I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu quỹ tích môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether. Mục tiêu chính là mô tả các quỹ tích không Cohen-Macaulay và các quỹ tích liên quan như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Luận án sử dụng các công cụ từ hình học đại số và lý thuyết môđun để phân tích cấu trúc của các môđun này. Các kết quả nghiên cứu không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết mà còn có tiềm năng ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học.
1.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính là các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các tính chất môđun như tính Cohen-Macaulay, tính không trộn lẫn, và các quỹ tích liên quan. Luận án cũng xem xét các cấu trúc đại số và tính toán trong vành để phân tích các quỹ tích này.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp từ lý thuyết đối đồng điều địa phương, phân tích nguyên sơ, và biểu diễn thứ cấp. Các tập giả giá và giá suy rộng được giới thiệu để mô tả các quỹ tích. Ngoài ra, các định lý Noether và tính chất đồng nhất cũng được áp dụng để chứng minh các kết quả mới.
II. Quỹ tích không Cohen Macaulay
Quỹ tích không Cohen-Macaulay của một môđun M, ký hiệu là nCM(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay. Luận án đưa ra các công thức tính toán quỹ tích này thông qua các tập giả giá. Các kết quả chính bao gồm mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary, tính không trộn lẫn, và chiều của các môđun đối đồng điều địa phương.
2.1. Mô tả quỹ tích không Cohen Macaulay
Quỹ tích không Cohen-Macaulay được mô tả thông qua các tập giả giá PsuppiR(M). Cụ thể, nCM(M) là hợp của các giao của các tập giả giá PsuppiR(M) và PsuppjR(M) với 0 ≤ i < j ≤ d. Kết quả này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay và các môđun đối đồng điều địa phương.
2.2. Tính đóng của quỹ tích không Cohen Macaulay
Luận án chứng minh rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay là tập đóng theo tôpô Zariski khi vành cơ sở R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Điều này mở rộng các kết quả trước đây về tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay.
III. Quỹ tích không Cohen Macaulay suy rộng
Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, ký hiệu là nGCM(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Luận án giới thiệu khái niệm giá suy rộng để mô tả quỹ tích này. Các kết quả chính bao gồm mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng và các môđun đối đồng điều địa phương.
3.1. Mô tả quỹ tích không Cohen Macaulay suy rộng
Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng được mô tả thông qua các giá suy rộng LsuppiR(M). Cụ thể, nGCM(M) là hợp của các giá suy rộng LsuppiR(M) với 1 ≤ i < d. Kết quả này cho thấy mối liên hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng và các môđun đối đồng điều địa phương.
3.2. Tính đóng của quỹ tích không Cohen Macaulay suy rộng
Luận án chỉ ra rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng ít khi là tập đóng theo tôpô Zariski. Tuy nhiên, trong trường hợp vành R là catenary phổ dụng và môđun M là đẳng chiều, quỹ tích này đóng khi và chỉ khi kiểu đa thức p(M) ≤ 1.
IV. Các quỹ tích liên quan khác
Luận án cũng nghiên cứu các quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng, và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Các quỹ tích này được mô tả thông qua các lọc chiều của môđun và các giá suy rộng.
4.1. Quỹ tích giả Cohen Macaulay
Quỹ tích giả Cohen-Macaulay, ký hiệu là pCM(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả Cohen-Macaulay. Luận án chỉ ra rằng pCM(M) là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M/UM(0), với UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d.
4.2. Quỹ tích giả Cohen Macaulay suy rộng
Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng, ký hiệu là pGCM(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng. Luận án chỉ ra rằng pGCM(M) là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M/UM(0).
