I. Tính liên tục Holder của nghiệm phương trình Monge Ampère
Tính liên tục Holder là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu nghiệm của phương trình Monge-Ampère. Luận án tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại và tính chất liên tục Holder của nghiệm trên các miền giả lồi không trơn, đa điều hòa dưới loại m. Các kết quả chính bao gồm việc xác định điều kiện đủ để nghiệm của bài toán Dirichlet liên quan đến toán tử Monge-Ampère phức có tính liên tục Holder. Điều này được thực hiện thông qua việc phân tích các hàm đa điều hòa dưới và sử dụng các kỹ thuật trong phân tích toán học.
1.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet
Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère được nghiên cứu trên các miền giả lồi không trơn. Luận án chứng minh sự tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán này dưới các điều kiện nhất định. Cụ thể, nghiệm được chứng minh là hàm liên tục và thỏa mãn các tính chất đặc biệt của hàm đa điều hòa dưới. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây về bài toán Dirichlet trên các miền trơn.
1.2 Tính liên tục Holder của nghiệm
Nghiên cứu sâu về tính liên tục Holder của nghiệm phương trình Monge-Ampère được thực hiện thông qua việc phân tích các hàm đa điều hòa dưới và các điều kiện biên. Luận án chỉ ra rằng nghiệm của bài toán Dirichlet có tính liên tục Holder trên các miền giả lồi không trơn, đa điều hòa dưới loại m. Điều này được chứng minh bằng cách sử dụng các kỹ thuật trong giải tích phức và phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng.
II. Sự ổn định của nghiệm phương trình Monge Ampère
Sự ổn định nghiệm là một vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu phương trình Monge-Ampère. Luận án tập trung vào việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm thông qua việc phân tích sự hội tụ của các dãy hàm đa điều hòa dưới và các độ đo Monge-Ampère tương ứng. Các kết quả chính bao gồm việc xác định các điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère và sự hội tụ theo Cn-dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới.
2.1 Nguyên lý so sánh cho các hàm lớp Cegrell
Luận án sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère. Cụ thể, các hàm thuộc lớp Cegrell được phân tích để xác định các điều kiện đảm bảo sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm.
2.2 Sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới
Nghiên cứu sự hội tụ theo Cn-dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới là một phần quan trọng trong việc chứng minh tính ổn định của nghiệm. Luận án chỉ ra rằng sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới kéo theo sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère tương ứng. Điều này được chứng minh thông qua các kỹ thuật trong toán học ứng dụng và phân tích toán học.
III. Thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới
Thác triển dưới cực đại là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị. Luận án tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất của hàm thác triển dưới cực đại và sự hội tụ theo dung lượng của các hàm này. Các kết quả chính bao gồm việc xác định các điều kiện để tồn tại hàm thác triển dưới cực đại và nghiên cứu các tính chất của chúng, đặc biệt là liên quan đến toán tử Monge-Ampère phức.
3.1 Tính chất của các hàm thuộc lớp Cegrell
Luận án nghiên cứu các tính chất của các hàm thuộc lớp Cegrell, đặc biệt là các hàm thác triển dưới cực đại. Các kết quả chỉ ra rằng các hàm này có các tính chất đặc biệt liên quan đến toán tử Monge-Ampère và hàm đa điều hòa dưới. Điều này được chứng minh thông qua các kỹ thuật trong phân tích toán học và toán học ứng dụng.
3.2 Sự hội tụ theo dung lượng của các hàm thác triển dưới cực đại
Nghiên cứu sự hội tụ theo Cn-dung lượng của các hàm thác triển dưới cực đại là một phần quan trọng trong luận án. Các kết quả chỉ ra rằng sự hội tụ này có liên quan chặt chẽ đến tính ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère. Điều này được chứng minh thông qua các kỹ thuật trong giải tích phức và phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng.
