I. Hàm phân hình và đạo hàm
Luận án tập trung vào việc nghiên cứu hàm phân hình và đạo hàm của chúng trong cả trường hợp phức và p-adic. Hàm phân hình là các hàm giải tích trên mặt phẳng phức hoặc trường p-adic, có thể biểu diễn dưới dạng tỷ số của hai hàm nguyên. Đạo hàm của hàm phân hình được sử dụng để khảo sát các tính chất đặc biệt của hàm, đặc biệt là trong bài toán xác định duy nhất. Luận án đề cập đến các kết quả nổi bật như định lý Nevanlinna, định lý Picard, và các mở rộng của chúng trong trường hợp p-adic.
1.1. Khái niệm cơ bản về hàm phân hình
Hàm phân hình được định nghĩa là tỷ số của hai hàm nguyên không có không điểm chung. Trong trường hợp p-adic, hàm phân hình được xác định trên trường số phức p-adic Cp. Các tính chất của hàm phân hình như hàm đặc trưng, hàm đếm không điểm, và hàm xấp xỉ được sử dụng để phân tích sâu hơn về sự phân bố giá trị của hàm.
1.2. Đạo hàm và đạo hàm cấp cao
Đạo hàm của hàm phân hình được sử dụng để nghiên cứu các tính chất đặc biệt của hàm, đặc biệt là trong bài toán xác định duy nhất. Đạo hàm cấp cao cũng được khảo sát để mở rộng các kết quả trong lý thuyết Nevanlinna. Các kết quả như định lý Hayman và các mở rộng của nó được áp dụng để nghiên cứu các hàm phân hình và đạo hàm của chúng.
II. Tập xác định duy nhất
Luận án nghiên cứu tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng. Tập xác định duy nhất là tập hợp các điểm mà nếu hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược của tập này thì chúng trùng nhau. Các kết quả nổi bật bao gồm việc xây dựng các tập xác định duy nhất với số phần tử tối thiểu và các điều kiện đủ để một tập hợp là tập xác định duy nhất.
2.1. Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình
Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình được xây dựng dựa trên các kết quả từ lý thuyết Nevanlinna và các bổ đề Borel. Các tập hợp này có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, và luận án đưa ra các ví dụ cụ thể về các tập xác định duy nhất với số phần tử tối thiểu.
2.2. Tập xác định duy nhất cho đạo hàm
Tập xác định duy nhất cũng được nghiên cứu cho đạo hàm của hàm phân hình. Các kết quả cho thấy rằng nếu hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược của một tập hợp điểm cùng với đạo hàm của chúng, thì chúng có mối quan hệ mật thiết hoặc trùng nhau.
III. Phân tích hàm và ứng dụng
Luận án sử dụng các phương pháp phân tích hàm để nghiên cứu các tính chất của hàm phân hình và đạo hàm của chúng. Các kết quả này có ứng dụng trong lý thuyết số, giải tích p-adic, và các lĩnh vực liên quan. Các kỹ thuật như lý thuyết Nevanlinna, bổ đề Borel, và các định lý về đa thức vi phân được sử dụng để giải quyết các bài toán đặt ra.
3.1. Phân tích hàm phân hình
Phân tích hàm được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của hàm phân hình như sự phân bố giá trị, số khuyết, và các đặc trưng khác. Các kết quả từ lý thuyết Nevanlinna và các bổ đề Borel được áp dụng để phân tích sâu hơn về các hàm phân hình.
3.2. Ứng dụng trong lý thuyết số
Các kết quả từ luận án có ứng dụng trong lý thuyết số, đặc biệt là trong nghiên cứu các hàm phân hình trên trường p-adic. Các kỹ thuật và phương pháp được sử dụng trong luận án cũng có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác như phương trình hàm và phương trình vi phân.
