Tổng quan luận án

Nghiên cứu về tính ổn định nghiệm, tính hội tụ và tính đặt chỉnh của các bài toán liên quan đến tối ưu là một trong những hướng tiếp cận trung tâm của lý thuyết tối ưu hiện đại và giải tích biến phân. Dữ liệu đầu vào của các bài toán tối ưu và cân bằng trong thực tế thường xuyên chịu tác động của các yếu tố nhiễu hoặc phụ thuộc vào các tham số. Trong bối cảnh đó, các giả thiết quá chặt về dữ liệu thường không được thỏa mãn, đòi hỏi việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm dưới các dạng nửa liên tục, liên tục theo nghĩa Berge và nghĩa Hausdorff, cũng như tính hội tụ của tập nghiệm theo nghĩa Painlevé-Kuratowski.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định xuất phát từ thực tế: phương pháp hàm đánh giá (gap function) và giả thiết căn bản đối với bài toán tựa cân bằng mạnh phụ thuộc tham số nhằm xác lập điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff vẫn cần được hoàn thiện; tính hội tụ Painlevé-Kuratowski của tập nghiệm bài toán tựa cân bằng khi chịu nhiễu đồng thời bởi dãy tập ràng buộc và dãy hàm mục tiêu cần những điều kiện tường minh hơn; đồng thời tính ổn định và tính đặt chỉnh theo nghĩa Levitin-Polyak (chuẩn và tổng quát) đối với bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh, bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng vẫn là bài toán mở.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm các nội dung cụ thể sau:

  1. Thiết lập tính liên tục của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng bằng phương pháp hàm đánh giá và các giả thiết căn bản.
  2. Khảo sát tính hội tụ theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của tập nghiệm bài toán tựa cân bằng khi dữ liệu bài toán bị nhiễu.
  3. Nghiên cứu tính chất ổn định nghiệm và tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức véctơ và bài toán cân bằng hai mức véctơ với nón di động.
  4. Thiết lập và áp dụng các kết quả lý thuyết cho các mô hình tối ưu chuyên biệt: bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty và Stampacchia, bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng, bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng và bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng.

Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm các mô hình toán học:

  • Bài toán tựa cân bằng véctơ loại Minty $(QEP_1)$ và loại Stampacchia $(QEP_2)$.
  • Bài toán tựa cân bằng tổng quát yếu $(WQEP)$ và dãy các bài toán tựa cân bằng tổng quát yếu $(WQEP)_n$.
  • Bất đẳng thức tựa biến phân véctơ loại Minty $(MQVI)$ và loại Stampacchia $(SQVI)$.
  • Bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh $(BEP)$ và bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh với nón di động $(MBEP)$.
  • Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng $(VIEC)$, bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng $(OPEC)$, bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng $(TNEC)$.

Phạm vi nghiên cứu:

  • Không gian toán học: Không gian véctơ tôpô Hausdorff, không gian mêtric tuyến tính, không gian định chuẩn và không gian Banach.
  • Nội dung: Tập trung vào giải tích định tính bao gồm tính đóng, compắc của tập nghiệm; tính nửa liên tục trên (usc), nửa liên tục dưới (lsc), nửa liên tục dưới Hausdorff (H-lsc), liên tục Hausdorff; tính hội tụ trên, hội tụ dưới, hội tụ Painlevé-Kuratowski; tính đặt chỉnh Levitin-Polyak và Levitin-Polyak tổng quát cùng các đặc trưng mêtric tương ứng.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã hệ thống hóa và kế thừa các hướng nghiên cứu then chốt trong lý thuyết tối ưu và giải tích biến phân:

Hướng nghiên cứu Các tác giả, công trình và năm công bố tiêu biểu Nội dung kế thừa và phát triển trong luận án
Hàm đánh giá và tính ổn định nghiệm Auslender (1976), Fukushima (1992), Mastroeni (2003), Yamashita và Fukushima (1997), Zhao (1997), Kien (2005), Li và Chen, Chen và Li, Chen, Li và Fang, Zhong và Huang (2011, bài báo tiếp theo) Sử dụng kỹ thuật hàm đánh giá từ bất đẳng thức biến phân vô hướng sang bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh; nâng cấp các giả thiết căn bản $(H_1), (H_g), (H_{g0})$ thành điều kiện cần và đủ cho tính H-lsc và liên tục Hausdorff.
Hội tụ Painlevé-Kuratowski Durea (2007), Fang và Li (2012), Peng và Yang, Zhao, Peng và Yang, Li, Lin và Wang, Lalitha và Chatterjee, Lignola và Morgan Nghiên cứu sự hội tụ của tập nghiệm xấp xỉ và tập nghiệm chính xác khi bị nhiễu bởi đồng thời dãy tập ràng buộc và dãy hàm hai biến; khắc phục các đòi hỏi khắt khe về tính đơn điệu chặt.
Bài toán cân bằng hai mức & ràng buộc cân bằng Mordukhovich (2004), Moudafi (2010), Chen, Wan và Cho, Ding, Anh, Khanh và Van Mở rộng bài toán cân bằng vô hướng trong không gian Hilbert/Banach sang bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh và bài toán cân bằng với nón di động.
Tính đặt chỉnh Tikhonov & Levitin-Polyak Tikhonov (1966), Levitin và Polyak (1966), Khanh, Plubtieng và Sombut Mở rộng khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak từ bài toán tối ưu ràng buộc và cân bằng hai mức yếu sang bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh với nón di động.

Khoảng trống nghiên cứu được lựa chọn giải quyết:

  • Trong khi giả thiết căn bản $(H_g)$ trong các nghiên cứu trước đây (như của Li và Chen, Chen, Li và Fang) chỉ cung cấp điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân véctơ hoặc bài toán tựa cân bằng, luận án thiết lập các giả thiết căn bản $(H_p(\gamma_0))$ và $(H_h(\gamma_0))$ đóng vai trò vừa là điều kiện cần vừa là điều kiện đủ.
  • Xây dựng phương pháp hàm đánh giá để đánh giá sự hội tụ Painlevé-Kuratowski cho dãy bài toán tựa cân bằng tổng quát yếu $(WQEP)_n$ mà không cần áp đặt các giả thiết đơn điệu ngặt ngặt nghèo.
  • Thiết lập hoàn chỉnh lý thuyết định tính và mô tả đặc trưng mêtric cho tính đặt chỉnh Levitin-Polyak đối với bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh có nón di động $(MBEP)$ và chuyển tiếp kết quả sang mô hình mạng giao thông với ràng buộc cân bằng $(TNEC)$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết và công cụ giải tích toán học:

  1. Giải tích đa trị và tôpô:

    • Sử dụng các định nghĩa về ánh xạ đa trị $F: X \Rightarrow Y$, miền hữu hiệu $\text{dom}F$, đồ thị $\text{graph}F$.
    • Các khái niệm tính liên tục theo nghĩa Berge: nửa liên tục trên (usc), nửa liên tục dưới (lsc), tính đóng và tính compắc của ảnh.
    • Các khái niệm tính liên tục theo nghĩa Hausdorff: nửa liên tục trên Hausdorff (H-usc), nửa liên tục dưới Hausdorff (H-lsc), và liên tục Hausdorff.

  2. Cấu trúc nón và hàm vô hướng hóa phi tuyến:

    • Nón lồi đóng có đỉnh $C \subset Z$ với phần trong khác rỗng $\text{int}C \neq \emptyset$.
    • Hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz/Tammer $\xi_e: Y \rightarrow \mathbb{R}$ xác định bởi: $$\xi_e(y) := \min {r \in \mathbb{R} \mid y \in re - C}, \quad \text{với } e \in \text{int}C$$
    • Hàm vô hướng hóa phi tuyến tổng quát $\xi_e: X \times Z \rightarrow \mathbb{R}$ với nón phụ thuộc điểm $C(x)$ và lát cắt liên tục $e(x) \in \text{int}C(x)$: $$\xi_e(x, y) := \inf {r \in \mathbb{R} \mid y \in re(x) - C(x)}$$

  3. Lý thuyết hội tụ dãy tập và dãy hàm:

    • Khái niệm giới hạn trên Painlevé-Kuratowski ($\limsup D_n$), giới hạn dưới Painlevé-Kuratowski ($\liminf D_n$), và hội tụ Painlevé-Kuratowski ($\limsup D_n \subset D \subset \liminf D_n$).
    • Khái niệm nửa liên tục ngoài, nửa liên tục trong, hội tụ liên tục của dãy ánh xạ đơn trị ${f_n}$ và dãy ánh xạ đa trị ${G_n}$.

  4. Phương pháp nghiên cứu:

    • Luận án thuộc dạng nghiên cứu toán học lý thuyết thuần túy, sử dụng phương pháp tiếp cận của giải tích hàm, giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu.
    • Các công cụ suy luận logic diễn dịch toán học: xây dựng mô hình toán học, thiết lập các bổ đề kỹ thuật, chứng minh các định lý, xây dựng các phản ví dụ để kiểm chứng tính thiết yếu của các điều kiện giả thiết.
    • Nguồn tư liệu nghiên cứu: Toàn bộ hệ thống các định nghĩa, định lý, công trình khoa học chuyên ngành trong các tạp chí toán học quốc tế và kỷ yếu hội thảo chuyên ngành được trích dẫn chi tiết trong danh mục tài liệu tham khảo.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Tính liên tục của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng

Chương 1 nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm đối với hai lớp bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số $\gamma \in \Gamma$:

  • Bài toán loại Minty $(QEP_1)$: Tìm $x \in K(x, \gamma)$ sao cho $f(x, t, y, \gamma) \in C, \forall y \in K(x, \gamma), \forall t \in T(y, \gamma)$.
  • Bài toán loại Stampacchia $(QEP_2)$: Tìm $x \in K(x, \gamma)$ sao cho $\exists t \in T(x, \gamma)$ thỏa mãn $f(x, t, y, \gamma) \in C, \forall y \in K(x, \gamma)$.

Tập nghiệm tương ứng được ký hiệu là $S_1(\gamma)$ và $S_2(\gamma)$.

Nội dung chi tiết của các mục trong Chương 1 bao gồm:

  • Kiến thức chuẩn bị (Mục 1.1): Trình bày các định nghĩa về ánh xạ đa trị, nửa liên tục theo Berge, nửa liên tục theo Hausdorff, tính chất của nón lồi đóng có đỉnh và hàm vô hướng hóa phi tuyến $\xi_e$.
  • Bài toán tựa cân bằng (Mục 1.2): Phát biểu mô hình $(QEP_1)$ và $(QEP_2)$, chỉ ra rằng khi $T(z, \gamma) \equiv T(\gamma)$ thì $S_1(\gamma) \subset S_2(\gamma)$, đồng thời đưa ra ví dụ minh họa chiều ngược lại không đúng.
  • Hàm đánh giá cho bài toán tựa cân bằng (Mục 1.3): Xây dựng hai hàm đánh giá phụ thuộc tham số: $$p(x, \gamma) := \max_{t \in T(x, \gamma)} \max_{y \in K(x, \gamma)} \xi_e(-f(x, t, y, \gamma))$$ $$h(x, \gamma) := \min_{t \in T(x, \gamma)} \max_{y \in K(x, \gamma)} \xi_e(-f(x, t, y, \gamma))$$ Tác giả chứng minh $p$ và $h$ là các hàm đánh giá hợp thức ($g(x, \gamma) \ge 0, \forall x \in K(x, \gamma)$ và $g(x, \gamma) = 0 \Leftrightarrow x \in S(\gamma)$) và thiết lập điều kiện đủ để $p, h$ liên tục trong $A \times \Gamma$ (Định lý 1.4).
  • Tính liên tục của ánh xạ nghiệm (Mục 1.4):
    • Chứng minh $S_1, S_2$ là nửa liên tục trên và có giá trị compắc (Định lý 1.1). Tác giả cung cấp 3 ví dụ minh họa chứng minh tính thiết yếu của các giả thiết: tính nửa liên tục trên của $K$, tính nửa liên tục dưới của $T$, và tính đóng của tập mức $L_{\ge C}^0 f$.
    • Đưa ra giả thiết căn bản $(H_p(\gamma_0))$ và $(H_h(\gamma_0))$, mô tả đặc trưng qua các hàm infimum $\Xi_U(\gamma)$ và $\Theta_U(\gamma)$ (Mệnh đề 1.5).
    • Chứng minh kết quả then chốt (Định lý 1.6): $S_1$ ($S_2$) là nửa liên tục dưới Hausdorff khi và chỉ khi giả thiết $(H_p(\gamma_0))$ ($(H_h(\gamma_0))$) thỏa mãn.
    • Thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính liên tục Hausdorff của $S_1, S_2$ (Định lý 1.7).
  • Áp dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân (Mục 1.5): Chuyển tiếp các kết quả cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty $(MQVI)$ và Stampacchia $(SQVI)$, thu được Hệ quả 1.1 và Hệ quả 1.2, mở rộng kết quả của Kien (2005) và Zhao (1997).

Chương 2. Tính hội tụ của tập nghiệm cho bài toán tựa cân bằng

Chương 2 khảo sát tính hội tụ theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của tập nghiệm bài toán tựa cân bằng tổng quát yếu $(WQEP)$ và dãy bài toán $(WQEP)_n$ trong không gian mêtric tuyến tính $X, Y, Z$:

  • Bài toán $(WQEP)$: Tìm $x \in K(x)$ sao cho $\exists z \in T(x)$ thỏa mãn $f(x, z, y) \notin -\text{int}C(x), \forall y \in K(x)$.
  • Dãy bài toán $(WQEP)_n$: Tìm $x \in K_n(x)$ sao cho $\exists z \in T_n(x)$ thỏa mãn $f_n(x, z, y) \notin -\text{int}C(x), \forall y \in K_n(x)$.

Nội dung chi tiết của các mục trong Chương 2 bao gồm:

  • Dãy các bài toán tựa cân bằng (Mục 2.1):
    • Trình bày mối liên hệ của mô hình $(WQEP)$ với các bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát (Lignola và Morgan), bài toán cân bằng (Fang và Li, Peng và Yang), bài toán tối ưu (Lalitha và Chatterjee).
    • Xây dựng dãy hàm đánh giá $h_n: A \rightarrow \mathbb{R}$: $$h_n(x) := \min_{z \in T_n(x)} \max_{y \in K_n(x)} {-\xi_e(x, f_n(x, z, y))}$$
    • Chứng minh $h_n$ là hàm đánh giá cho $(WQEP)_n$ (Mệnh đề 2.7), chứng minh tính liên tục của $h_n$ (Mệnh đề 2.8) và tính compắc của tập nghiệm $S(f_n, T_n, K_n)$ (Mệnh đề 2.9).
  • Tính hội tụ của tập nghiệm cho bài toán tựa cân bằng (Mục 2.2):
    • Chứng minh tính hội tụ trên Painlevé-Kuratowski: $\limsup_{n \to \infty} S(f_n, T_n, K_n) \subset S(f, T, K)$ khi ${K_n}$ hội tụ liên tục đến $K$, ${T_n}$ hội tụ liên tục ngoài đến $T$, ${f_n}$ hội tụ liên tục đến $f$ và tập $W(x) := Z \setminus -\text{int}C(x)$ đóng (Định lý 2.1).
    • Đưa ra 3 ví dụ phản chứng khẳng định tính thiết yếu của từng điều kiện hội tụ trong Định lý 2.1, cùng một ví dụ thỏa mãn toàn bộ giả thiết.
    • Đưa ra giả thiết căn bản $(H_h)$ cho dãy bài toán; chứng minh bổ đề xấp xỉ giá trị hàm đánh giá $h_n(x_n)$ về $h(x_0)$ (Mệnh đề 2.10).
    • Thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính hội tụ dưới và hội tụ Painlevé-Kuratowski của tập nghiệm (Định lý 2.2).
  • Áp dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân (Mục 2.3): Rút ra các kết quả hội tụ Painlevé-Kuratowski cho dãy bài toán bất đẳng thức tựa biến phân tương ứng (Hệ quả 2.2 và 2.3).

Chương 3. Tính ổn định và đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức

Chương 3 giải quyết bài toán cân bằng hai mức véctơ $(BEP)$ và bài toán cân bằng hai mức véctơ với nón di động $(MBEP)$:

  • Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức (Mục 3.1):
    • Giới thiệu mô hình bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh $(BEP)$ với cấu trúc mức trên và mức dưới.
    • Thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục và liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán $(BEP)$ (Định lý 3.1).
    • Ứng dụng các kết quả này cho bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng $(VIEC)$ và bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng $(OPEC)$, thu được Hệ quả 3.15 và Hệ quả 3.16.
  • Tính đặt chỉnh của bài toán cân bằng hai mức (Mục 3.2):
    • Giới thiệu bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh với nón di động $(MBEP)$.
    • Định nghĩa khái niệm dãy xấp xỉ cực tiểu, đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát cho bài toán $(MBEP)$.
    • Chứng minh mối quan hệ giữa tính đặt chỉnh với tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm xấp xỉ và sự tồn tại nghiệm (Định lý 3.10).
    • Thiết lập các định lý mô tả đặc trưng mêtric cho tính đặt chỉnh Levitin-Polyak và Levitin-Polyak tổng quát thông qua độ đo không compắc hoặc khoảng cách Hausdorff (Định lý 3.12).
    • Ứng dụng các định lý đặt chỉnh sang bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng $(TNEC)$, nhận được Hệ quả 3.17 và Hệ quả 3.18.

Kết quả và những đóng góp mới

Căn cứ vào phần tổng kết và nội dung các chương, luận án đạt được các kết quả khoa học cụ thể sau:

  1. Về lý thuyết tính liên tục của bài toán tựa cân bằng:

    • Xây dựng thành công các hàm đánh giá phụ thuộc tham số $p(x, \gamma)$ và $h(x, \gamma)$ cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh loại Minty và loại Stampacchia; chứng minh tính liên tục của các hàm này.
    • Đề xuất hai giả thiết căn bản mới $(H_p(\gamma_0))$ và $(H_h(\gamma_0))$, chứng minh đây là các điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff và liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm $S_1$ và $S_2$.

  2. Về lý thuyết hội tụ Painlevé-Kuratowski:

    • Xây dựng dãy hàm đánh giá $h_n(x)$ cho dãy bài toán tựa cân bằng tổng quát yếu $(WQEP)_n$ trong không gian mêtric tuyến tính.
    • Thiết lập điều kiện đủ cho tính hội tụ trên Painlevé-Kuratowski và điều kiện cần và đủ cho tính hội tụ Painlevé-Kuratowski của tập nghiệm thông qua giả thiết căn bản $(H_h)$ và tính hội tụ liên tục của dữ liệu bài toán.

  3. Về lý thuyết ổn định và tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức:

    • Thiết lập các định lý về tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới Hausdorff và liên tục Hausdorff cho bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh $(BEP)$.
    • Mở rộng khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak và Levitin-Polyak tổng quát cho bài toán cân bằng hai mức véctơ với nón di động $(MBEP)$; thiết lập mối liên hệ với tính nửa liên tục trên của tập nghiệm xấp xỉ và đưa ra mô tả đặc trưng mêtric hoàn chỉnh.

  4. Về ứng dụng mô hình:

    • Áp dụng các kết quả lý thuyết để giải quyết tính liên tục, tính hội tụ và tính đặt chỉnh cho 5 lớp bài toán tối ưu dẫn xuất: bất đẳng thức tựa biến phân Minty/Stampacchia ($(MQVI)$, $(SQVI)$), bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng $(VIEC)$, bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng $(OPEC)$, và bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng $(TNEC)$.

  5. Công bố khoa học:

    • Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế: Journal of Industrial and Management Optimization (năm 2018, tập 14, tr. 65-79), Computational and Applied Mathematics, và Positivity.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án (xác định từ phạm vi và điều kiện nghiên cứu của văn bản):

  • Các kết quả nghiên cứu chủ yếu xét trên các tập compắc $A, B$ hoặc các ánh xạ đa trị có giá trị compắc; chưa mở rộng trọn vẹn cho các tập ràng buộc không compắc trong không gian vô hạn chiều.
  • Cấu trúc nón $C$ trong toàn bộ các chương đều đòi hỏi giả thiết phần trong khác rỗng ($\text{int}C \neq \emptyset$), do đó chưa bao quát được các bài toán tối ưu véctơ với nón thứ tự có phần trong rỗng (ví dụ không gian $L^p$ với $p \ge 1$).

Hướng nghiên cứu tiếp:

  • Mở rộng việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm, tính hội tụ và tính đặt chỉnh cho các bài toán cân bằng khi nón thứ tự có phần trong rỗng, thông qua các hàm vô hướng hóa suy rộng khác.
  • Nghiên cứu các thuật toán số, dãy lặp xấp xỉ nghiệm và phân tích tốc độ hội tụ cụ thể cho bài toán cân bằng hai mức và bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo cho các đối tượng và lĩnh vực sau:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và sinh viên chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng và Lý thuyết tối ưu: Cung cấp phương pháp luận chi tiết về kỹ thuật sử dụng hàm đánh giá, hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz và kỹ thuật xử lý ánh xạ đa trị.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu giải tích biến phân: Cung cấp khung lý thuyết hoàn chỉnh về điều kiện cần và đủ cho tính liên tục Hausdorff và tính đặt chỉnh Levitin-Polyak của các bài toán cân bằng đa mức.
  • Các phần có giá trị tham khảo chuyên sâu:
    • Mục 1.3 và 1.4: Kỹ thuật xây dựng hàm đánh giá phụ thuộc tham số và thiết lập giả thiết căn bản.
    • Mục 2.2: Kỹ thuật phân tích hội tụ Painlevé-Kuratowski dưới tác động của nhiễu kép (nhiễu tập và nhiễu hàm).
    • Mục 3.2: Khung lý thuyết và mô tả đặc trưng mêtric của bài toán đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức với nón di động.

Câu hỏi thường gặp

  1. Hàm đánh giá (gap function) phụ thuộc tham số cho bài toán $(QEP_1)$ và $(QEP_2)$ trong Chương 1 được định nghĩa như thế nào? Hàm đánh giá $p(x, \gamma)$ cho $(QEP_1)$ và $h(x, \gamma)$ cho $(QEP_2)$ được xác định thông qua hàm vô hướng hóa phi tuyến $\xi_e$ như sau: $$p(x, \gamma) = \max_{t \in T(x, \gamma)} \max_{y \in K(x, \gamma)} \xi_e(-f(x, t, y, \gamma))$$ $$h(x, \gamma) = \min_{t \in T(x, \gamma)} \max_{y \in K(x, \gamma)} \xi_e(-f(x, t, y, \gamma))$$ Cả hai hàm đều thỏa mãn $g(x, \gamma) \ge 0, \forall x \in K(x, \gamma)$ và nhận giá trị bằng $0$ khi và chỉ khi $x$ tương ứng là nghiệm của bài toán.

  2. Giả thiết căn bản $(H_p(\gamma_0))$ có vai trò gì đối với ánh xạ nghiệm $S_1(\gamma)$? Giả thiết căn bản $(H_p(\gamma_0))$ quy định: Với $\gamma_0 \in \Gamma$ và bất kỳ lân cận mở $U$ của gốc trong $X$, tồn tại $\rho > 0$ và lân cận $V(\gamma_0)$ sao cho $p(x, \gamma) \ge \rho$ với mọi $\gamma \in V(\gamma_0)$ và $x \in E(\gamma) \setminus (S_1(\gamma) + U)$. Định lý 1.6 chứng minh rằng $(H_p(\gamma_0))$ là điều kiện cần và đủ để ánh xạ nghiệm $S_1$ nửa liên tục dưới Hausdorff tại $\gamma_0$.

  3. Điều kiện nào đảm bảo tính hội tụ trên Painlevé-Kuratowski của tập nghiệm trong Chương 2? Theo Định lý 2.1, điều kiện đủ để $\limsup_{n \to \infty} S(f_n, T_n, K_n) \subset S(f, T, K)$ bao gồm:

    • Dãy ánh xạ đa trị ${K_n}$ hội tụ liên tục đến $K$.
    • Dãy ánh xạ đa trị ${T_n}$ hội tụ liên tục ngoài đến $T$.
    • Dãy hàm ${f_n}$ hội tụ liên tục đến $f$.
    • Ánh xạ đa trị $W(x) := Z \setminus -\text{int}C(x)$ có đồ thị đóng.

  4. Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak trong Chương 3 được nghiên cứu cho mô hình nào và ứng dụng vào bài toán thực tế nào? Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak và Levitin-Polyak tổng quát được thiết lập cho bài toán cân bằng hai mức véctơ mạnh với nón di động $(MBEP)$. Kết quả lý thuyết này sau đó được áp dụng trực tiếp cho bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng $(TNEC)$ tại Hệ quả 3.17 và 3.18.

  5. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được phát triển tại đơn vị nào và được công bố ở đâu? Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. Lâm Quốc Anh và PGS. Đinh Huy Hoàng. Các kết quả chính đã được công bố trên các tạp chí quốc tế bao gồm Journal of Industrial and Management Optimization (2018), Computational and Applied Mathematics, và Positivity.

Kết luận

Luận án đã giải quyết có hệ thống các vấn đề lý thuyết về tính liên tục của ánh xạ nghiệm, tính hội tụ Painlevé-Kuratowski và tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho các lớp bài toán tựa cân bằng véctơ và cân bằng hai mức. Bằng phương pháp hàm đánh giá kết hợp với các giả thiết căn bản, tác giả đã thiết lập được các điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm. Các kết quả lý thuyết thu được không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết tối ưu và giải tích biến phân mà còn được áp dụng thành công cho các mô hình bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng và bài toán mạng giao thông.