I. Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ này tập trung nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm trong bài toán cân bằng toán học. Luận án được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. Lâm Quốc Anh và PGS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả Nguyễn Văn Hưng cam kết rằng các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trước đó. Luận án đóng góp vào lĩnh vực nghiên cứu toán học bằng cách khám phá các phương pháp toán học và lý thuyết toán học liên quan đến bài toán cân bằng.
1.1. Tính liên tục
Tính liên tục là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết toán học, đặc biệt khi nghiên cứu ánh xạ nghiệm của các bài toán cân bằng. Luận án tập trung vào việc thiết lập các điều kiện đảm bảo tính liên tục của ánh xạ nghiệm, bao gồm tính nửa liên tục và liên tục Hausdorff. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng toán học trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
1.2. Ánh xạ nghiệm
Ánh xạ nghiệm là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán cân bằng. Luận án sử dụng các phương pháp toán học như giải tích hàm và giải tích biến phân để phân tích tính liên tục của ánh xạ nghiệm. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng tính liên tục của ánh xạ nghiệm phụ thuộc vào các giả thiết về dữ liệu bài toán và các điều kiện đặt ra.
II. Bài toán cân bằng toán học
Bài toán cân bằng toán học là một chủ đề trung tâm trong nghiên cứu toán học, bao gồm các bài toán như bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu, và bài toán mạng giao thông. Luận án tập trung vào việc nghiên cứu tính ổn định và tính đặt chỉnh của các bài toán này. Các kết quả nghiên cứu góp phần làm phong phú thêm lý thuyết toán học và cung cấp các giải pháp toán học cho các vấn đề thực tiễn.
2.1. Tính ổn định
Tính ổn định của nghiệm là một yếu tố quan trọng trong bài toán cân bằng. Luận án nghiên cứu các điều kiện đảm bảo tính ổn định của nghiệm, bao gồm tính nửa liên tục và liên tục Lipschitz. Các kết quả này có ý nghĩa trong việc xây dựng các thuật toán hiệu quả để giải quyết các bài toán cân bằng.
2.2. Tính đặt chỉnh
Tính đặt chỉnh là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu, đặc biệt khi nghiên cứu các bài toán cân bằng hai mức. Luận án thiết lập các điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh của các bài toán này, sử dụng các giả thiết về tính mức đóng và giả đơn điệu. Các kết quả nghiên cứu mở ra hướng tiếp cận mới trong việc giải quyết các bài toán cân bằng phức tạp.
III. Ứng dụng toán học
Luận án không chỉ tập trung vào lý thuyết toán học mà còn đề cập đến các ứng dụng toán học trong thực tiễn. Các kết quả nghiên cứu được áp dụng vào các bài toán như bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng, và bài toán mạng giao thông. Những ứng dụng này cho thấy giá trị thực tiễn của luận án trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp.
3.1. Bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân là một trong những bài toán quan trọng được nghiên cứu trong luận án. Các kết quả về tính liên tục và tính ổn định của ánh xạ nghiệm được áp dụng để giải quyết các bài toán bất đẳng thức biến phân loại Minty và Stampacchia. Những ứng dụng này góp phần làm sâu sắc thêm lý thuyết toán học và cung cấp các giải pháp toán học hiệu quả.
3.2. Bài toán mạng giao thông
Bài toán mạng giao thông là một ứng dụng thực tiễn quan trọng của bài toán cân bằng. Luận án nghiên cứu tính đặt chỉnh và tính ổn định của các bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng. Các kết quả nghiên cứu không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn góp phần vào việc tối ưu hóa hệ thống giao thông trong thực tế.
