I. Tổng quan về sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức
Luận án tập trung vào sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức trong toán học, đặc biệt là trong không gian phức Cn. Các vấn đề chính bao gồm tính chất hội tụ, phân tích hàm, và ứng dụng toán học của các kết quả nghiên cứu. Luận án cũng đề cập đến phương pháp toán học và nghiên cứu toán học liên quan đến chuỗi lũy thừa hình thức và dãy hàm hữu tỷ.
1.1. Định lý hội tụ kiểu Vitali
Định lý Vitali cổ điển khẳng định rằng nếu một dãy hàm chỉnh hình bị chặn đều và hội tụ điểm trên một tập đủ lớn, thì dãy đó hội tụ đều trên các tập compact. Luận án mở rộng định lý này bằng cách loại bỏ giả thiết bị chặn đều, thay vào đó sử dụng tốc độ hội tụ của dãy hàm. Kết quả chính là Định lý 2.1, khẳng định rằng nếu dãy hàm chỉnh hình hội tụ nhanh trên một tập không đa cực, thì nó cũng hội tụ đều trên các tập compact.
1.2. Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức
Chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn được nghiên cứu với mục tiêu tìm điều kiện để chuỗi hội tụ tuyệt đối trên một lân cận của điểm gốc. Kết quả chính là Định lý 3.2, đưa ra điều kiện trên tập A trong Cn sao cho dãy chuỗi lũy thừa hình thức hội tụ trên một hình cầu. Phương pháp chứng minh cũng cung cấp đánh giá về bán kính hội tụ, mở rộng các kết quả của Molzon-Levenberg và Alexander.
II. Phương pháp nghiên cứu và kết quả chính
Luận án sử dụng các phương pháp toán học truyền thống trong giải tích hàm và giải tích phức, kết hợp với các công cụ hiện đại như lý thuyết đa thế vị. Các kết quả chính bao gồm tính chất hội tụ của dãy hàm hữu tỷ, chuỗi lũy thừa hình thức, và hàm chỉnh hình. Luận án cũng đưa ra các ứng dụng toán học cụ thể, góp phần hoàn thiện lý thuyết liên quan.
2.1. Hội tụ của dãy hàm hữu tỷ
Luận án nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ trên Cn, đặc biệt là các điều kiện để dãy hàm hội tụ điểm trên một tập con dẫn đến hội tụ đều trên toàn miền. Kết quả chính là Định lý 2.6, khẳng định rằng nếu dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh trên biên của miền bị chặn, thì nó cũng hội tụ theo dung lượng trên toàn miền. Điều này mở rộng các kết quả của Gonchar và Bloom.
2.2. Ứng dụng toán học
Các kết quả của luận án có ứng dụng toán học quan trọng trong việc xây dựng bao đa cực các tập đa cực trong Cn và giải các bài toán thác triển hàm chỉnh hình. Luận án cũng góp phần đa dạng hóa hệ thống công cụ và kỹ thuật nghiên cứu trong giải tích phức, mở ra hướng nghiên cứu mới cho các đề tài tương tự.
III. Kết luận và kiến nghị
Luận án đã đạt được các mục tiêu nghiên cứu đề ra, đóng góp vào hệ thống lý thuyết về sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức. Các kết quả chính bao gồm tính chất hội tụ, phương pháp nghiên cứu, và ứng dụng toán học. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, nhằm mở rộng và hoàn thiện các kết quả đã đạt được.
3.1. Đóng góp của luận án
Luận án đã đưa ra các công cụ, kỹ thuật, và phương pháp nghiên cứu mới, góp phần vào việc giải quyết các vấn đề liên quan đến sự hội tụ trong giải tích phức. Các kết quả nghiên cứu cũng có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, mở ra hướng nghiên cứu mới cho các nhà toán học.
3.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc mở rộng các kết quả về sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức trong các không gian phức phức tạp hơn. Các nghiên cứu này có thể áp dụng vào các bài toán thực tế trong vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính.
