I. Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ của Phùng Thị Kim Yến với tiêu đề 'Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh' tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệm của phương trình chứa toán tử elliptic suy biến. Luận án được thực hiện tại Đại học Sư phạm Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. Hà Tiến Ngoạn. Nghiên cứu này đóng góp vào lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các phương trình elliptic suy biến, và có ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và sinh học.
1.1. Nghiên cứu tính chất nghiệm
Nghiên cứu tính chất nghiệm trong luận án tập trung vào việc phân tích sự tồn tại và tính chất của nghiệm đối với các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến. Các phương trình này thường xuất hiện trong các mô hình vật lý và kỹ thuật, đặc biệt là trong các hiện tượng có mật độ không đồng đều. Luận án đã đưa ra các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường.
1.2. Phương trình chứa toán tử elliptic suy biến
Phương trình chứa toán tử elliptic suy biến là trọng tâm của luận án. Toán tử elliptic suy biến được định nghĩa thông qua các hàm hệ số γj, và phương trình này thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp. Luận án đã nghiên cứu sâu về các tính chất nghiệm của phương trình này, bao gồm sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh trong các miền bị chặn.
II. Toán tử elliptic và phương trình elliptic suy biến
Toán tử elliptic và phương trình elliptic suy biến là các khái niệm trung tâm trong luận án. Toán tử elliptic suy biến được định nghĩa thông qua các hàm hệ số γj, và phương trình này thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp. Luận án đã nghiên cứu sâu về các tính chất nghiệm của phương trình này, bao gồm sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh trong các miền bị chặn.
2.1. Toán tử elliptic
Toán tử elliptic là một toán tử vi phân có các tính chất đặc biệt trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng. Trong luận án, toán tử elliptic suy biến được nghiên cứu kỹ lưỡng, đặc biệt là trong các phương trình cấp hai và cấp bốn. Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng cấu trúc hình học của miền có ảnh hưởng lớn đến tính giải được của các bài toán biên.
2.2. Phương trình elliptic suy biến
Phương trình elliptic suy biến là một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, trong đó toán tử elliptic suy biến đóng vai trò trung tâm. Luận án đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh của các phương trình này trong các miền bị chặn. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải các bài toán biên phức tạp.
III. Tính chất nghiệm và ứng dụng
Tính chất nghiệm của các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến được nghiên cứu kỹ lưỡng trong luận án. Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh phụ thuộc vào cấu trúc hình học của miền và độ tăng trưởng của hàm phi tuyến. Những kết quả này có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và sinh học.
3.1. Tính chất nghiệm
Tính chất nghiệm của các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến được nghiên cứu thông qua các phương pháp biến phân và lý thuyết điểm tới hạn. Luận án đã đưa ra các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải các bài toán biên phức tạp.
3.2. Ứng dụng thực tiễn
Ứng dụng thực tiễn của các kết quả nghiên cứu trong luận án được thể hiện qua việc giải các bài toán biên phức tạp trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và sinh học. Các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý có mật độ không đồng đều, và các kết quả nghiên cứu trong luận án đã góp phần giải quyết các vấn đề thực tiễn này.
