\tau_l, \tau_u]$ thành các đoạn con bởi điểm chia $\tau_a$).
  • Giải tích ma trận và tối ưu hóa lồi: Kỹ thuật bù Schur (Schur complement), bổ đề Finsler (bổ đề phép chiếu), bổ đề Rayleigh cho dạng toàn phương ma trận đối xứng, bất đẳng thức Jensen tổng rời rạc mở rộng và bất đẳng thức dạng Wirtinger.
  • Kỹ thuật tuyến tính hóa ma trận: Đổi biến ma trận, tách tích ma trận phi tuyến để đưa các điều kiện ổn định và ổn định hóa về hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs).
  • Nguồn dữ liệu và kiểm chứng tính toán: Thiết lập các mô hình số học mô phỏng, giải hệ LMIs bằng công cụ LMI Control Toolbox trong phần mềm MATLAB (phiên bản R2013a).

Nội dung chính theo từng chương

CẤU TRÚC NỘI DUNG TOÁN HỌC CỦA LUẬN ÁN:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các định lý, khái niệm cơ sở phục vụ cho các chương phát triển kết quả mới:

  1. Lý thuyết xác suất và xích Markov: Trình bày chi tiết cấu trúc không gian xác suất $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, định nghĩa kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, phương trình Chapman-Kolmogorov, và phân phối dừng.
  2. Mô hình hóa thực tế hệ nhảy Markov rời rạc: Giới thiệu 3 bài toán vật lý/kỹ thuật làm động lực nghiên cứu:
    • Hệ thống máy sản xuất: Mô hình quản lý hàng tồn kho $x(k+1) = x(k) + u(k) - d$ (khi máy hoạt động, $r_k=1$) và $x(k+1) = x(k) - d$ (khi máy hỏng, $r_k=0$).
    • Hệ thống đun nước bằng năng lượng mặt trời: Nhiệt lượng nhận được chuyển đổi giữa hai chế độ "có nắng" ($r_k=1$) và "nhiều mây" ($r_k=2$).
    • Hệ thống điều khiển qua mạng (Networked Control Systems): Tín hiệu truyền qua kênh mạng chịu trễ ngẫu nhiên $\tau(k, r_k)$ phụ thuộc vào chế độ hoạt động $r_k$.
  3. Phân tích tính ổn định hệ tuyến tính không trễ $x(k+1) = A(r_k)x(k)$: Chứng minh sự tương đương giữa tính ổn định tiệm cận với điều kiện bán kính phổ $r_\sigma(\mathcal{A}) < 1$ (trong đó $\mathcal{A} = (\Pi^T \otimes I_{n^2})\text{diag}(A_i \otimes A_i)$) và sự tồn tại các ma trận $P_i > 0$ thỏa mãn hệ LMI: $$\sum_{j=1}^m \pi_{ij} A_i^T P_j A_i - P_i < 0, \quad \forall i \in \mathcal{M}$$ Đồng thời, chương phân tích các phản ví dụ số chỉ ra rằng tính ổn định của từng mode riêng lẻ không đảm bảo tính ổn định của toàn hệ Markov và ngược lại.
  4. Các bổ đề giải tích bổ trợ: Trình bày bất đẳng thức Rayleigh, bổ đề bù Schur dạng mở rộng, bất đẳng thức tổng Jensen suy rộng với trọng số $\alpha^{k-i}$ (Bổ đề 1.4), bất đẳng thức chặn dưới ma trận phụ thuộc tham số $\mu \in (0, 1)$ (Bổ đề 1.5 và Bổ đề 1.6), bổ đề phép chiếu (Bổ đề 1.7), và bất đẳng thức tổng cấp cao dạng Wirtinger (Bổ đề 1.8).

Chương 2: Đánh giá tập đạt được của lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên

Chương 2 giải quyết bài toán ước lượng tập đạt được (RSE) cho hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên cộng tính: $$x(k + 1) = A(r_k)x(k) + D(r_k)x(k - \tau(k)) + B(r_k)w(k), \quad k \in \mathbb{Z}_0 \tag{2.1}$$ với điều kiện đầu $x(k) = 0$ trên $\mathbb{Z}[-\tau_u, 0]$, trễ $\tau_l \le \tau(k) \le \tau_u$, và nhiễu $w(k)$ thỏa mãn $E[w^T(k)w(k)] \le \bar{w}$.

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii cải tiến

Để bao tập đạt được bởi tập ellipsoid theo nghĩa bình phương trung bình, tác giả chọn điểm phân hoạch $\tau_a \in (\tau_l, \tau_u)$ (đặt $\delta_l = \tau_a - \tau_l, \delta_u = \tau_u - \tau_a, \delta_\tau = \tau_u - \tau_l$) và cấu trúc phiếm hàm LKF 5 thành phần: $$V(x_k, r_k) = \sum_{j=1}^5 V_j(x_k, r_k)$$ trong đó:

  • $V_1(x_k, r_k) = x^T(k) P(r_k) x(k)$ với $P(r_k) = P_i > 0$ khi $r_k = i$.
  • $V_2(x_k, r_k) = \sum_{s=-\tau_u+1}^{-\tau_l+1} \sum_{v=k+s-1}^{k-1} \alpha^{k-v-1} x^T(v) S x(v)$.
  • $V_3(x_k, r_k) = \sum_{s=-\tau_u}^{-\tau_l} \sum_{t=s}^{-1} \sum_{v=k+t}^{k-1} \alpha^{k-v-1} z^T(v) W z(v)$ với $z(v) = x(v+1) - x(v)$.
  • $V_4(x_k, r_k) = \sum_{l=k-\tau_u}^{k-1} \alpha^{k-l-1} x^T(l) Q_1 x(l) + \sum_{l=k-\tau_a}^{k-1} \alpha^{k-l-1} x^T(l) Q_2 x(l) + \sum_{l=k-\tau_l}^{k-1} \alpha^{k-l-1} x^T(l) Q_3 x(l)$.
  • $V_5(x_k, r_k) = \sum_{l=-\tau_u}^{-\tau_a-1} \sum_{v=k+l}^{k-1} \alpha^{k-v} z^T(v) R_1 z(v) + \sum_{l=-\tau_a}^{-\tau_l-1} \sum_{v=k+l}^{k-1} \alpha^{k-v} z^T(v) R_2 z(v) + \sum_{l=-\tau_l}^{-1} \sum_{v=k+l}^{k-1} \alpha^{k-v} z^T(v) R_3 z(v)$.

Kết quả lý thuyết chính (Định lý 2.1 và Hệ quả 2.1)

  • Định lý 2.1: Thiết lập điều kiện đủ để hệ (2.1) đạt tính chất $\gamma$-MSB. Nếu tồn tại số nguyên $\tau_a \in (\tau_l, \tau_u)$, hằng số $\alpha \in (0, 1)$, $\beta > 0$, các ma trận $P_0, P_i, Q_j, R_j, S, W \in \mathcal{S}n^+$ và các ma trận $X, Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$ thỏa mãn: $$\Theta_i^{(1)}(\alpha) = \begin{bmatrix} \Phi_i(\alpha) - \Xi^{(1)}(\alpha) & \Psi_i \ \Psi_i^T & -\Delta_i \end{bmatrix} < 0, \quad \Theta_i^{(2)}(\alpha) = \begin{bmatrix} \Phi_i(\alpha) - \Xi^{(2)}(\alpha) & \Psi_i \ \Psi_i^T & -\Delta_i \end{bmatrix} < 0, \quad \forall i \in \mathcal{M}$$ và $P_i \ge P_0$, thì tập đạt được của hệ (2.1) nằm trong ellipsoid: $$\mathcal{E}(P_0, \gamma) = \left{ x \in \mathbb{R}^n : E[x^T(k) P_0 x(k)] \le \frac{\beta \bar{w}}{1 - \alpha} \right}$$ và hệ là $\gamma$-MSB với bán kính chặn: $$\gamma = \frac{\beta \bar{w}}{(1 - \alpha)\lambda{\min}(P_0)}$$
  • Hệ quả 2.1: Khi hệ không có nhiễu ($w(k) \equiv 0$), các điều kiện trên bảo đảm tính ổn định mũ bình phương trung bình: $$E[|x(k)|^2] \le \frac{\lambda_2}{\lambda_1} |\phi|^2 \alpha^k, \quad \forall k \in \mathbb{Z}_0$$

Dữ liệu ví dụ kiểm chứng số

Luận án thực hiện tính toán số trên mô hình hệ 2 mode ($m=2$) trong không gian $\mathbb{R}^3$:

  • Ma trận xác suất chuyển: $\Pi = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix}$.
  • Ma trận các mode:
    • Mode 1: $A_1 = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.1 & 0 \ 0 & 0.75 & 0.2 \ 0.1 & 0 & 0.7 \end{bmatrix}$, $D_1 = \begin{bmatrix} -0.1 & 0 & 0.05 \ 0 & 0.1 & 0 \ 0.05 & 0 & -0.1 \end{bmatrix}$, $B_1 = \begin{bmatrix} 0.1 \ 0.2 \ 0.1 \end{bmatrix}$.
    • Mode 2: $A_2 = \begin{bmatrix} 0.7 & 0 & 0.1 \ 0.1 & 0.8 & 0 \ 0 & 0.1 & 0.75 \end{bmatrix}$, $D_2 = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.05 & 0 \ 0 & -0.1 & 0.05 \ 0.05 & 0 & 0.1 \end{bmatrix}$, $B_2 = \begin{bmatrix} 0.2 \ 0.1 \ 0.11 \end{bmatrix}$.
  • Khoảng trễ: $\tau(k) \in [3, 6]$ ($\tau_l = 3, \tau_u = 6$). Cố định $\tau_a = 5$ và $\alpha = 0.85$.
  • Kết quả giải số trên MATLAB R2013a: Thu được $\beta = 0.2587$ và $\lambda_{\min}(P_0) = 1.1352$, từ đó xác định chặn lý thuyết $\gamma = \frac{0.2587 \bar{w}}{(1 - 0.85) \times 1.1352} = 1.5193 \bar{w}$ (với $\bar{w} = 0.05$, thu được $\gamma = 0.0760$; với cận trên thiết lập trong mô phỏng là $\gamma = 0.1229$). Mô phỏng quỹ đạo ngẫu nhiên của chuẩn $|x(k)|^2$ hoàn toàn nằm trong miền hình cầu giới hạn, khẳng định tính chính xác của lý thuyết.

Chương 3: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc có trễ biến thiên

Chương 3 gồm hai nội dung nghiên cứu độc lập:

Phần 1: Tính ổn định của lớp hệ nhảy Markov phi tuyến rời rạc có trễ biến thiên

Xét hệ phi tuyến: $$x(k + 1) = A(r_k)x(k) + A_d(r_k)x(k - \tau(k)) + F(r_k, x(k), x(k - \tau(k))), \quad k \in \mathbb{Z}_0 \tag{3.1}$$ với trễ $\tau_1 \le \tau(k) \le \tau_2$.

  • Giả thiết nhiễu phi tuyến (A1): $F(i, 0, 0) = 0$ và tồn tại các ma trận $G_i, H_i$ sao cho: $$F^T(i, u, v) F(i, u, v) \le u^T G_i u + v^T H_i v, \quad \forall u, v \in \mathbb{R}^n$$ Tác giả chứng minh điều kiện này bao hàm các dạng nhiễu phổ biến trong tài liệu [51] ($F(i, x, x_d) = B_i f(k, r_k, x_d)$ với $|f|^2 \le \epsilon_i |x_d|^2$) và [85] ($|F(i, u, v)| \le |C_i u| + |D_i v|$).
  • Giả thiết xác suất chuyển biết một phần (A2): Tập các mode $\mathcal{M}$ được chia thành $\mathcal{M}a^{(i)} = {j \in \mathcal{M} : \pi{ij} \text{ đã biết}}$ và $\mathcal{M}{na}^{(i)} = {j \in \mathcal{M} : \pi{ij} \text{ chưa biết}}$.
  • Bổ đề 3.1 & Định lý ổn định: Thiết lập tiêu chuẩn nếu tồn tại phiếm hàm LKF thỏa mãn $\lambda_1 |x(k)|^2 \le V(x_k, r_k) \le \lambda_2 |x_k|^2$ và: $$E[V(x_{k+1}, r_{k+1}) | x_k, r_k] - V(x_k, r_k) \le -(1 - \alpha) V(x_k, r_k)$$ thì hệ (3.1) vừa đạt tính ổn định ngẫu nhiên (SS), vừa đạt tính ổn định tiệm cận hầu chắc chắn (ASS). Dựa trên bất đẳng thức tổng có trọng số, luận án thiết lập điều kiện ổn định ngẫu nhiên dạng LMIs phụ thuộc khoảng trễ.

Phần 2: Ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính có trễ phụ thuộc mode bằng điều khiển phản hồi đồng bộ

Xét hệ điều khiển: $$x(k + 1) = A(r_k)x(k) + A_d(r_k)x(k - \tau(k, r_k)) + B(r_k)u(k), \quad k \in \mathbb{Z}_0 \tag{3.3}$$

  • Thiết kế luật điều khiển phản hồi trạng thái đồng bộ: $u(k) = K(r_k)x(k) = K_i x(k)$ khi $r_k = i$.
  • Hệ kín tương ứng có dạng: $x(k + 1) = [A(r_k) + B(r_k)K(r_k)]x(k) + A_d(r_k)x(k - \tau(k, r_k))$.
  • Bằng cách áp dụng biến đổi ma trận và bất đẳng thức tổng Jensen cải tiến, luận án đưa ra hệ điều kiện LMIs để xác định đồng thời các ma trận Lyapunov $P_i$ và ma trận độ lợi điều khiển $K_i = Y_i X_i^{-1}$, bảo đảm hệ kín ổn định ngẫu nhiên đối với các độ trễ biến thiên theo từng mode.

Chương 4: Điều khiển không đồng bộ ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính

Chương 4 nghiên cứu bài toán ổn định hóa khi có sự sai lệch mode giữa hệ thống và bộ điều khiển, dưới tác động của nhiễu ngẫu nhiên nhân tính: $$x(k + 1) = [A_1(r_k) + w(k)\hat{A}(r_k)]x(k) + [B(r_k) + w(k)\hat{B}(r_k)]u(k), \quad k \in \mathbb{Z}_0 \tag{4.1}$$ trong đó ${w(k)}$ là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn $E[w(k)] = 0$, $E[w^2(k)] = \sigma^2 > 0$.

Cơ chế điều khiển không đồng bộ

Do trễ truyền thông hoặc mất gói tin trên mạng, tín hiệu chuyển mode của bộ điều khiển ${\gamma_k}$ không đồng nhất với xích Markov ${r_k}$ của hệ thống. Tác giả thiết kế bộ điều khiển phản hồi không đồng bộ: $$u(k) = G(\gamma_k)x(k) = G_\nu x(k) \quad \text{khi } \gamma_k = \nu \in \mathcal{N} = {1, 2, \dots, N}$$ Quá trình chuyển đổi ghép giữa $(r_k, \gamma_k)$ tạo thành một xích Markov mở rộng trên không gian $\mathcal{M} \times \mathcal{N}$ với xác suất chuyển có điều kiện $P{\gamma_k = \nu | r_k = i} = \mu_{i\nu}$.

Bảng tổng hợp các lớp hệ và kết quả điều khiển trong luận án

Chương Lớp hệ động lực Dạng trễ thời gian Bản chất nhiễu Cơ chế điều khiển / Đánh giá Trạng thái ma trận $\Pi$
Chương 2 Tuyến tính (E1) Biến thiên $\tau_l \le \tau(k) \le \tau_u$ Cộng tính, $E[w^T w] \le \bar{w}$ Đánh giá tập đạt được ($\gamma$-MSB) Đầy đủ
Chương 3 (P.1) Phi tuyến (E2) Biến thiên $\tau_1 \le \tau(k) \le \tau_2$ Phi tuyến $F(r_k, x, x_d)$ Phân tích ổn định ngẫu nhiên (SS, ASS) Biết một phần
Chương 3 (P.2) Tuyến tính (E3) Phụ thuộc mode $\tau(k, r_k)$ Không có Phản hồi đồng bộ $u(k) = K(r_k)x(k)$ Đầy đủ
Chương 4 Tuyến tính (E4) Không trễ Nhân tính $w(k)$, phương sai $\sigma^2$ Phản hồi không đồng bộ $u(k) = G(\gamma_k)x(k)$ Đầy đủ & Biết một phần

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Thiết lập khung phân tích RSE cho hệ nhảy Markov rời rạc có trễ: Đề xuất phương pháp đánh giá tập đạt được dạng ellipsoid thông qua moment cấp hai $E[x^T(k) P_0 x(k)]$, khắc phục hạn chế không áp dụng được của các phương pháp tất định truyền thống sang hệ ngẫu nhiên.
  2. Cải tiến kỹ thuật ước lượng sai phân LKF: Xây dựng và chứng minh các bất đẳng thức tổng có trọng số mới kết hợp phân hoạch khoảng trễ, cho phép thu được các điều kiện ổn định ngẫu nhiên ít bảo thủ hơn cho hệ phi tuyến có trễ và ma trận xác suất chuyển không đầy đủ.
  3. Mở rộng lý thuyết điều khiển không đồng bộ: Xây dựng thành công thuật toán thiết kế ma trận độ lợi $G_\nu$ cho bộ điều khiển không đồng bộ đối với hệ Markov chứa nhiễu nhân tính, xử lý trọn vẹn cả hai trường hợp xác suất chuyển biết đầy đủ và biết một phần.

Đóng góp về mặt ứng dụng và công bố khoa học

  • Tính khả thi thuật toán: Toàn bộ các tiêu chuẩn ổn định, ước lượng tập đạt được và thiết kế bộ điều khiển trong luận án đều được biểu diễn dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs), có thể kiểm tra và giải số bằng thuật toán tối ưu đa thức lồi thông qua MATLAB LMI Toolbox.
  • Công bố khoa học: Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế uy tín thuộc danh mục ISI và 01 bản thảo gửi đăng.
  • Báo cáo học thuật: Các kết quả đã được báo cáo tại Xêmina bộ môn Giải tích (ĐH Sư phạm Hà Nội 2), Xêmina Phương trình vi phân và tích phân (ĐH Sư phạm Hà Nội), Xêmina Phòng Tối ưu và Điều khiển (Viện Toán học - VAST), Hội nghị toàn quốc lần thứ V "Xác suất - Thống kê: Nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy" (Đà Nẵng, 2015), và Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14 (Ba Vì, 2016).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án

Căn cứ theo nội dung và phạm vi nghiên cứu được tác giả trình bày:

  • Các kết quả mới dừng lại ở mô hình hệ rời rạc với trễ nguyên, chưa mở rộng cho các hệ có cấu trúc trễ phức tạp như trễ phân bố (distributed delays) hay trễ vô hạn.
  • Nhiễu cộng tính trong bài toán RSE giới hạn ở lớp nhiễu bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình; chưa khảo sát lớp nhiễu có năng lượng bị chặn tích phân (dạng $\ell_2$-norm).
  • Cấu trúc nhiễu phi tuyến ở Chương 3 bị ràng buộc bởi điều kiện chặn toàn phương dạng (A1), chưa bao quát toàn bộ các lớp phi tuyến tổng quát không thỏa mãn điều kiện Lipschitz.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng bài toán RSE và điều khiển không đồng bộ cho hệ nhảy bán Markov rời rạc (semi-Markov jump systems) - nơi thời gian lưu tại các mode không nhất thiết tuân theo phân phối hình học.
  • Nghiên cứu bài toán lọc $H_\infty$ và thiết kế bộ quan sát trạng thái không đồng bộ cho hệ nhảy Markov rời rạc có trễ và nhiễu nhân tính.
  • Kết hợp bài toán RSE với các ràng buộc về bão hòa cơ cấu chấp hành (actuator saturation) trong các hệ thống điều khiển mạng thực tế.

Giá trị tham khảo

Đối tượng thụ hưởng

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Chuyên ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng, Tối ưu và Điều khiển hệ thống có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo chuyên khảo về kỹ thuật xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii ngẫu nhiên và biến đổi LMIs.
  • Kỹ sư và nhà nghiên cứu kỹ thuật điều khiển tự động: Ứng dụng trong việc thiết kế vùng an toàn (safety region) cho robot, điều khiển tự động qua mạng viễn thông có trễ truyền thông và mất gói tin, hoặc quản lý ổn định lưới điện vi mô sử dụng năng lượng tái tạo.

Các phần nội dung đáng tham khảo

  • Chương 1 (Mục 1.5 & 1.6): Hệ thống các bổ đề giải tích ma trận (Schur, Jensen mở rộng, Wirtinger rời rạc, Finsler) được chứng minh chi tiết, rất thuận tiện để trích dẫn và áp dụng cho các bài toán phân tích hệ rời rạc.
  • Chương 2 (Mục 2.2): Lược đồ 5 bước chứng minh phiếm hàm LKF phân hoạch trễ và kỹ thuật đưa về ma trận khối $\Theta_i(\alpha)$ để ước lượng tập đạt được.
  • Chương 4 (Mục 4.2): Kỹ thuật mô hình hóa không gian ghép để giải bài toán điều khiển không đồng bộ khi thông tin chuyển mode bị khiếm khuyết.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm tập đạt được $\gamma$-bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình ($\gamma$-MSB) trong Chương 2 được định nghĩa như thế nào?

Theo Định nghĩa 2.1 của luận án, với một số dương $\gamma > 0$ cho trước, hệ nhảy Markov rời rạc có trễ (2.1) xuất phát từ điểm gốc ($x(k) = 0$ trên $\mathbb{Z}[-\tau_u, 0]$) được gọi là $\gamma$-bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình ($\gamma$-MSB) nếu mọi nghiệm $x(k)$ dưới tác động của nhiễu $w(k)$ thỏa mãn $E[w^T(k)w(k)] \le \bar{w}$ đều thỏa mãn đánh giá: $$E[|x(k)|^2] \le \gamma, \quad \forall k \in \mathbb{Z}0$$ Giá trị $\gamma$ được xác định tường minh qua công thức $\gamma = \frac{\beta \bar{w}}{(1 - \alpha)\lambda{\min}(P_0)}$.

2. Cấu trúc phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii sử dụng trong Chương 2 có đặc điểm gì đặc biệt?

Phiếm hàm $V(x_k, r_k)$ gồm 5 số hạng ($V_1$ đến $V_5$). Điểm đặc thù là việc kết hợp trọng số suy giảm mũ $\alpha^{k-v-1}$ bên trong các số hạng tổng hữu hạn kép và bội ba, cùng với kỹ thuật phân hoạch đoạn trễ $[\tau_l, \tau_u]$ bởi điểm chia $\tau_a$. Điều này cho phép tách sai phân của các số hạng trễ thành hai miền $[\tau_l, \tau_a]$ và $[\tau_a, \tau_u]$, giúp áp dụng các bất đẳng thức ma trận độc lập trên từng khoảng nhằm giảm thiểu tối đa độ bảo thủ của điều kiện LMI.

3. Vì sao luận án cần nghiên cứu điều khiển không đồng bộ trong Chương 4 thay vì tiếp tục sử dụng điều khiển đồng bộ?

Điều khiển đồng bộ giả thiết rằng mode của bộ điều khiển $\gamma_k$ luôn trùng khớp tức thời với mode $r_k$ của hệ thống. Trong thực tiễn điều khiển qua mạng viễn thông, do tồn tại trễ truyền dữ liệu (communication delays) và hiện tượng mất gói tin (data packet dropouts), trạm điều khiển không thể nhận biết chính xác và tức thời trạng thái mode của hệ. Do đó, việc xây dựng bộ điều khiển không đồng bộ $u(k) = G(\gamma_k)x(k)$ với xác suất chuyển có điều kiện phản ánh chính xác các giới hạn vật lý của hệ thống thực.

4. Giả thiết (A1) về nhiễu phi tuyến trong Chương 3 bao hàm những lớp hàm nào đã được công bố trước đó?

Giả thiết (A1) yêu cầu $F^T(i, u, v)F(i, u, v) \le u^T G_i u + v^T H_i v$. Luận án chứng minh rõ giả thiết này bao hàm hai lớp hàm phi tuyến:

  • Lớp hàm trong công trình của Mahmoud (2009) [51]: $F = B_i f(k, r_k, x(k - \tau(k)))$ với $|f|^2 \le \epsilon_i |x|^2$, tương ứng với $G_i = 0$ và $H_i = \epsilon_i |B_i|^2 I_n$.
  • Lớp hàm trong công trình của Yao và các cộng sự (2014) [85]: $|F(i, u, v)| \le |C_i u| + |D_i v|$, tương ứng với $G_i = 2 C_i^T C_i$ và $H_i = 2 D_i^T D_i$.

5. Điều kiện cần và đủ để hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc không trễ ổn định tiệm cận ở Chương 1 là gì?

Hệ $x(k+1) = A(r_k)x(k)$ với xích Markov thuần nhất hữu hạn có ma trận xác suất chuyển $\Pi$ ổn định tiệm cận khi và chỉ khi bán kính phổ $r_\sigma(\mathcal{A}) < 1$, trong đó ma trận $\mathcal{A}$ được định nghĩa bởi tích Kronecker: $$\mathcal{A} = (\Pi^T \otimes I_{n^2}) \text{diag}(A_1 \otimes A_1, A_2 \otimes A_2, \dots, A_m \otimes A_m)$$ Điều này tương đương với sự tồn tại của bộ ma trận đối xứng xác định dương $P_i \in \mathcal{S}n^+$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận Lyapunov $\sum{j=1}^m \pi_{ij} A_i^T P_j A_i - P_i < 0$ với mọi $i \in \mathcal{M}$.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Trung Dũng đã giải quyết một cách có hệ thống các bài toán cơ bản về phân tích định tính và thiết kế điều khiển cho một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc có trễ và chịu tác động của nhiễu. Bằng việc kết hợp phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii dạng ngẫu nhiên với các bất đẳng thức ma trận cải tiến và kỹ thuật phân hoạch đoạn trễ, tác giả đã thiết lập các điều kiện đủ dạng LMIs cho bài toán ước lượng tập đạt được, bài toán ổn định ngẫu nhiên và ổn định hóa không đồng bộ. Các kết quả đạt được có độ tin cậy khoa học cao, được kiểm chứng qua các ví dụ giải số trên phần mềm MATLAB và đã được công bố trên 03 bài báo thuộc danh mục tạp chí quốc tế ISI uy tín.