Luận án tiến sĩ: Khám phá tính chất nghiệm của lớp phương trình có toán tử elliptic suy biến

• Tác giả: Phùng Thị Kim Yến
• Người hướng dẫn: PGS. Hà Tiến Ngoạn
• Trường học: Đại học Sư phạm Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU
• MỞ ĐẦU
• 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Toán tử ∆γ -Laplace
• 1.2. Một số không gian hàm và định lý nhúng
• 1.2.1. Không gian kiểu Sobolev trong miền bị chặn và định lý nhúng
• 1.2.2. Không gian kiểu Sobolev trong toàn không gian và định lý nhúng
• 1.3. Một số kết quả về lý thuyết điểm tới hạn
• 1.4. Tập hút toàn cục và tính chất
• 1.4.1. Một số định nghĩa
• 1.4.2. Một số mệnh đề phụ trợ
• 2. NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CẤP BỐN
• 2.1. Đồng nhất thức kiểu Pohozaev và định lý về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường
• 2.2. Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình elliptic suy biến cấp bốn
• 3. DÁNG ĐIỆU KHI THỜI GIAN LỚN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC SUY BIẾN MẠNH
• 3.1. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân
• 3.1.1. Đặt bài toán và các không gian hàm
• 3.1.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân
• 3.1.3. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu
• 3.2. Sự tồn tại tập hút toàn cục compact trong S21 (RN ) × L2 (RN )
• 3.3. Phương pháp hệ gradient và cấu trúc của tập hút toàn cục compact
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• Kết luận. Kết luận
• Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo. Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Luận án tiến sĩ

Luận án tiến sĩ của Phùng Thị Kim Yến với tiêu đề 'Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh' tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệm của phương trình chứa toán tử elliptic suy biến. Luận án được thực hiện tại Đại học Sư phạm Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. Hà Tiến Ngoạn. Nghiên cứu này đóng góp vào lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các phương trình elliptic suy biến, và có ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và sinh học.

1.1. Nghiên cứu tính chất nghiệm

Nghiên cứu tính chất nghiệm trong luận án tập trung vào việc phân tích sự tồn tại và tính chất của nghiệm đối với các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến. Các phương trình này thường xuất hiện trong các mô hình vật lý và kỹ thuật, đặc biệt là trong các hiện tượng có mật độ không đồng đều. Luận án đã đưa ra các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường.

1.2. Phương trình chứa toán tử elliptic suy biến

Phương trình chứa toán tử elliptic suy biến là trọng tâm của luận án. Toán tử elliptic suy biến được định nghĩa thông qua các hàm hệ số γj, và phương trình này thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp. Luận án đã nghiên cứu sâu về các tính chất nghiệm của phương trình này, bao gồm sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh trong các miền bị chặn.

II. Toán tử elliptic và phương trình elliptic suy biến

Toán tử elliptic và phương trình elliptic suy biến là các khái niệm trung tâm trong luận án. Toán tử elliptic suy biến được định nghĩa thông qua các hàm hệ số γj, và phương trình này thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp. Luận án đã nghiên cứu sâu về các tính chất nghiệm của phương trình này, bao gồm sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh trong các miền bị chặn.

2.1. Toán tử elliptic

Toán tử elliptic là một toán tử vi phân có các tính chất đặc biệt trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng. Trong luận án, toán tử elliptic suy biến được nghiên cứu kỹ lưỡng, đặc biệt là trong các phương trình cấp hai và cấp bốn. Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng cấu trúc hình học của miền có ảnh hưởng lớn đến tính giải được của các bài toán biên.

2.2. Phương trình elliptic suy biến

Phương trình elliptic suy biến là một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, trong đó toán tử elliptic suy biến đóng vai trò trung tâm. Luận án đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh của các phương trình này trong các miền bị chặn. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải các bài toán biên phức tạp.

III. Tính chất nghiệm và ứng dụng

Tính chất nghiệm của các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến được nghiên cứu kỹ lưỡng trong luận án. Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh phụ thuộc vào cấu trúc hình học của miền và độ tăng trưởng của hàm phi tuyến. Những kết quả này có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và sinh học.

3.1. Tính chất nghiệm

Tính chất nghiệm của các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến được nghiên cứu thông qua các phương pháp biến phân và lý thuyết điểm tới hạn. Luận án đã đưa ra các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải các bài toán biên phức tạp.

3.2. Ứng dụng thực tiễn

Ứng dụng thực tiễn của các kết quả nghiên cứu trong luận án được thể hiện qua việc giải các bài toán biên phức tạp trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và sinh học. Các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý có mật độ không đồng đều, và các kết quả nghiên cứu trong luận án đã góp phần giải quyết các vấn đề thực tiễn này.