Chương 1 TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM PHAN HINH P-ADIC Trong chương này, trước hết, chúng tôi nghiên cứu các tương tự của Bồ đề Borel trong trường hợp ø-adic. Sau đó, chúng tôi ứng dụng các kết quả này trong việc nghiên cứu bài toán về tập xác định duy nhất cho hàm phân hinh p-adic.1 Một số khái niệm cơ sở Cho p là một số nguyên tố có định, Q; là bổ sung đầy đủ của trường hữu tỉ Q theo chuẩn ø-adic. Ký hiệu Q, là bao đóng đại số của Q,. Khác với trường hợp phức, Q, là trường không day du.
Ky hiéu C, = G, la bổ sung dày đủ của bao đóng đại số của Q;. Ta gọi Cẹ là frường các số phúc p-adic. Giả sử ƒ là một hàm nguyên trên C„ và b€ Cy. Viet f dudi dang f(z) = » ba(z — b)” n=q với bạ z 0 và ta đặt ằœ10) =.
Cho a € Cp, ta định nghĩa hàm œ2 : C; —> Ñ bởi w(b) = wht _g(b); Cố định một số thực øg với 0 < po <r. Laya € Œ; và ta ký hiện hàm đếm không điểm của ƒ— a, tính cả bội, trong dia D, = {z € Cp: |z| < r} bởi. N;(a,r) = Ị / rpl@se) 7 ở đây m(a, #) là số nghiệm của ƒ(z) = ø (tính cả bội) trong đĩa Dy = {z € Cp: |z| < z}. 12 Khi a = 0, ta đặt Ny(r) = N;(0, r).
Cho ¡ là một số nguyên dương, đặt 1 " , Ni,p(@,7) = i | MAO) , Inp Jp, x 6 day ny, p(a, x) = D0) ,)<, min{w#(z),[}. Giả sử k là một số nguyên dương. Dịnh nghĩa hàm we tir C, vao N bởi 0 nếu œ(z) > k we" (z) = - /\ ) wh(z) nêu ằ1(2) <k va Dinh nghia Nếu a = 0, ta dat a) = NỆT(0,r). Dat 6 day Cho một hàm nguyên khác hằng số ƒ(z) trên Cạ, được biểu diễn bởi chuỗi hội tụ.
CO f(z) = » Anz", n=0 13 với mỗi r > 0, ta định nghĩa [flr = max{|an|r",0 <n < co}. Bay gid giả sử ƒ = i | la mot ham phan hinh khac hang s6 trén Cp, 6 day fi, fo la ham nguyén trén C, khong c6 khong điểm chung, ta đặt [flr = Se. V6i mdi a € Cy, ta ky hiéu ham đếm các không điểm của f —a, tinh ca bdi, trong dia D, = {z € Cp: |z| <r}, bei Ny(a,r) = Np-ap(r), Ny(oo,r) = Nz (7), NỆ!(a,r) = NEE (r), NỆ!(œ,r) = NỆf0), Nip (ar) = Nef _ap (7): Nef (oo, r)= NeR(r)- Tương tự cho ham phân hình ƒ trên Cp, ta định nghĩa NF (ar), MF (ar), NF (ar), NF (a, r), Nữ; (a, r), Nef (a, r). Ta định nghĩa ham xa@p xt cia hàm phân hình ƒ bởi m(oo,r) = max{0, log |f],}, va m¢(a,r) = mì (o©,7).
Hàm đặc trưng của hầm phần hình ƒ được định nghĩa bởi Ty) = mự(S,r) + Nr(oœ,r). Chúng ta có các bổ đề sau day (xem [34] 41: đ5Ị). (B4) Giá sử ƒ oà g là các hàm nguyên trên Cạ. Khi ,„ ĐỚI Thọ? r > Ú, ta có log |ƒ + gJ„ < max{log |ƒ|z, log |g|z}- Bổ đề 1.
([B1l) Giả sử ƒ = ƒ là một ham phan hành trên Cụ, trong đó ƒ\. ƒ2 là các hàm nguyên không có không điểm chung trên Cụ. Kh¿ đó, uới mọi r >0, ta có T() =T‹() + O(), Tr(r) = mạx log|fi|y + OC). 1<i<2 é day O(1) la dai lượng bị chặn không phụ thuộc uào r.
(Jö4|) Giá sử ƒ là một hàm phân hành khác hằng số trên Cụ. Khi đó, uới mọi số nguyên dương k 0à r > 0, ta có k | flr PO ln se Bổ đề 1. (4l) Giả sử ƒ là một hàm nguyên khác hằng số trên Cụ. Kh¿ đó, uới mọi r >0, ta có Trứ) — Tr(ø) = N¿(0,r) + OQ), ở đâu 0 < po <r.
(|34|) Giả sử ƒ là mot ham phân hành khác hằng số trên Cụ. Khi đó, uới mọi số nguyên dương k var >0, ta co mw (00, r) = O(1). ([34)) Giả sử ƒ là một hàm phân hành trên Cụ. ([ö4|) Giá sử ƒ là một hàm phân hình trên ẹ 0à at,da,.aạ là các giá trị phân biệt thuộc Cụ.
i=l Hơn nữa, À` ðy/(a)<2, aeŒ,Uoo vot ðr(a)=1— jim sup TH Bây giờ, chúng ta trình bày một số khái niệm về lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. Ký hiệu P"(C,) là không gian xạ ảnh œ chiều trên trường số phức padic Cụ. Một đường cong chỉnh hành ƒ:p —> P"(Œ,) là một lớp tương đương gồm (ø+1)-thành phần các hàm nguyên (ƒo,. ƒ„ không có không điểm chung, ở đây hai (m + 1)-thành phần (ƒo,., ø„) là tương đương nếu tồn tại hằng số e sao cho ƒ; = cø; với mọi 7 = 0,.
Ta đồng nhất ƒ với một biểu diễn: f = (fo, very Fn) Gia sti f : Cp) + P’(C,) là đường cong chỉnh hình có biểu diễn f = (fo, very Fn). Ta định nghĩa hàm đặc trưng của ƒ bởi T(r) = max log ||». O0<i<n Giả sử H là một siéu phing cia P"(C,) xdc dinh béi phuong trình F =0sao cho anh cua ƒ không chứa trong H. Ta dat N;(H,r) = Nyor(r), Nm, f(A, r) = Nm, for("): 16 Định nghĩa 1.
Họ các siêu phẳng phần biệt {,., Hạ,q > +1} trong không gian xạ ảnh œ chiều P"(C,) được gọi là ở j trí tổng quát nếu œ + 1 siêu phẳng bất kỳ của chúng có giao bằng rỗng. Một dường cong chỉnh hình ƒ : C; — P“(C,) được gọi là không suy biến tuyến tính nếu ảnh của ƒ không bị chứa trong không gian con tuyến tính với số chiều nhỏ hơn œ của P"(Œ;)., Hạ là ạ siêu phẳng ở tị trí tổng quát va ƒ là một đường cong chỉnh hành không suụ biến tuyến tính trong Pˆ(C,). Khi đó, ta có m + 1) (q—n—1)T;(r) < $0 Ny p( Hj. Giả sử g(œo,.,®n) là đa thúc thuần nhất bậc d tà fo,---, fn là các hàm nguyên p-adic.
Giả sử +g" -- - xạ" có bậc đ, ta có N peo.,N¢,(0,r)}- Mặt khác, do ø(zo,.,#„) là tổng đơn thức bậc đ, sử dụng các tính chất của hàm đếm của hàm nguyên, ta có điều phải chứng minh. LÌ Giả sử a € C; và ƒ là một ham phan hinh p-adic trén Cp, ta viet f dưới dạng 1g f = (z _— a) h? 6 day g,h la cac ham nguyén trên Œ,, không có không điểm chung sao cho ø(a)h(a) # 0. Khi đó, số nguyên ƒ tồn tại duy nhất và được gọi là bậc 17 của ƒ tại a, ký hiệu bởi ord‡ và để đơn giản, ta đặt Le = ord¿. Ta cũng định nghĩa MG, = min(k, HỆ): Ta có các tính chất của ham be saul day.
Giả sử ƒ vag la céc ham phan hinh trén Cy vaa € Cp. Mi = HỆ — Hạ; 4. ta) be — k, uới k là một số nguyên duong sao cho f*) £0. Cac tinh chat (1), (2) và (3) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Ta chứng mình tính chất (4). Thật vậy, giả sử ƒ = (— a) fs, 6 day hị, hạ là các hàm nguyén khong c6 khong di¢ém chung va h1(a)h2(a) 4 0. Tà có f' — (a — a) 1 (Ihy + (a i a)h1 Jho — (x — a)hihy h3 Vi vay LG >l-l= H‡ — Bằng quy nạp theo k ta có điều phải chứng minh. Giả sử ƒ,g là các hàm nguyên trên C, uà k là một số nguyên dương sao cho (fg) #0.
Khi đó, uới mỗi a € Cụ ta có Hyg = HF ® Chúng tinh. Già sử MG = 01, Mg = 02. Khi đó, tồn tại các hàm nguyên adIc ƒ1, gi sao cho ƒŒ) = (œ— 4)*ñ(2). Ta xét các trường hợp: 18 (1) Nếu ổi + ổa < k, thì F9 >> —È.
Do g la hàm nguyên p-adic nén ổa > 0. Vi vay hijo 2a & Bồ đè|1.13| đã được chứng minh.2 Bồ đề Borel trong trường hợp p-adic Bổ đề Borel trong trường hợp phức được phát biểu dưới dạng đơn giản như sau. Gia st fi, fo,., fn là các hàm chỉnh hành không có không diém trén C sao cho fit fot---+ fn =0. Khi d6, céc ham f,., fn—1 phu thudc tuyến tính.
Bổ đề Borel đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các không gian hyperbolie. Với các mục đích khác nhau, một số mở rộng của Bồ đề này đã được dưa ra. Yeung da dua ra một mở rộng của Bo dé Borel nhu sau. Giả sử g;(œo.#n) là các đa thức thuần nhất bậc ð; uới 0 < j Sn.
Giả sử rằng tôn tại một đường cong chỉnh hành f:C—+P"(C) sao cho ảnh của ƒ nằm trong một siêu mặt xác định bởi n j=0 19 0à k > (n + l)(n — 1) +Ð3j_gỗ;. Khi do, tồn tại một hệ thúc tuyến tính không tầm thường giữa LẦN trên ảnh của ÿ. Sử dụng Định lý |I.10| chúng tôi thu được kết quả sau đây là một tương tự của Bổ đề Y. Yeung trong trường hợp p-adic.
Gid st gj(@0,---,%n) la da thitc thuan nhat bac 6; uới 0 < j <n. Giả sử rằng tồn tại một đường cong chỉnh hinh p-adic ƒ:{C, > P"(Œ,) có biéu dién f = (fo. fn) sao cho anh cia f nam trong siêu mặt xác định bởi n k—6, vy "gj (20, -++;2n); j=0 va k > (n+1)(n—1) +09 6;. Khi dé, các hàm sau phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không có không điểm chung: Pg (fo, cung Fn); thng 0 On( So, uo fn)- Chitng minh.
Tt gia thiét ta cd n k—6; À7 ”g/Œ. j=0 Giả sử ngược lại rằng các hàm fr 91 (fo, "mẽ «an độc lập tuyến tính, ta định nghĩa đường cong chỉnh hình g: Cẹ — Ph"1(Œ,) như sau g—= ( Oa (fo, tty fn); .g fe gn (fo, .cg đà)): Khi đó ø là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Xét các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P"~!Œ,) sau đây TH = {xì =0},., Hạ = {za = 0}, 20 Ani = {z1 +--- + Xn = 0}.10} ta có 2<, Hè ĐỀ Đi ¬ n—1{ yor) 2 ogr + O(1).4| ta có Ty(r) = max{T vụ pyre Tye %n(6. J fos fn) Do đó maXA mon t0) (Ї 7): 7g s2„(6,.,m}, ta có Mai) SN.9)(foynefn) (0,7) + OM) = (=1) (0,7) + Nn-1gs(fp s20.
0<j<n Với 7 = n + 1, ta cũng có Nn—1(An41,7) < (n—]) max (Ny, (0,r)}+ Noo(fo. Để đơn giản, ta đặt 0n Tp (r) ~ Ly, (r), 21 với 7o € {0,. Khi đó, ta có An 0./,)(0:7)- Từ đây và bất đẳng thức ([[.) (07) j=0 j#io — (n tn logr + O(1) Mặt khác, từ Bồ đề|1.) Š Ši max {Nz(0,7)} + OM): Do đó ( — ðj)Ng, (0,7) € (0= 1) +1)? Yd 5; | Ny, (0. j=0 Từ giả thiết k > S096; + (n — 1)ƒn + 1) ta có một mâu thuẫn khi r — +oo.3| đã được chứng mình.
O 22 Chú ý rằng, trong chứng minh Mệnh đề|1.