Luận án tiến sĩ: Khám phá tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh

• Tác giả: Phùng Thị Kim Yến
• Người hướng dẫn: PGS. Hà Tiến Ngoạn
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. MỘC LỤC
• 2. MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU
• MỞ ĐẦU
• 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Toán tử ∆γ -Laplace
• 1.1.1. Toán tử ∆γ -Laplace
• 1.1.2. Một số không gian hàm và định lý nhúng
• 1.1.2.1. Không gian kiểu Sobolev trong miền bị chặn và định lý nhúng
• 1.1.2.2. Không gian kiểu Sobolev trong toàn không gian và định lý nhúng
• 1.1.3. Một số kết quả về lý thuyết điểm tới hạn
• 1.1.4. Tập hút toàn cục và tính chất
• 1.1.4.1. Một số định nghĩa
• 1.1.4.2. Một số mệnh đề phụ trợ
• 2. NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CẤP BỐN
• 2.1. Đồng nhất thức kiểu Pohozaev và định lý về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường
• 2.2. Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình elliptic suy biến cấp bốn
• 3. DÁNG ĐIỆU KHI THỜI GIAN LỚN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC SUY BIẾN MẠNH
• 3.1. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân
• 3.1.1. Đặt bài toán và các không gian hàm
• 3.1.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân
• 3.1.3. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu
• 3.2. Sự tồn tại tập hút toàn cục compact trong S21 (RN ) × L2 (RN )
• 3.3. Phương pháp hệ gradient và cấu trúc của tập hút toàn cục compact
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• 4. Kết luận
• 5. Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu

Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình toán học chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Các phương trình này xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học như vật lý, hóa học và sinh học. Nghiên cứu toán học về các phương trình này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn quan trọng. Phương trình vi phân và phân tích toán học là các công cụ chính được sử dụng để giải quyết các vấn đề này. Giải tích hàm và tính toán số cũng đóng vai trò quan trọng trong việc tìm ra phương pháp giải hiệu quả.

1.1. Lịch sử và động lực nghiên cứu

Các phương trình toán học chứa toán tử elliptic đã được nghiên cứu từ lâu, nhưng các phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh vẫn còn nhiều vấn đề mở. Nghiên cứu lý thuyết về các phương trình này đòi hỏi các phương pháp mới và công cụ tiên tiến. Ứng dụng toán học của chúng trong các mô hình vật lý và kỹ thuật cũng là động lực chính thúc đẩy nghiên cứu này.

1.2. Mục tiêu và đối tượng nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án tiến sĩ là nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình toán học chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Đối tượng nghiên cứu bao gồm các hệ phương trình và phương trình vi phân có cấu trúc phức tạp. Phương pháp giải và tính chất giải của các phương trình này cũng được phân tích chi tiết.

II. Phương pháp và công cụ nghiên cứu

Luận án tiến sĩ sử dụng các phương pháp phân tích toán học và giải tích hàm để nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình toán học. Các công cụ như tính toán số và phương pháp giải cũng được áp dụng để tìm ra các nghiệm chính xác. Nghiên cứu toán học này cũng sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết điểm tới hạn và hệ động lực vô hạn chiều để phân tích dáng điệu nghiệm.

2.1. Phương pháp biến phân

Phương pháp biến phân được sử dụng để nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình toán học. Các định lý từ lý thuyết điểm tới hạn giúp chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu. Phân tích toán học cũng được áp dụng để đánh giá độ trơn và tính duy nhất của nghiệm.

2.2. Phương pháp đánh giá tiệm cận

Phương pháp đánh giá tiệm cận được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu nghiệm khi thời gian tiến tới vô cùng. Giải tích hàm và hệ động lực vô hạn chiều là các công cụ chính trong việc chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục. Nghiên cứu toán học này cũng sử dụng các bổ đề compact để xử lý các số hạng phi tuyến.

III. Kết quả và ứng dụng

Luận án tiến sĩ đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình toán học chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng toán học trong các lĩnh vực như vật lý và kỹ thuật. Phương pháp giải và tính chất giải của các phương trình này cũng được cải thiện đáng kể.

3.1. Kết quả chính

Các kết quả chính bao gồm sự tồn tại nghiệm yếu và không tồn tại nghiệm mạnh của các phương trình toán học chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Nghiên cứu toán học này cũng chứng minh được sự tồn tại của tập hút toàn cục và mô tả cấu trúc của nó. Phân tích toán học và giải tích hàm là các công cụ chính trong việc đạt được các kết quả này.

3.2. Ứng dụng thực tiễn

Các kết quả của luận án tiến sĩ có ứng dụng toán học trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học và kỹ thuật. Phương trình vi phân và hệ phương trình được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng vật lý phức tạp. Phương pháp giải và tính chất giải của các phương trình này cũng được cải thiện, mang lại hiệu quả cao trong thực tiễn.