Chương 1. Tính liên tuc Holder của nghiệm phương trình Monge- Ampère phúc Trong phần đầu, ta nghiên cứu một số tính chất cơ bản cần thiết cho việc trình bày nội dung Luận án. Sau đó, ta tập trung nghiên cứu một trong những kết quả chính của Luận án về bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức trên các miền giả lồi không trơn. Sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Phần đầu của chương, ta nghiên cứu mối liên hệ giữa sự hội tụ theo Œ„-dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa dưới và sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng.
Sau đó, ta sử dụng kết quả đó để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Thác triển dưới cục đại của hàm đa điều hòa dưới Trong chương này, ta sẽ ứng dụng các kết quả của chương trước 10 về tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức để nghiên cứu các tính chất của hàm đa điều hòa dưới. Cụ thể, ta đưa ra khái niệm về hàm thác triển dưới cực đại của một hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên. Sau đó, ta nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm này, cũng như toán tử Monge-Ampère của chúng.
Phần cuối, ta tập trung trình bày kết quả chính của chương về sự hội tụ theo Ơ,-dung lượng của dãy hàm thác triển dưới cực đại với giá trị biên. Tong quan các vần đề nghiên cứu 1. Tính liên tục Hölder của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức trong miền giả lồi không trơn Cho QC Œ” là một tập mở với n > 1. Một hàm nửa liên tục trên w: Q — [—oœ, +oc) được gọi là đa điều hòa dưới trên O nếu với mỗi đường thẳng phức Ï trong C”, œ|¡¬o là điều hòa dưới trên /f1©.
Ta kí hiéu PSH(Q) 1a ho cdc ham đa điều hòa dưới được định nghĩa trên ©, PSH (Q) la ho céc ham đa điều hòa dưới âm trên Q và .XS/(9) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên ©.)" là toán tử Monge-Ampère phức, ở đó đ = Ø + Ø và đ° = ¡(Ø— 9), do đó dd° = 2i00. Cegrell [12] đã chỉ ra một lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn trên miền siêu lồi bị chặn mà toán tử Monge-Ampère phức có thể được định nghĩa. Ta xét bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức: u € PSH (Q) N L*(Q) MA(Q, 6, f) : ¢ (dd°u)" = fdV, trong Q limu (2) = ó(€), VỆ € Ø9. Ở đó, ƒ là hàm không âm trên ©, ƒ € /?(©) với p > 1 và hàm ở liên tục và bị chặn trên biên của ©.
Với dạng thể tích đW„ = 3Ø", 8 = dd*||z||? là dạng Kähler chính tắc của C”. Trong lý thuyết đa thé vi, bài toán MA (Q, ¢, ƒ)) là một vấn đề quan trọng được nhiều tác giả quan tâm. Các hướng được quan tâm là việc giải bài toán, chứng minh sự tồn tại nghiệm và nghiên cứu các tính chất nghiệm của nó (như tính duy nhất, tính liên tục, tính trơn, tính liên tục Hölder,.) trên mỗi miền © cụ thể (như miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi chặt, miền bị chặn, miền không bị chặn, miền có biên trơn, miền có biên không trơn, miền giả lồi đa điều hòa dưới loại rm,. Ta điểm lại dưới đây một số kết quả nổi bật theo hướng nghiên cứu này.
Khi © là miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn trong C”, E. Họ đã chỉ ra rằng, nếu ƒ là hàm dương, f € 0% (Q) và ó € C® (AQ) thi MA(Q, ¢, f) sé c6 duy nhat nghiém đa điều hòa dưới w € Œ% (9). Khi © là miền giả lồi không trơn thì bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều. Blocki [7| đã chỉ ra một đặc trưng cho sự tồn tại của nghiệm đa điều hòa dưới liên tục trên các miền siêu lồi trong C".
Kolodziej] [36] đã chứng minh sự tồn tại duy nhất và liên tục của nghiệm bài toán A/A(O,ó, ƒ) trên các miền giả lồi chặt. L¡ [38] lại quan tâm tới việc nghiên cứu bài toán trên miền giả lồi bị chặn trong C” với biên lớp C2. Ong đã chứng minh rằng 13 nếu 2 1A miền giả lồi bị chặn, đa điều hòa dưới loại zm với biên lớp C2, ó € C9“ (0Q) với 0 < œ <X 2 và ƒ* € C9“(G) thì M/A(9,ó, ƒ) có nghiệm duy nhất ¡ C92 (9). Zeriahi [26] đã nghiên cứu bài toán trên các miền giả lồi mạnh bị chặn.
Họ đã chỉ ra rằng nếu ó € CM (AQ) và ƒ € 1?(Q) với p > 1 thì nghiệm duy nhat u (Q, ¢, f) cũng liên tục a-Hölder trên ©, với mọi 0 < œ < Năm 2015, M. 7p’ Charabati [21] tiép tuc nghién cttu tinh lién tuc Holder của nghiệm bài toán trên miền Lipschitz siêu lồi mạnh bị chặn. Vấn đề đầu tiên mà Luận án quan tâm nghiên cứu là đưa ra một kết quả tổng quát cho Định lý của [2] cho các miền giả lồi không trơn, đa điều hòa dưới loại mm (không nhất thiết bị chặn). Sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Khái niệm C„-dung lượng (hay dung lượng tương đối) của các tập Borel dugc hai tac gid E.
Taylor [4] gidi thiéu va nghiên cứu đầu tiên từ 1982. Xoay quanh hướng nghiên cứu liên quan tới sự hội tụ theo dung lượng của một dãy các hàm đa điều hòa dưới được rất nhiều tác giả quan tâm và gặt hái được nhiều kết quả quan trọng. Ta nhắc lại dưới đây một số kết quả nổi bật. Xing [41] đã chứng minh rằng toán tử Monge-Ampère phức là liên tục dưới sự hội tụ theo Œ„-dung lượng của một dãy các hàm đa điều hòa dưới bị chặn.
Cụ thể, ông cũng đã đưa ra một điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng 14 của dãy các hàm đa điều hòa dưới bị chặn. Xing [42] đặc biệt quan tâm tới bài toán: Nếu ta có được sự hội tụ theo độ đo Monge-Ampère (đd“u;)° thì ta có suy ra được sự hội tụ theo C„-dung lượng của dãy hàm {u;} không. Câu trả lời là không, bởi vì ta biết rằng sự hội tụ yếu của dãy độ đo {(dd°u;)"} tới (dd°u)” trong trường hợp tổng quát không suy ra được sự hội tụ yếu của dãy hàm {u;} tới , ngay cả trong trường hợp tất cả các hàm u; trùng với œ trên biên của Q. Từ đó ông đã đưa ra một số kết quả quan trọng về mối liên hệ giữa sự hội tụ yếu của độ đo (dd°u;)”" tới (dd“u)”" và sự hội tụ theo Cạ-dung lượng của dãy hàm {u;} tới u.
Hơn nữa, ông cũng đã chứng mình sự hội tụ yếu của độ đo Monge-Ampère là tương đương với sự hội tụ theo Œ;_¡-dung lượng của các hàm trong một số trường hợp và nghiên cứu sự hội tụ theo Œ,-dung lượng của các hàm thuộc lớp hàm. Cụ thể hơn, tác giả đã làm rõ rằng néu uj,vj,w € E(Q) sao cho uj,vj > w, Vj > 1 va lu; — vj] — 0 theo €n-dung lượng, thì lim h (¥1, -.-, Pm) [(dd°u;)” — (dd°v;)"] = 0 jtoo theo topo yéu của các độ đo, V ự\,. Cegrell [14] đã chứng minh rằng nếu một dãy các hàm đa điều hòa dưới bị chặn dưới bởi một hàm thuộc lớp Cegrell £(9) và hội tu theo a_¡-dung lượng thì các độ đo Monge-Ampère tương ứng cũng hội tụ theo topo yếu. Hơn nữa, ta đã biết rằng sự hội tụ theo phân bố của các hàm đa điều hòa dưới trong trường hợp tổng quát không suy ra được sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère tương ứng.
Vì vậy, việc tìm ra các điều kiện đủ 15 để từ sự hội tụ theo nghĩa nào đó của dãy ham đa điều hòa dưới kéo theo sự hội tu theo topo yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng có ý nghĩa rất lớn. Bài toán đặt ra là ta có thể nghiên cứu một số điều kiện đủ để có được sự tương đương giữa sự hội tụ theo Œ;-dung lượng của dãy hàm {u;} và sự hội tụ yếu của dãy toán tử Monge-Ampère phức tương ứng hay không. Dây chính là một trong những vấn đề mà luận án quan tâm nghiên cứu. Trên cơ sở đó, ta sẽ sử dụng các kết quả đã đạt được để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức.
Cụ thể, luận án đưa ra một kết quả tổng quát cho định lý ổn định của U. Thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới Tiếp tục mở rộng theo hướng nghiên cứu trên, ta quan tâm tới vấn đề thác triển dưới của các hàm đa điều hòa dưới, một hướng mang nhiều ý nghĩa quan trọng của lý thuyết đa thế vị trong việc nghiên cứu tính chất của hàm đa điều hòa dưới, toán tử Monge-Ampère phức, bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức,. Hướng này đã thu hút sự quan tâm của một số tác giả khá sớm, kết quả đầu tiên theo hướng này là Dịnh lý của H. Ông đã đưa ra một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên song đĩa đơn vị mà sự hạn chế của nó trên bất kỳ song đĩa nhỏ hơn sẽ không tồn tại thác triển dưới, đa điều hòa dưới trên toàn bộ không gian.
Taylor [5] đã chứng minh rằng với bất kỳ miền bị chặn có biên trơn trong C” luôn tồn tại một hàm đa điều hòa dưới trơn mà không chấp nhận thác triển dưới tới miền lớn hơn. Như vậy, khi nghiên cứu bài toán thác triển dưới của các hàm đa điều 16 hòa dưới, các tác giả luôn quan tâm đến các điều kiện để đảm bảo tồn tại hàm thác triển dưới. Kết quả đầu tiên về vấn đề thác triển dưới trong các lớp Cegrell thuộc về U. Họ đã chỉ ra rằng nếu Q € Ö € C” là các miền siêu lồi và yp € Z(©), thì ¿ sẽ tồn tại một ham thác triển dưới ø € Z(O) mà ƒ(dd°Ø)" < ƒ(dd“¿)".
Trong vấn đề 6 Q thác triển dưới cực đại của các hàm đa điều hòa dưới, các kết quả đầu tiên thuộc về U. Họ đã giới thiệu khái niệm thác triển dưới cực đại của các hàm đa điều hòa dưới và nghiên cứu nó trong lớp Cegrell (9). Hồng [33] đã chứng minh một kết quả về độ đo Monge-Ampère phức của thác triển dưới cực đại của các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên. Dựa trên sự hội tụ theo dung lượng là một trong các kỹ thuật quan trọng trong việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampère phức.
Đặc biệt, là việc giải phương trình Monge-Ampère phức.