Chương 1 TỔNG QUAN 1.1 Boson Higgs trong mô hình chuẩn Trong phần này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về lý thuyết SM để có cái nhìn tổng quan hơn về boson Higgs SM cũng như các tương tác của nó với các hạt khác. Lý thuyết điện yếu Glashow - Weinberg - Salam (GWS) xây dựng vào cuối những năm sáu mươi [3, 71, 81], mô tả tương tác điện từ và tương tác yếu cho các quark và các lepton dựa vào nhóm đối xứng chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y. Lý thuyết này kết hợp với nhóm đối xứng chuẩn QCD [13, 35, 36, 56], mô tả tương tác mạnh giữa các quark tạo thành một nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y , mô tả ba lực tương tác Mạnh-Điện từ-Yếu trong tự nhiên gọi là SM. Trong SM có ba loại 1 trường phân biệt theo spin.
Trường có spin bằng gọi là trường vật chất 2 (fermion), trường có spin bằng 1 đóng vai trò truyền tương tác (boson chuẩn) và trường có spin bằng 0 là trường sinh khối lượng cho các hạt (trường boson Higgs), chúng tôi sẽ đề cập lần lượt trong phần tiếp theo. • Trường vật chất (fermion): Gồm các lepton và các quark xếp thành 8 ba thế hệ, trong đó các lepton là đơn tuyến với nhóm màu và các quark là tam tuyến đối với nhóm màu. Thế hệ thứ nhất: e, νe , u, d. Thế hệ thứ hai: µ, νµ , c, s.
Thế hệ thứ ba: τ, ντ , t, b. Các hạt phân cực trái xếp vào lưỡng tuyến, các hạt phân cực phải xếp vào đơn tuyến.1) eaL uaL Qa = ∼ (2, 1 ), uaR ∼ (1, 4 ), daR ∼ (1, − 2 ), (1.2) daL 3 3 3 trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ, số lượng tử đầu tiên trong ngoặc đơn chỉ biểu diễn của nhóm SU (2)L và số lượng tử thứ hai là siêu tích yếu của nhóm U (1)Y. Theo lý thuyết SM, mô hình không có thành phần neutrino phân cực phải nên neutrino không có khối lượng. Xuất phát từ điều kiện bảo toàn điện tích, chúng ta xác định được siêu tích cho lưỡng tuyến và đơn tuyến thông qua toán tử điện tích Q.
Toán tử điện tích có dạng YW Q = T3 + , (1.3) 2 σ3 với YW là siêu tích yếu của các đa tuyến, T3 = đối với lưỡng tuyến với 2 σ3 là ma trận Pauli và T 3 = 0 đối với đơn tuyến. Khi đó xác định được giá trị các siêu tích như sau [4]: YLa = −1, YRa = −2, 1 4 2 YQa = , YuaR = , YdaR = − .4) 3 3 3 • Trường boson chuẩn: Các trường này đóng vai trò truyền tương tác. Trong lý thuyết điện yếu, chúng ta có trường Bµ tương ứng với vi tử YW 9 của nhóm U (1)Y , ba trường W1,2,3 tương ứng với ba vi tử Ta của nhóm σa SU (2)L. Trong biểu diễn cơ sở Ta = , trong đó σa là các ma trận Pauli 2 0 1 0 −i 1 0 σ1 = , σ2 = , σ3 = , (1.5) 1 0 i 0 0 −1 thỏa mãn hệ thức giao hoán T a , T b = iǫabcTc , (1.6) với ǫabc là tensor phản xứng và được gọi là hằng số cấu trúc của nhóm SU (2)L.
Trong phần tương tác mạnh, có tám trường gluon G1,.,8 µ tương ứng với tám vi tử tm (m = 1, ., 8) của nhóm SU (3)C. Trong biểu diễn cở sở λm tm = , trong đó λm là các ma trận Gell-Mann 3 × 3. Các vi tử trong 2 trường này thỏa mãn điều kiện [tm , tn ] = if mnptp , (1.7) trong đó f mnp là hằng số cấu trúc của nhóm SU (3)C , hoàn toàn phản xứng. Các quark không liên quan đến quá trình rã h0 → µ± τ ∓ nên ở đây chúng tôi không xét phần biến đổi của các quark mà chỉ xét đến phần biến đổi của các lepton liên quan nhóm chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y.
Dưới phép biến đổi chuẩn định xứ, các trường biến đổi như sau: P3 σa SU (2)L : La(x) → L′a (x) = e−ig a=1 2 αa (x) La (x), Ra (x) → Ra′ (x) = Ra (x), i ′ U (1)Y : La(x) → L′a (x) = e 2 g β(x) Le (x), ′ Ra (x) → Ra′ (x) = eig β(x) Ra (x), 10 trong đó αa (x) và β(x) là các tham số biến đổi, g và g ′ tương ứng là các hằng số tương tác của nhóm SU (2)L, U (1)Y. Phần động năng bất biến dưới nhóm đối xứng chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y được viết như sau: 1 a µν 1 LSM = − Wµν Wa − Bµν B µν + iLa Dµ γ µ La + iRa Dµ γ µRa , (1.8) 4 4 trong đó Wµν a và Bµν là các tensor cường độ trường chuẩn và lấy tổng theo chỉ số a cho tất cả các trường. Các tensor được viết dưới dạng như sau: a Wµν = ∂µ Wνa − ∂ν Wµa + gǫabc Wµb Wνc , Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ .9) Nhận xét: Thứ nhất, các fermion phân cực phải và phân cực trái tương ứng là đơn tuyến và lưỡng tuyến của nhóm SU (2)L nên tích của chúng không bất biến chuẩn, dẫn đến không xuất hiện số hạng khối lượng của các fermion trong Lagrangian. Thứ hai, trong Lagrangian (1.8), không xuất 1 hiện số hạng khối lượng mW Wµ W µ do vi phạm bất biến chuẩn của nhóm 2 SU (2)L ⊗ U (1)Y.
Ví dụ, trong QED [4], photon không khối lượng bởi vì 1 1 µ µ Aµ A → Aµ + ∂µ α(x) A + ∂ α(x) 6= Aµ Aµ. µ e e • Phá vỡ đối xứng điện yếu nhóm SU (2)L ⊗ U (1)Y (Cơ chế Higgs). Vấn đề sinh khối lượng cho các hạt được giải quyết bằng cách áp dụng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát vào nhóm SU (2)L ⊗ U (1)Y. Theo cơ chế này, ba boson chuẩn W ± và Z nhận khối lượng sau khi hấp thụ các Goldstone boson, đồng thời ba vi tử tương ứng bị phá vỡ.
Trường photon tương ứng với vi tử cuối cùng không bị phá vỡ dẫn đến khối lượng bằng không. Do đó, chúng ta cần ít nhất ba bậc tự do của trường vô hướng, đơn giản nhất 11 chúng ta chọn lưỡng tuyến Higgs vô hướng của nhóm SU (2)L phức có dạng + ϕ φ= ∼ (2, 1) , Yϕ = +1.10) ϕ0 Lagrangian bất biến chuẩn của trường boson Higgs được viết là 2 L = (Dµ φ)† (Dµ φ) − V (φ), V (φ) = −µ2 φ† φ + λ φ† φ , (1.11) trong đó Dµ là đạo hàm hiệp biến Y Dµ = ∂µ − igTa Wµa − ig ′ Bµ .12) 2 Xét tại cực tiểu thế, Higgs vô hướng có giá trị trung bình chân không (VEV) là s 1 0 µ2 hφi0 = h0|φ|0i = √ , v = , (1. Với trung bình chân không của của boson Higgs như trên, đối xứng điện yếu bị phá vỡ tự phát. Chúng ta giới thiệu các trường mới là h0 (x) và ζ(x).
Trước khi phá vỡ đối xứng, trường Higgs vô hướng được tham số hóa như sau: + ϕ φ(x) = 1 .14) 0 √ h (x) + iζ(x) 2 Khai triển số hạng thế năng (1.11) chúng ta thu được bốn trường ϕ+, ϕ−, h0 và ζ có khối lượng bằng nhau. Trường φ(x) được tham số hóa như sau: 1 0 (1. 2 0 v + h (x) 12 Trong chuẩn unita, ta quay trường φ(x) phép biến đổi dưới dạng 1 0 (1.16) a φ(x) → φ′ (x) = e−iTaζ (x)/v φ(x) = √ , 2 v + h (x) 0 v với √ là VEV của trường boson Higgs trung hòa. Như vậy, các Goldstone 2 boson đã biến mất, bị các trường chuẩn W ± , Z ăn.
Lagrangian bất biến chuẩn của trường boson Higgs được viết lại là † 2 L′ = (Dµ φ′ ) (Dµ φ′ ) − V (φ′ ), V (φ′ ) = −µ2 φ′† φ′ + λ φ′† φ′ .17) Khai triển thế Higgs trong (1.17) xung quanh VEV, thu được kết quả như sau: ′ 1 2 2 0 0 2 V (φ) = −µ v + 2vh + (h ) + .18), khối lượng của boson Higgs được xác định là 1 2 mh0 = v 2λ = µ2 , 2 √ ⇒ mh0 = 2µ.19) Khai triển số hạng động năng trong (1.17), chúng ta có g 2 v 2 µ+ − g 2 v 2 g′ g′ µ ′G 3 3µ L mass = W Wµ + W µ − Bµ W − B 4 8 g g ′ g 2 2 g v 2 2 g v 1 − W 3µ g W +µWµ− + = 3 W µ Bµ g ′ g ′ 4 8 − B µ g g 2 2 2 µ g v mAµ 0 A = W +µWµ− + Aµ Zµ .20), khối lượng của các boson chuẩn W ± và Z được xác định là gv mW mW ± = , mZ = , mA = 0, (1.21) 2 cosθW g trong đó tanθW = , θW là góc Weinberg. Như vậy, sau khi phá vỡ đối g′ xứng tự phát, chỉ có boson Higgs h0 có khối lượng, ba trường boson Higgs còn lại không khối lượng, đồng thời ba boson chuẩn W ± , Z có khối lượng. Lagrangian tương tác Yukawa bất biến với nhóm chuẩn SU (2)L ⊗U (1)Y được viết như sau: LY = −Yabl L̄a φ′ Rb − Yabd q̄a φ′ dbR − Yabu q̄a φ̃′ ubR + H.22) trong đó a, b là chỉ số thế hệ và φ̃′ = iσ2 φ′∗ .22) quanh VEV, chúng ta thu được số hạng khối lượng của các fermion. Ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào tương tác của boson Higgs với boson chuẩn và các fermion.22), một số đỉnh tương tác liên quan boson Higgs được tổng hợp lại trong Bảng 1.1: Hệ số đỉnh tương tác liên quan boson Higgs SM Đỉnh tương tác Hệ số đỉnh Đỉnh tương tác Hệ số đỉnh −imf −im2h0 h0 f¯f h0 h0 h0 v 2v igmZ h0 W µ+ W ν− igmW gµν h0 Z µ Z ν gµν cW Tất cả các hệ số đỉnh tương tác giữa boson Higgs SM với các hạt khác trong Bảng 1.1, kể cả hằng số tự tương tác đều chứa các tham số đã biết từ thực nghiệm, vì thế đặc tính của boson Higgs SM cũng được xác định.
Như đã biết, LHC đã tìm ra boson Higgs và xác định được một số hệ số tương tác của nó một cách độc lập với lý thuyết.