MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vẫn đề và lí do chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến xuất hiện nhiều trong các quá trình của vật lý, hoá học và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các phản ứng hoá học, các mô hình quần thể trong sinh học, v. Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ, chính vì thế nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Các bài toán đối với phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ các ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt nó là các mô hình giải tích của nhiều hiện tượng vật lý.
Cho đến tận những năm 20 của thế kỷ thứ 20 thì các nghiệm của bài toán đối với phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng được hiểu chung nhất là nghiệm cổ điển, nghiệm đòi hỏi khả vi theo nghĩa thông thường đến cấp của phương trình, điều này gây rất nhiều khó khăn cho việc chứng minh cho tính đặt đúng của các bài toán này, đặc biệt tính trơn của nghiệm còn phụ thuộc vào cấu trúc hình học của miền được xét. Vì vậy, khái niệm nghiệm suy rộng được đưa ra bởi các lý do khác nhau. Việc đưa ra khái niệm nghiệm suy rộng là một bước ngoặt trung tâm về mặt phương pháp trong việc nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng và các bài toán biến phân của chúng. Trước tiên, chúng tôi trình bày tổng quan các nghiên cứu về các 8 tinh chat nghiệm của một số bài toán cho các phương trình elliptic va hyperbolic á tuyến tính cấp hai trong đó chứa toán tử elliptic suy biến.
Cho đến nay lý thuyết về phương trình elliptic tuyến tính đã được phát triển tương đối hoàn thiện. Tính giải được của các bài toán biên cơ bản cho phương trình elliptic tuyến tính trong miền bị chặn đã được thiết lập, xong trong lý thuyết và thực tiễn, xuất hiện các phương trình elliptic phi tuyến và suy biến [12,22, 25, 26, 49]. Loại phương trình phi tuyến đơn giản nhất là các phương trình á tuyến tính, khi phương trình là tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất. Các phương trình elliptie phi tuyến đòi hỏi các phương pháp nghiên cứu và công cụ tiếp cận mới, nhất là giải tích hàm phi tuyến.
Các bài toán biên cổ điển trong miền bị chặn vẫn tiếp tục được đặt ra đối với phương trình elliptic phi tuyến [1, 11, 13, 18-20, 24, 27-34, 43, 58,60]. Các nhà toán học đã đưa vào xét một số lớp phương trình elliptie suy biến á tuyến tính [23-29] và phát hiện ra rằng: trong một số trường hợp cấu trúc hình học của miền có ảnh hưởng quan trọng đến tính giải được của các bài toán biên ([37]). Nhiều kết quả sâu sắc về tính giải tích, độ trơn của nghiệm của phương trình elliptie, hệ phương trình elliptic đã được thiết lập. Lý thuyết bài toán biên, bao gồm tính duy nhất, tính giải được, tính nhiều nghiệm, .cho phương trình, hệ phương trình elliptic cũng được phát triển vô cùng mạnh mẽ.
Tiếp theo sẽ là tổng quan về một số nghiên cứu cho tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic, elliptie suy biến cấp hai và cấp bốn nửa tuyến tính trong miền bị chặn QC RẺ. Như chúng ta đã biết, một trong những toán tử elliptic được nghiên cứu nhiều đó là toán tử Laplace trong không gian RN: Pu Pu Ou Au==s+s+. Oxi Ôz§ 9x% 9 Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm hay không tồn tại nghiệm của phương trình nửa tuyến tính chứa toán tử Laplace đã được nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu bắt đầu từ giữa thế kỷ thứ hai mươi. Trong công trình [37], S.
Pohozaev đã xét bài toán biên: Aw + ƒ(u) = 0 trong Q, + = 0 trên Ø©, với © là miền giới nội trong RỲ(N > 2), ƒ(u) = Au + |u|f ”u. Ta thấy œ = 0 là nghiệm tầm thường của bài toán. Pohozaev đã đưa ra một đồng nhất thức mà hiện nay được mang tên ông và đã nhận được các kết quả sau đây: e Nếu M=2,1<£< œ, thì Bài toán (1) luôn có nghiệm không tầm thường. N+2 2 Nu >3,4=0,t> 57 va Q 1a hinh sao thì Bài toán (1) không có nghiệm dương.
Z N+2 eNeuN > 3,A=0,1<t< N thì Bài toán (1) có nghiệm là giá trị rất đặc biệt. N+2 dương, Bởi vậy khi N > 3 gid tri to = = + Giá trị liên quan t) + 1 = là giá trị tới hạn để ta có định lý N-2 nhúng Sobolev, íạ được gọi là số mũ Sobolev tới hạn của Bài toán (1) cho toán tử Laplace. Những kết quả mang tính tiên phong này cùng với các bài toán mở được đặt ra đã thúc đẩy hàng trăm công trình nghiên cứu sau đó (xem [1,9, 13,42] cùng với các tài liệu tham khảo kèm theo). 10 Như vậy sự tồn tại nghiệm không tầm thường, tồn tại nghiệm dương của các bài toán biên chứa toán tử elliptic đạt được tương đối trọn vẹn.
Một cách tương tự, các vấn đề lại được đặt ra đối với bài toán có chứa toán tử elliptic suy biến. Điều kiện không tồn tại nghiệm không tầm thường N„a+2 của Bài toán (2) trong trường hợp này là + > Saug T 4 va Q là Pa p- Nap — 2 hinh sao, Nag = Ni + No+(l+a+ B)N3. Cũng trong năm này, trong [29] các tac gid A. Lanconelli đã nghiên cứu phương trình elliptic suy biến cấp hai tổng quát hơn chứa toán tử A., đã đưa ra đồng nhất thức kiểu Pohozaev, chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường của bài toán sau với một số điều kiện áp lên hàm ƒ(X,) bằng phương pháp biến phân: Axu — tru + ƒ(X,u) = 0 trong Q, (4) u = 0 trén OO, ở đó © là tập mé bi chin trong RY, n = 0 va Ayu sé dude định nghĩa trong Chuong I, Muc 1.
My trong [6] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của Bài toán (4) với 7 = 0 va điều kiện của ƒ:Ø xIR — R là hàm liên tục thỏa mãn các điều kiện sau: + f(X,0)=0, im (39 = 0,3 | >+œ le” 2H ` him i = 0 đều với mỗi X € Q, trong do F(X,u) = | >+œ [4% T)dr; < py déu với mỗi X € O, vdi py, 1A gid tri dau tien cha toán tử-A., trong miền © với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất; e Tồn tai C, > 0,0 > 0 thỏa mãn: H(X,s) < 0H(X,t) + C.,Vs,t € R,0 < |s| < |i|,VX e 9, trong d6 H(X,s) = $s f(X,s) — F(X, s). Khi đó Bài toán (4) đã được chứng minh là luôn có nghiệm yêu không tầm thường. Nhiều kết quả đối với bài toán chứa toán tử A. có thể xem _- Ñ1+2 N-2 la bac tang trudng tdi han cua ham f(«,u) theo bién u dé Bai toan (4) trong [7,31,32,54,55].
Các tác giả đã chỉ ra rằng đại lượng 25 - có hoặc không có nghiệm không tầm thường. Phương trình elliptic cap hai xuất hiện trong thực tế khá đa dạng như: phương trình mô tả dòng điện hoặc từ trường, mặt cực tiểu,.Gần đây một số chuyên gia, xem [56] đã nghiên cứu phương trình elliptie phi tuyến cấp bốn như phương trình để nghiên cứu sóng truyền trong cầu treo và độ võng tĩnh của bản đàn hồi trong chất lỏng. Bên cạnh đó, từ những năm 80 của thế kỷ trước, nhiều tác giả đã nghiên cứu các phương trình elliptic cấp bốn nửa tuyến 12 tính chứa bình phương của toán tử A Laplace A?u= ƒ(X,u), XeQc RỲ, u=0,u=0, X € dQ, trong đó ƒ(X,0) =0. Một số điều kiện đủ đối với dáng điệu của hàm f(X,u) theo biến u đã được các tác giả đưa ra để đảm bảo cho sự tồn tại hoặc là sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của Bài toán (5) hoặc là sự tồn tại ít nhất một nghiệm không tầm thường.
Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có các nghiên cứu đối với phương trình elliptie suy biến cấp bốn. Cuối cùng dưới đây là tổng quan các nghiên cứu về các tính chất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolie suy biến. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán Cauchy cho các phương trình tiến hoá, trong đó có phương trình hyperbolic suy bién, đã được nghiên cứu trong các công trình [2-8, 14, 15, 17, 38, 46, 48, 50-53, 61] trong các miền bị chặn của biến không gian. Trong các công trình này, các tác giả đã sử dụng công cụ Động lực học vô hạn chiều và lý thuyết nửa nhóm để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục.
Năm 2005, Fall Djiby trong [21], bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng phần đuôi của nghiệm đã chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian #!(R*) x L2(RŸ) của bài toán sau un + uy + u = Au + ƒ(X,u),X € RỲ,t> 0, u(X,0) = uo(X), uw (X, 0) = wi (X), ở đây Ø là hằng số duong, uo(X) € H1(R%), w(X) € L?(R%), ham ƒ(X,€) được định nghĩa bởi: 13 sếT— ƒ(X,€) =€+hi(€) — hạ(X), hạ(X) € L2(R}), e« hị cC1(R,R), hị(0) = 0, hi (EE > CF(E) = 0, VE € R, trong do ẹ Ở là hằng số dương, Ƒ1(£) = ƒ h¡(r)dz, 0 ha(&) e 0< limsup < œ. {| +00 Nam 2014, cdc tac gia A. Sonner trong [32] da nghién cứu một lớp các phương trình hyperbolie suy biến, trong đó có bài toán sau đây uu(X,t) + Au = Py,gu(X,t) + f(u(X,t)), xX €0,t>0, u(X,t)=0, X €00,t>0, (6) u(X, 0) = uo(X), ue(X, 0) = wi(X), trong đó © là miền bị chặn có biên tron trong RX, T23 là toán tử được xác định bởi (3), À là hằng số dương và ƒ(£€) thỏa mãn điều kiện: ® [ƒ(&¡) — ƒ(6)| < Cl& — &|(1 + |&¡|? + |&a|?), (7) vi C > 0,05 p< 525, Nag = Nit Not (at+ 8+ 1Ns; e lim sup i <1, (8) |l£|—>+œo với /¡ là giá trị riêng đầu tiên của toán tử (— fx„„z) trong miền © với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Khi đó Bài toán (6) có nghiệm toàn cục, có tập hút toàn cục.
Để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục, tác giả A. Sonner đã sử dụng ý tưởng và cách tiếp cận trong [15,39] vé đánh giá đuôi nghiệm. 14 Từ những kết quả ở trên, ta thấy rằng đối với lớp phương trình elliptic suy biến, phương trình hyperbolie suy biến mặc dù đã có một số kết quả, tuy nhiên các kết quả thu được vẫn còn ít và còn nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu.