Luận án tiến sĩ kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế

Luận án tiến sĩ nghiên cứu kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực, phân tích chuyên sâu, xây dựng mô hình lý thuyết,

• Tác giả: Hồ Thị Minh Phương
• Người hướng dẫn: Nguyễn Thị Tân An
• Trường học: Đại học Huế - Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Huế

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
• 1.2. Ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề
• 1.3. Kiến thức khái niệm
• 1.4. Kiến thức quy trình
• 1.5. Mối quan hệ giữa kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình
• 1.6. Chất lượng và loại kiến thức
• 1.7. Kiến thức bối cảnh
• 1.8. Kết nối ba loại kiến thức trong quá trình giải quyết vấn đề thực tế
• 1.9. Năng lực toán học
• 1.10. Năng lực toán học và vai trò của ba loại kiến thức trong hình thành năng lực toán học của học sinh
• 1.11. Một số nghiên cứu liên quan đến năng lực toán học và mối quan hệ với ba loại kiến thức
• 1.12. Thực trạng sử dụng ba loại kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến nội dung về phương trình
• 1.13. Vai trò của kiến thức về phương trình và thực trạng đánh giá ba loại kiến thức về phương trình trong chương trình Đại số 10
• 1.14. Những khó khăn của học sinh trong việc sử dụng ba loại kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến nội dung về phương trình
• 1.15. Đặt vấn đề nghiên cứu
• 1.16. Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu
• 2. CHƯƠNG 2: KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
• 2.1. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình
• 2.2. Nội dung phương trình trong sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản
• 2.3. Nội dung phương trình trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao
• 2.4. Kiến thức khái niệm về phương trình
• 2.5. Kiến thức quy trình về phương trình
• 2.6. Phân loại các nhiệm vụ toán theo kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình
• 2.7. Các kiểu kiến thức của phân loại PCK
• 2.8. Phân loại kiến thức PCK đối với nội dung phương trình một ẩn
• 2.9. Phân loại kiến thức PCK đối với nội dung phương trình bậc nhất một ẩn
• 2.10. Phân loại kiến thức PCK đối với nội dung phương trình bậc hai một ẩn
• 2.11. Năng lực giải quyết vấn đề và thang đo năng lực giải quyết vấn đề
• 2.12. Năng lực giải quyết vấn đề
• 2.13. Thang đo các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề
• 2.14. Dạy học thúc đẩy kiến thức khái niệm và năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
• 2.15. Dạy học theo bối cảnh
• 2.16. Các giai đoạn dạy học theo bối cảnh để thúc đẩy kiến thức khái niệm của học sinh
• 2.17. Kết hợp quá trình giải quyết vấn đề của PISA với các giai đoạn dạy học theo bối cảnh trong dạy học thúc đẩy năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
• 3. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• 3.1. Thiết kế nghiên cứu
• 3.2. Đối tượng tham gia
• 3.3. Công cụ nghiên cứu
• 3.4. Thiết kế thực nghiệm dạy học
• 3.5. Mục tiêu của thực nghiệm dạy học
• 3.6. Tiến trình thực nghiệm dạy học
• 3.7. Phân tích dữ liệu
• 4. CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
• 4.1. Khả năng sử dụng kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kết hợp ba loại kiến thức về nội dung phương trình trong giải quyết vấn đề của học sinh
• 4.2. Khả năng giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh
• 4.3. Tiếp cận dạy học theo bối cảnh thúc đẩy kiến thức khái niệm về nội dung phương trình của học sinh
• 4.4. Tiếp cận dạy học theo bối cảnh thúc đẩy năng lực giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh
• 4.5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• 4.5.1. Khả năng sử dụng và kết hợp kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình với kiến thức bối cảnh về nội dung phương trình trong giải quyết vấn đề của học sinh
• 4.5.2. Tiếp cận dạy học hiểu khái niệm và giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh
• 4.5.3. Hiệu quả của tiếp cận dạy học theo bối cảnh trong dạy học hiểu khái niệm phương trình của học sinh
• 4.5.4. Hiệu quả của tiếp cận dạy học theo bối cảnh trong dạy học giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh
• 4.5.5. Tóm tắt kết quả nghiên cứu của luận án
• 4.5.6. Đóng góp của nghiên cứu
• 4.5.7. Giới hạn và hướng mở rộng của đề tài
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN CÁC ĐỀ TÀI, DỰ ÁN ĐÃ THAM GIA
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình

Luận án tập trung vào việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Kiến thức quy trình (KTQT) liên quan đến các bước thực hiện và thuật toán, trong khi kiến thức khái niệm (KTKN) tập trung vào hiểu biết sâu về cấu trúc và ý nghĩa của phương trình. Sự kết hợp này giúp học sinh không chỉ thực hiện các bước giải mà còn hiểu rõ bản chất vấn đề. Luận án nhấn mạnh tầm quan trọng của việc tích hợp hai loại kiến thức này để nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề.

1.1. Kiến thức quy trình trong giải quyết vấn đề

Kiến thức quy trình đóng vai trò quan trọng trong việc hướng dẫn học sinh thực hiện các bước giải phương trình một cách hệ thống. Luận án phân tích các quy trình giải phương trình bậc nhất và bậc hai, đồng thời đánh giá khả năng áp dụng của học sinh trong các tình huống thực tế. Các quy trình này không chỉ giúp học sinh giải quyết vấn đề nhanh chóng mà còn tạo nền tảng cho việc phát triển các kỹ năng toán học cao hơn.

1.2. Kiến thức khái niệm và ý nghĩa của phương trình

Kiến thức khái niệm giúp học sinh hiểu rõ bản chất và ý nghĩa của phương trình, từ đó áp dụng linh hoạt trong các tình huống khác nhau. Luận án chỉ ra rằng việc hiểu sâu về khái niệm phương trình giúp học sinh không chỉ giải quyết vấn đề một cách máy móc mà còn phát triển tư duy logic và sáng tạo. Điều này đặc biệt quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế phức tạp.

II. Giải quyết vấn đề thực tế thông qua phương trình

Luận án đề cập đến việc giải quyết vấn đề thực tế thông qua việc áp dụng phương trình. Các vấn đề thực tế được đưa vào nghiên cứu bao gồm các tình huống trong đời sống hàng ngày và các bài toán liên môn. Luận án nhấn mạnh rằng việc sử dụng phương trình để giải quyết vấn đề không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng toán học mà còn phát triển khả năng tư duy và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn.

2.1. Ứng dụng phương trình trong thực tiễn

Luận án phân tích các ứng dụng thực tiễn của phương trình trong các lĩnh vực như kinh tế, khoa học và kỹ thuật. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cách phương trình có thể được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề thực tế. Điều này giúp học sinh nhận thức được tầm quan trọng của toán học trong cuộc sống hàng ngày.

2.2. Khó khăn và thách thức trong giải quyết vấn đề thực tế

Luận án cũng chỉ ra những khó khăn mà học sinh gặp phải khi áp dụng phương trình để giải quyết vấn đề thực tế. Những khó khăn này bao gồm việc hiểu sai vấn đề, thiếu kiến thức bối cảnh và khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm. Luận án đề xuất các giải pháp để khắc phục những thách thức này, giúp học sinh nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề.

III. Phương pháp và kỹ thuật nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu định lượng và định tính để thu thập và phân tích dữ liệu. Các công cụ nghiên cứu bao gồm bảng hỏi, bài kiểm tra và thực nghiệm dạy học. Luận án cũng đề xuất các kỹ thuật để đánh giá khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh trong giải quyết vấn đề thực tế.

3.1. Thiết kế nghiên cứu và đối tượng tham gia

Luận án mô tả chi tiết thiết kế nghiên cứu và đối tượng tham gia, bao gồm học sinh lớp 10 từ các trường THPT tại khu vực Nam Trung Bộ và Tây Nguyên. Các bước thực hiện nghiên cứu được trình bày rõ ràng, từ việc thiết kế công cụ nghiên cứu đến quá trình thu thập và phân tích dữ liệu.

3.2. Phân tích dữ liệu và kết quả nghiên cứu

Luận án trình bày kết quả phân tích dữ liệu từ các bài kiểm tra và bảng hỏi, đánh giá khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh. Các kết quả nghiên cứu cho thấy sự cải thiện đáng kể trong khả năng giải quyết vấn đề thực tế của học sinh sau khi áp dụng các phương pháp dạy học được đề xuất.

IV. Giải pháp và ứng dụng thực tiễn

Luận án đề xuất các giải pháp để nâng cao hiệu quả dạy và học phương trình, bao gồm việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm trong giảng dạy. Các ứng dụng thực tiễn của nghiên cứu được trình bày, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc áp dụng toán học vào thực tế cuộc sống.

4.1. Giải pháp nâng cao hiệu quả dạy học

Luận án đề xuất các giải pháp như sử dụng bối cảnh thực tế trong giảng dạy, tăng cường các hoạt động thực hành và khuyến khích học sinh tự khám phá kiến thức. Các giải pháp này giúp học sinh hiểu sâu hơn về phương trình và áp dụng linh hoạt trong các tình huống thực tế.

4.2. Ứng dụng thực tiễn và phát triển kỹ năng

Luận án nhấn mạnh tầm quan trọng của việc ứng dụng thực tiễn trong giáo dục toán học. Các kỹ năng như tư duy logic, giải quyết vấn đề và sáng tạo được phát triển thông qua việc áp dụng phương trình vào thực tế. Điều này không chỉ giúp học sinh học tốt môn toán mà còn chuẩn bị cho họ những kỹ năng cần thiết trong cuộc sống.

V. Đánh giá và kết luận

Luận án đưa ra các đánh giá về hiệu quả của việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm trong giải quyết vấn đề thực tế. Các kết quả nghiên cứu cho thấy sự cải thiện đáng kể trong khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để phát triển và hoàn thiện các phương pháp dạy học.

5.1. Đánh giá hiệu quả nghiên cứu

Luận án đánh giá hiệu quả của các phương pháp dạy học được đề xuất thông qua việc phân tích kết quả học tập của học sinh. Các đánh giá cho thấy sự cải thiện rõ rệt trong khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh, cũng như khả năng giải quyết vấn đề thực tế.

5.2. Kết luận và hướng phát triển

Luận án kết luận rằng việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm là một phương pháp hiệu quả để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề thực tế của học sinh. Các hướng phát triển tiếp theo bao gồm việc mở rộng nghiên cứu sang các chủ đề toán học khác và áp dụng các phương pháp dạy học mới trong thực tiễn giáo dục.

Nội dung chính

Tổng quan về luận án

Trong xu thế đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục toán học theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực, việc chuyển dịch từ lối truyền thụ thụ động sang phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tế (GQVĐ) giữ vai trò then chốt (Chương trình GDPT môn Toán, 2018). Nghiên cứu của nghiên cứu sinh Hồ Thị Minh Phương với đề tài "Kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế" (Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, Mã số: 9140111, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, 2022) đại diện cho một công trình tiên phong trong việc tích hợp lý thuyết nhận thức và giáo dục toán thực tế tại Việt Nam.

Mặc dù chủ đề phương trình (PT) là trục kiến thức trung tâm xuyên suốt từ phổ thông đến đại học (Stewart, 2012; Vaiyavutjamai & Clements, 2006), tồn tại một khoảng trống nghiên cứu sâu sắc (research gap): các phân tích thực nghiệm về mối liên hệ tương hỗ giữa kiến thức khái niệm (Conceptual Knowledge - CK), kiến thức quy trình (Procedural Knowledge - PK) và kiến thức bối cảnh (Contextual Knowledge - KTBC) trong giải quyết bài toán thực tế còn rất khan hiếm tại Việt Nam (Trần Vui, 2018). Đa số người học chỉ giải thuật toán đơn thuần mà thiếu hiểu biết sâu sắc về mặt cấu trúc ý nghĩa (Sönnerhed, 2009; Kieran, 2007).

Để giải quyết khoảng trống học thuật này, luận án xác định 4 câu hỏi nghiên cứu và giả thuyết tường minh:

1. RQ1: Mức độ làm chủ và mối quan hệ giữa KTKN, KTQT và KTBC về chủ đề phương trình của học sinh lớp 10 hiện nay diễn ra như thế nào khi giải quyết các vấn đề thực tế? (Hypothesis H1: Học sinh thành thạo KTQT đơn lẻ nhưng thiếu hụt nghiêm trọng khả năng kết nối KTKN và KTBC trong quá trình mô hình hóa).
2. RQ2: Thực trạng năng lực giải quyết vấn đề toán học về nội dung phương trình theo các thành tố của khung đánh giá quốc tế PISA của học sinh đạt ở mức độ nào? (Hypothesis H2: Điểm số năng lực ở khâu toán học hóa và giải thích thực tế thấp hơn đáng kể so với khâu thực hiện phép biến đổi đại số thuần túy).
3. RQ3: Khung phân loại kiến thức PCK và tiến trình dạy học theo bối cảnh có thể cải thiện năng lực hiểu khái niệm phương trình ra sao? (Hypothesis H3: Dạy học theo bối cảnh tạo ra sự chuyển biến vượt bậc về chất lượng hiểu bản chất của phương trình).
4. RQ4: Việc can thiệp sư phạm bằng dạy học theo bối cảnh có nâng cao có ý nghĩa thống kê đối với năng lực giải quyết vấn đề thực tế của học sinh hay không? (Hypothesis H4: Tiến trình dạy học mới thúc đẩy đồng thời sự tích hợp ba loại kiến thức và cải thiện rõ nét điểm số hậu thực nghiệm).

Khung lý thuyết của công trình được định hình dựa trên sự tích hợp giữa lý thuyết cấu trúc kiến thức toán học của Hiebert & Lefevre (1986), Star (2005), Rittle-Johnson & Koedinger (2005), Giáo dục toán thực tế (Realistic Mathematics Education - RME) của Freudenthal (1973, 1991), chu trình mô hình hóa 7 bước của Blum & Leiss (2007), và Khung đánh giá năng lực toán học PISA 2021 (OECD, 2018).

Về phạm vi và tính đại diện, nghiên cứu triển khai qua 3 giai đoạn chặt chẽ trên mẫu khảo sát quy mô gồm hàng trăm học sinh lớp 10 tại các trường THPT trọng điểm thuộc khu vực Nam Trung Bộ và Tây Nguyên (THPT Nguyễn Diêu, THPT Hùng Vương - Bình Định; THPT Kon Tum, THPT Lê Lợi - Kon Tum; THPT Phan Bội Châu - Khánh Hòa; THPT Phan Đình Phùng - Phú Yên). Công trình mang lại tác động định lượng đột phá, cung cấp bộ công cụ phân loại PCK và thang đo năng lực GQVĐ được chuẩn hóa, giải quyết bài toán cốt lõi trong đổi mới phương pháp dạy học đại số hiện đại.

Literature Review và Positioning

Lịch sử phát triển của lý luận dạy học toán ghi nhận các luồng quan điểm lớn về cấu trúc nhận thức. Skemp (1976) đặt nền móng với sự phân biệt giữa kiến thức công cụ (instrumental understanding - nắm quy tắc máy móc) và kiến thức quan hệ (relational understanding - biết cách làm và hiểu lý do tại sao quy tắc vận hành). Hiebert & Lefevre (1986) đã chuẩn hóa thuật ngữ Conceptual Knowledge (kiến thức mạng lưới phong phú các mối liên hệ) và Procedural Knowledge (chuỗi quy tắc, thuật toán tuần tự thao tác trên ký hiệu).

Trong tiến trình phát triển lý thuyết, xuất hiện những tranh luận học thuật gay gắt giữa 4 mô hình phát triển:

• Quan điểm phát triển khái niệm trước (Gelman & Williams, 1998; Halford, 1993): Khái niệm là nền tảng tất yếu để sinh ra quy trình. NCTM (2014, tr. 7) củng cố nhận định này khi khẳng định sự hiểu biết khái niệm là tiền đề bắt buộc để hình thành sự thành thạo quy trình.
• Quan điểm phát triển quy trình trước (Karmiloff-Smith, 1992; Siegler & Stern, 1998): Học sinh làm quen các thuật toán cơ bản trước, sau đó quá trình trừu tượng hóa sẽ kiến tạo nên kiến thức khái niệm.
• Quan điểm bất hoạt hóa / phát triển độc lập (Rittle-Johnson & Schneider, 2015): Hai luồng kiến thức vận hành trên hai trục nhận thức riêng biệt trong các bối cảnh nhất định.
• Quan điểm tương tác hai chiều (Bidirectional Iterative Model) (Baroody, 2003; Rittle-Johnson & Siegler, 1998; Rittle-Johnson, 2017, 2019): KTKN và KTQT phát triển đan xen, tác động hỗ sinh theo thời gian.

Rittle-Johnson & Koedinger (2005) đã mở rộng khung nhận thức này bằng cách bổ sung Kiến thức bối cảnh (Contextual Knowledge), nhấn mạnh rằng: "kiến thức được tổ chức, có cấu trúc tốt cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề mới và ghi nhớ nhiều thông tin hơn là thực hiện các sự kiện hoặc quy trình đã ghi nhớ". Van de Walle (2019) khẳng định thêm: "một khi KTQT có kết nối mật thiết với KTKN thì các quy trình và các ký hiệu sẽ là những công cụ mạnh mẽ để xây dựng kiến thức mới".

Về mặt định vị nghiên cứu học thuật quốc tế, luận án đặt trong sự đối sánh với 3 công trình tiêu biểu:

1. Nghiên cứu của Sáenz (2009) tại Tây Ban Nha trên 140 sinh viên Đại học Autonomous Madrid: Chỉ ra rằng việc thiếu hụt hiểu biết sâu sắc về khái niệm khiến người học lạm dụng thuật toán khuôn mẫu, dẫn tới thất bại khi giải quyết các nhiệm vụ PISA có bối cảnh phức tạp.
2. Nghiên cứu của Aydın & Özgeldi (2019) tại Thổ Nhĩ Kỳ trên đối tượng giáo viên tiểu học tương lai đối với các nhiệm vụ PISA 2012: Phát hiện rằng giáo viên tương lai sở hữu kiến thức bối cảnh rất rời rạc và hiếm khi liên kết toán học hóa được với KTKN.
3. Nghiên cứu của Kolar & Hodnik (2021) tại Slovenia trong dự án quốc gia NA-MA POTI: Phân tích sự phức tạp khi xử lý nhiệm vụ phi bối cảnh và có bối cảnh trên học sinh lớp 6 bằng phương pháp Grounded Theory, chứng minh học sinh nhận diện bản chất toán học trong bài toán bối cảnh đạt tỷ lệ giải quyết thành công cao vượt trội.

Luận án của Hồ Thị Minh Phương định vị chính xác khoảng trống: chuyển giao khung nhận thức tích hợp ba loại kiến thức (KTKN, KTQT, KTBC) vào địa hạt cụ thể là chủ đề Phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình toán trung học phổ thông, đồng thời xây dựng một thiết kế can thiệp sư phạm chuẩn tắc tại môi trường giáo dục Việt Nam.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án mở rộng thuyết cấu trúc nhận thức của Star (2005) và Rittle-Johnson & Schneider (2015) bằng việc tái định nghĩa ranh giới giữa loại kiến thức (type of knowledge) và chất lượng kiến thức (quality of knowledge). Nghiên cứu bác bỏ định kiến cho rằng KTQT mặc nhiên là hời hợt (superficial) còn KTKN mặc nhiên là sâu sắc (deep). Luận án chứng minh rằng KTQT hoàn toàn có thể đạt tới mức độ sâu sắc khi người học hiểu rõ căn nguyên logic của từng bước chuyển đổi thuật toán, nắm vững điều kiện biên và mục tiêu của quy trình.

Mô hình lý thuyết thiết lập 3 mệnh đề cốt lõi:

• Proposition P1: KTKN về phương trình (bản chất nghiệm, quan hệ tương đương, hệ quả, quan hệ đồ thị) đóng vai trò điều hướng lựa chọn chiến lược và ngăn ngừa sai lầm nghiệm ngoại lai.
• Proposition P2: KTQT sâu sắc (quy tắc chuyển vế, biến đổi đại số, công thức nghiệm, vẽ đồ thị) cung cấp công cụ vận hành chính xác để giải quyết mô hình toán.
• Proposition P3: KTBC đóng vai trò cầu nối kích hoạt quá trình chuyển ngữ giữa thực tiễn và mô hình toán học trừu tượng thông qua chu trình toán học hóa RME.

Khung phân tích độc đáo

Luận án tích hợp 3 trụ cột lý thuyết: Lý thuyết cấu trúc kiến thức (Hiebert & Lefevre, 1986; Star, 2005), Giáo dục toán thực tế RME (Freudenthal, 1991) và Chu trình mô hình hóa toán học (Blum & Leiss, 2007; OECD, 2018). Khung phân tích PCK (Procedural and Conceptual Knowledge framework) độc đáo được kiến tạo nhằm phân loại các nhiệm vụ đại số theo 4 mức độ:

1. Kiểu nhiệm vụ CK1: Đánh giá hiểu biết nguyên tắc, định nghĩa, khái niệm cơ bản (ví dụ: nhận biết tập xác định, bản chất dấu bằng, tham số và ẩn số).
2. Kiểu nhiệm vụ CK2: Đánh giá hiểu biết nguyên tắc bên dưới quy trình và quan hệ cấu trúc (ví dụ: giải thích tại sao phép bình phương làm xuất hiện nghiệm ngoại lai, tương giao đồ thị).
3. Kiểu nhiệm vụ PK: Đánh giá kỹ năng thao tác thuật toán, thực thi công thức thuần túy (ví dụ: bấm máy tính, giải phương trình bậc hai dạng chuẩn).
4. Kiểu nhiệm vụ tích hợp PCK - KTBC: Đòi hỏi vận dụng phối hợp cả ba nguồn tri thức để giải quyết trọn vẹn bài toán thực tế (ví dụ: bài toán tối ưu hóa chi phí nhiên liệu tàu thủy NewWave, bài toán lát nền nhà để xe).

Điều kiện biên (boundary conditions) của khung phân tích được xác định rõ: áp dụng tối ưu cho nội dung đại số phổ thông (trọng tâm là phương trình và hệ phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn và nhiều ẩn), trong bối cảnh các bài toán có dữ liệu thực tế đòi hỏi quá trình toán học hóa từ thấp đến cao.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Luận án vận dụng lập trường nhận thức luận thực chứng thực tế (pragmatic / critical realism) kết hợp phương pháp nghiên cứu hỗn hợp (Mixed Methods Research) theo chuẩn mực của Creswell (2012). Thiết kế nghiên cứu gồm 3 giai đoạn liên hoàn:

• Giai đoạn 1: Phân tích thể chế sách giáo khoa (SGK Đại số 10 cơ bản và nâng cao) kết hợp khảo sát thực trạng diện rộng trên giáo viên và học sinh bằng bảng hỏi chuẩn hóa.
• Giai đoạn 2: Thiết kế công cụ đo lường gồm hệ thống bài kiểm tra đầu vào (pretest), phiếu chẩn đoán hiểu khái niệm và bài kiểm tra đầu ra (posttest).
• Giai đoạn 3: Thực nghiệm sư phạm (pedagogical intervention) có đối chứng với tiến trình dạy học theo bối cảnh.

Quy trình nghiên cứu rigorous

Quy trình thu thập và xử lý dữ liệu tuân thủ tính nghiêm ngặt học thuật:

• Chiến lược chọn mẫu: Chọn mẫu phân tầng thuận tiện đại diện cho các vùng địa lý kinh tế - xã hội đa dạng (duyên hải Nam Trung Bộ và Tây Nguyên) tại 6 trường THPT với sự tham gia trực tiếp của giáo viên cốt cán và học sinh lớp 10 có điểm tuyển sinh đầu vào tương đương.
• Phương pháp thu thập: Phối hợp trắc nghiệm khách quan, bài tập tự luận mở đòi hỏi giải trình lý do, bảng hỏi Likert, quan sát lớp học thực nghiệm và phỏng vấn sâu cá nhân/nhóm học sinh dựa trên nhiệm vụ (task-based clinical interview) theo mô hình của Roh (2008) và Cramer & Wyberg (2009).
• Độ giá trị và độ tin cậy: Độ giá trị nội dung (content validity) và giá trị cấu trúc (construct validity) được thẩm định qua hội đồng chuyên gia phương pháp dạy học toán. Độ tin cậy thang đo kiểm định bằng hệ số Cronbach's Alpha ($\alpha > 0.80$ trên toàn bộ các thang đo thành tố).

Data và phân tích

Dữ liệu định lượng được phân tích trên phần mềm chuyên dụng SPSS với các kiểm định thống kê đa biến:

• Kiểm tra tính chuẩn của phân phối điểm số thông qua kiểm định Kolmogorov-Smirnov ($p > 0.05$).
• Thống kê mô tả (Mean, Standard Deviation, Tần số, Tỷ lệ phần trăm).
• Phân tích thể chế chương trình chỉ ra sự mất cân đối nghiêm trọng: Trong SGK Đại số 10 cơ bản, bài tập thuần quy trình (PK) chiếm tới 57,9% (11/19 bài), bài tập đánh giá sự kết hợp giữa KTKN và KTQT chỉ chiếm 5,3% (1/19 bài), bài tập bối cảnh chiếm 21,1% (4/19 bài). Tương tự ở SGK Đại số 10 nâng cao, bài tập PK chiếm áp đảo 60,4% (17,5/29 bài), trong khi bài tập tích hợp trọn vẹn KTKN, KTQT và KTBC chỉ đạt 3,4% (1/29 bài).

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Nghiên cứu mang lại 4 phát hiện mang tính đột phá thực nghiệm:

1. Sự lệch pha sâu sắc giữa thao tác thuật toán và hiểu bản chất: Trước can thiệp, học sinh giải rất nhanh các phương trình bậc nhất và bậc hai ở dạng tường minh ($> 85%$ đạt điểm tối đa ở câu hỏi thuần PK), nhưng khi đối mặt với các câu hỏi đánh giá CK1/CK2 (như nhận định tính tương đương của $213x - 476 = 984$ và $213x^2 - 476x = 984x$, hoặc biện luận nghiệm phương trình chứa tham số), tỷ lệ sai lầm lên tới trên 68% do nhầm lẫn giữa nghiệm ngoại lai và phép biến đổi tương đương.
2. Rào cản lớn nhất nằm ở khâu Toán học hóa: Dữ liệu từ các bài toán bối cảnh thực tế (như bài toán cánh buồm NewWave hay bài toán kích thước nền nhà để xe) chứng minh học sinh không thể thiết lập được mô hình phương trình không phải vì thiếu kỹ năng tính toán mà vì thiếu khả năng biểu diễn các ràng buộc thực tiễn bằng ngôn ngữ đại số (hơn 70% học sinh bỏ cuộc ở bước 2 và bước 3 trong chu trình Blum & Leiss).
3. Hiệu quả vượt bậc của dạy học theo bối cảnh: Sau khi trải qua thực nghiệm với các giai đoạn dạy học theo bối cảnh (Khơi gợi trải nghiệm $\rightarrow$ Khám phá khái niệm $\rightarrow$ Thể chế hóa $\rightarrow$ Vận dụng bối cảnh mới), kết quả bài kiểm tra posttest cho thấy sự tăng trưởng vượt bậc ở các nhiệm vụ tích hợp PCK so với bài pretest ($p < 0.001$, effect size Cohen's $d > 0.85$).
4. Hiện tượng nhận thức ngược (Counter-intuitive finding): Việc gia tăng thời lượng luyện tập quy trình giải thuần túy không hề giúp học sinh nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thực tế; trái lại, việc đào sâu kiến thức khái niệm (CK) lại giúp củng cố và tăng độ chính xác của các thao tác quy trình (PK) lên gấp 1,4 lần.

Implications đa chiều

• Về mặt lý thuyết: Cung cấp bằng chứng thực nghiệm vững chắc củng cố mô hình tương tác hai chiều (bidirectional model) của Rittle-Johnson (2017) và mô hình hóa RME của Freudenthal (1991) trong không gian giáo dục toán học Việt Nam.
• Về mặt phương pháp luận: Thiết lập bộ công cụ chẩn đoán lỗi sai nhận thức và ma trận đánh giá năng lực giải quyết vấn đề toán học có thể chuyển giao cho các chủ đề khác như hàm số, bất phương trình, hình học không gian.
• Về mặt thực tiễn và chính sách: Cung cấp giải pháp sư phạm trực tiếp cho giáo viên THPT thực thi Chương trình GDPT 2018; khuyến nghị các nhà biên soạn SGK phải cấu trúc lại hệ thống bài tập, giảm tỷ lệ bài tập thuần thuật toán (hiện chiếm gần 60%) và tăng cường các bài tập tích hợp bối cảnh thực tế đạt tỷ lệ tối thiểu 30-35%.

Limitations và Future Research

Luận án thừa nhận một số giới hạn nghiên cứu khách quan:

1. Giới hạn không gian và mẫu: Mẫu khảo sát và thực nghiệm tập trung tại các tỉnh duyên hải Nam Trung Bộ và Tây Nguyên, chưa bao phủ toàn diện học sinh tại hai đầu đô thị lớn (Hà Nội, TP. Hồ Chí Minh) hoặc vùng sâu vùng xa.
2. Giới hạn nội dung: Nghiên cứu tập trung chủ yếu vào phương trình bậc nhất, bậc hai và phương trình quy về bậc nhất/bậc hai của lớp 10, chưa mở rộng sang hệ thống phương trình vô tỷ phức tạp, phương trình lượng giác, mũ và logarit.
3. Thời lượng can thiệp thực nghiệm: Thời gian can thiệp sư phạm giới hạn trong phạm vi các tiết dạy chuyên đề của chương trình, chưa thể đánh giá tác động lưu giữ kiến thức (knowledge retention) trong dài hạn 3-5 năm.

Chương trình nghiên cứu tương lai được đề xuất gồm 4 hướng:

• Mở rộng ứng dụng khung phân loại PCK cho toàn bộ chương trình Đại số & Giải tích cấp THPT.
• Ứng dụng công nghệ giáo dục số (phần mềm GeoGebra, Desmos) trong tiến trình dạy học theo bối cảnh để trực quan hóa mối liên hệ hàm số - phương trình.
• Nghiên cứu xuyên văn hóa (cross-cultural study) so sánh năng lực mô hình hóa của học sinh Việt Nam với học sinh trong khu vực ASEAN và OECD.
• Tích hợp giáo dục STEM liên môn nhằm gia tăng chiều sâu của Kiến thức bối cảnh (KTBC).

Tác động và ảnh hưởng

Luận án tạo ra tác động học thuật và xã hội sâu rộng:

• Tác động học thuật: Định hình tiêu chuẩn đo lường mới cho các nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Lý luận và PPDH môn Toán. Tiềm năng trích dẫn cao trong các tạp chí chuyên ngành uy tín (Tạp chí Giáo dục, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục Quốc tế).
• Chuyển đổi thực tiễn giáo dục: Cung cấp tài liệu tập huấn chuyên môn giá trị cho hàng nghìn giáo viên dạy môn Toán THPT tại các Sở GD&ĐT (Bình Định, Phú Yên, Kon Tum, Khánh Hòa,...), hỗ trợ đắc lực việc đổi mới kiểm tra đánh giá theo định hướng tiếp cận năng lực PISA.
• Đóng góp chính sách: Đóng góp cơ sở khoa học và dữ liệu thực chứng cho Bộ Giáo dục và Đào tạo trong việc thẩm định SGK mới và định hướng biên soạn đề thi tốt nghiệp THPT theo định hướng ứng dụng thực tế đời sống.

Đối tượng hưởng lợi

• Nghiên cứu sinh và Giảng viên đại học: Tiếp cận khung phân tích PCK chuẩn hóa, phương pháp nghiên cứu hỗn hợp nghiêm ngặt và cơ sở dữ liệu thực nghiệm phong phú để phát triển các đề tài chuyên sâu.
• Giáo viên Toán THPT: Sở hữu giáo án thực nghiệm mẫu, ngân hàng bài tập tích hợp bối cảnh thực tế và quy trình 4 giai đoạn dạy học theo bối cảnh có thể áp dụng trực tiếp trên lớp học.
• Học sinh phổ thông: Thay đổi căn bản phương thức học toán, từ học vẹt công thức sang hiểu sâu bản chất, nâng cao năng lực toán học hóa và tự tin giải quyết các bài toán PISA cũng như các vấn đề thực tiễn cuộc sống.
• Các nhà hoạch định chính sách & Biên soạn SGK: Có căn cứ số liệu định lượng xác đáng về sự phân bố bất hợp lý của các loại bài tập trong SGK hiện hành để tái cấu trúc học liệu giáo dục chuẩn mực hơn.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì? Trả lời: Đó là việc mở rộng thuyết cấu trúc nhận thức của Star (2005) và Rittle-Johnson (2017) thông qua việc xây dựng thành công Ma trận phân loại PCK chuyên biệt cho chủ đề Phương trình, tích hợp tường minh cấu phần Kiến thức bối cảnh (KTBC) với Kiến thức khái niệm (CK) và Kiến thức quy trình (PK).

2. Điểm đổi mới phương pháp luận so với các nghiên cứu trước đây là gì? Trả lời: So với nghiên cứu định lượng đơn thuần của Sáenz (2009) hay tiếp cận lý thuyết nền của Kolar & Hodnik (2021), luận án tích hợp phương pháp nghiên cứu hỗn hợp tam giác hóa (triangulation): kết hợp thống kê đa biến (Cronbach's Alpha, Kolmogorov-Smirnov, t-test), phân tích định lượng cấu trúc bài tập SGK và phỏng vấn lâm sàng dựa trên nhiệm vụ (task-based clinical interview), bảo đảm độ giá trị nội tại và ngoại tại vượt trội.

3. Phát hiện nào từ dữ liệu mang tính bất ngờ nhất? Trả lời: Phát hiện về "nghịch lý ghi nhớ quy trình": Học sinh có kỹ năng giải thuật toán cực nhanh ($> 85%$ thành thạo) nhưng khi giải bài toán thực tế lại gặp bế tắc hoàn toàn ở khâu thiết lập phương trình ($> 70%$ thất bại). Việc tăng cường dạy học quy trình đơn lẻ không làm tăng năng lực giải quyết vấn đề, trong khi phát triển hiểu biết khái niệm lại tự động tối ưu hóa độ chuẩn xác của quy trình giải.

4. Luận án có cung cấp giao thức tái lập nghiên cứu (Replication Protocol) không? Trả lời: Có hoàn toàn. Toàn bộ bảng hỏi khảo sát, ma trận đề pretest/posttest, tiêu chí chấm điểm năng lực theo khung PISA 2021 và tiến trình thực nghiệm sư phạm 4 giai đoạn đều được mô tả chi tiết, cung cấp đầy đủ trong phụ lục, cho phép các nhà nghiên cứu độc lập tái lập chính xác trên các địa bàn giáo dục khác.

5. Chương trình nghiên cứu 10 năm tiếp theo được định hình như thế nào? Trả lời: Luận án phác thảo lộ trình 10 năm mở rộng khung PCK cho toàn bộ trục đại số - giải tích phổ thông, tích hợp hệ thống học tập thích ứng số hóa (adaptive learning), và xây dựng mô hình đào tạo bồi dưỡng năng lực mô hình hóa thực tế cho sinh viên sư phạm toán trên phạm vi toàn quốc.

Kết luận

1. Công trình đã hệ thống hóa và phát triển toàn diện cơ sở lý luận về KTKN, KTQT, KTBC và năng lực giải quyết vấn đề toán học theo định hướng chuẩn PISA 2021 và mô hình giáo dục toán thực tế RME của Freudenthal.
2. Thiết lập thành công Khung phân loại kiến thức PCK và bộ công cụ đo lường chuẩn hóa, đánh giá chính xác thực trạng cấu trúc nhận thức của học sinh lớp 10 đối với chủ đề phương trình.
3. Chỉ ra bức tranh thực trạng mất cân đối trong chương trình và SGK hiện hành (bài tập thuần quy trình chiếm tới gần 60%, bài tập tích hợp bối cảnh chỉ chiếm từ 3,4% đến 21,1%), lý giải nguyên nhân cốt lõi khiến học sinh gặp khó khăn trong toán học hóa.
4. Xây dựng và kiểm chứng thực nghiệm thành công Quy trình dạy học theo bối cảnh 4 giai đoạn, tạo ra sự chuyển biến nhảy vọt có ý nghĩa thống kê về chất lượng hiểu khái niệm và năng lực GQVĐ thực tế của người học.
5. Mở ra 3 hướng nghiên cứu học thuật mới: tích hợp PCK với công nghệ số, mở rộng khung đánh giá cho các chủ đề toán học nâng cao, và chuẩn hóa chương trình đào tạo giáo viên toán thích ứng với kỷ nguyên đổi mới giáo dục toàn diện.

Trích đoạn nội dung tài liệu

ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng quan kết quả của một số nghiên cứu về ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề, vai trò của kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kiến thức bối cảnh trong việc hình thành năng lực toán học của HS, vai trò của nội dung phương trình và tầm quan trọng của các vấn đề thực tế trong chương trình toán phổ thông, kết hợp với phân tích những khó khăn của HS khi sử dụng ba loại kiến thức giải quyết các vấn đề thực tế về nội dung phương trình để làm cơ sở đặt ra vấn đề nghiên cứu của luận án. Ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề Sự hỗ trợ của kỹ năng tính toán và hiểu biết khái niệm đối với quá trình giải quyết vấn đề là một trong những mối quan tâm từ rất sớm trong giáo dục toán và đến nay vẫn là một thách thức để hiểu được quá trình tư duy toán học của HS (Alcock và cộng sự, 2016). Skemp (1976) phân biệt hai loại kiến thức trong giải quyết vấn đề toán học, đó là kiến thức về công cụ và kiến thức về các mối quan hệ: kiến thức về công cụ là nắm các quy tắc, quy trình mà không gắn với ý nghĩa, trong khi kiến thức về các mối quan hệ đòi hỏi các kết nối khái niệm và giải thích lý do tại sao các quy tắc, quy trình hoạt động. Skemp đã thảo luận về những lợi thế nhất định của việc thúc đẩy một trong hai loại kiến thức này.

Kiến thức về công cụ có thể có lợi trong thời gian ngắn và bối cảnh hạn chế, trong khi kiến thức về các mối quan hệ sẽ tốt hơn cho việc giải quyết vấn đề trong những bối cảnh rộng lớn hơn. Skemp xem kiến thức về công cụ và quan hệ là hai thái cực tách biệt với nhau. Sau đó, khi cuốn sách của Hiebert và Lefevre (1986) được xuất bản, các thuật ngữ "kiến thức khái niệm" và "kiến thức quy trình" đã được sử dụng rộng rãi để mô tả sự khác biệt giữa việc biết cách làm (quy trình) và biết tại sao làm như vậy (khái niệm) trong quá trình giải quyết vấn đề toán học. Rittle-Johnson và Koedinger (2005) bổ sung thêm kiến thức bối cảnh, và đề xuất kiến thức toán học để giải quyết vấn đề bao gồm ba loại kiến thức bổ sung cho nhau: kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kiến thức bối cảnh.

Mặc dù KTKN và KTQT không phải lúc nào cũng có thể tách rời, nhưng việc phân biệt hai loại kiến thức này là rất hữu ích và cần thiết để hiểu rõ hơn về quá trình giải quyết vấn đề của người học. Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một cách chi tiết từng loại kiến thức và tầm quan trọng của từng loại kiến thức trong quá trình GQVĐ của HS. Kiến thức khái niệm Theo Hiebert và Lefeve (1986), KTKN là kiến thức phong phú trong các mối quan hệ, có thể được xem như một mạng lưới kiến thức được kết nối với nhau. KTKN được đặc trưng bởi các liên kết và một đơn vị KTKN không thể là một mẫu thông tin cô lập.

Còn theo từ điển Merriam- Webster (2012), một khái niệm là "một ý tưởng trừu tượng hoặc tổng quát được khái quát hóa từ các trường hợp cụ thể". Kiến thức về các khái niệm thường được gọi là kiến thức khái niệm (Byrnes & Wasik, 1991; Canobi, 2009; Rittle-Johnson & cộng sự, 2001). Kiến thức này thường không gắn liền với các dạng vấn đề cụ thể, được thể hiện dưới dạng ẩn tàng hoặc tường minh, và do đó không nhất thiết phải diễn đạt bằng lời một cách rõ ràng (Goldin Meadow & cộng sự, 1993). Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC) cũng đưa ra một định nghĩa tương tự, kiến thức khái niệm là sự hiểu biết về các khái niệm, phép toán và quan hệ toán học (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001).

Loại kiến thức này đôi khi còn được gọi là hiểu khái niệm. Ví dụ về một câu hỏi đánh giá KTKN: “Cho hai phương trình sau: 213 x  476  984 (1) và  213x  476 x  984x (2). Không giải phương trình, em có thể nhận xét gì về tập nghiệm của hai phương trình này? Giải thích.” Để giải quyết bài toán này, HS cần hiểu được khái niệm phương trình hệ quả để nhận ra phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1), do đó tập nghiệm của (2) sẽ chứa tập nghiệm của (1). Theo Crooks và Alibali (2014), KTKN bao gồm 2 loại:  Kiến thức về các nguyên tắc chung như định nghĩa, quy tắc, tính chất.

Trong một số trường hợp, để hiểu nguyên tắc chung đòi hỏi phải có sự kết nối kiến thức. Ví dụ hiểu rằng dấu “=” biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng và cùng thuộc một phạm trù với dấu “>, <”, hoặc hiểu nguyên tắc nghịch đảo đòi hỏi phải hiểu các phép toán nghịch đảo liên quan như thế nào với nhau,.  Kiến thức về các nguyên tắc bên dưới các quy trình, biết quy trình nào là hiệu quả đối với một số vấn đề nhất định và biết mục đích của từng bước trong quy trình. Như vậy, HS có thể giải quyết vấn đề là chưa đủ mà các em còn phải có kiến thức khái niệm về quá trình giải quyết vấn đề đó.

Tuy nhiên, vẫn có khả năng HS chỉ cần ghi nhớ một quy trình đúng là có thể giải quyết thành công, nên những nhiệm vụ như vậy cần được sử dụng kết hợp với các nhiệm vụ không có quy trình để cung cấp đánh giá toàn diện về KTKN. 6 Star (2005) cho rằng KTKN không chỉ đơn thuần là kiến thức về các khái niệm mà còn bao gồm sự phong phú của các kết nối vốn có trong kiến thức đó. Định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa của Hiebert và LeFevre (1986), cho thấy đặc trưng rõ nhất của KTKN là sự kết nối các kiến thức với nhau cùng với sự hiểu biết sâu sắc các khái niệm và mối quan hệ của chúng trong mạng lưới kiến thức đó. Khi KTKN phát triển, các mạng lưới như vậy được liên tục sắp xếp và tổ chức lại.

Trong luận án chúng tôi hiểu kiến thức khái niệm là loại kiến thức được định nghĩa bởi Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC), là “sự hiểu biết các khái niệm, phép toán và quan hệ toán học” (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Kiến thức quy trình Một quy trình là một chuỗi các bước hoặc hành động được thực hiện để hoàn thành một mục tiêu. Quy trình có thể là (1) thuật toán - một dãy các hành động được xác định trước sẽ dẫn đến câu trả lời chính xác khi được thực hiện đúng, hoặc (2) các hành động có thể được sắp xếp theo trình tự thích hợp để giải quyết một vấn đề nhất định (ví dụ: các bước giải phương trình). Kiến thức về quy trình thường được gọi là kiến thức quy trình (Canobi, 2009; Rittle-Johnson và cộng sự, 2001; Rittle-Johnson & Schneider, 2015).

KTQT được phát triển thông qua việc thực hành giải quyết các vấn đề quen thuộc, và do đó gắn liền với các dạng vấn đề cụ thể. Hơn nữa, chính bản chất tuần tự rõ ràng của các quy trình khiến chúng khác biệt với các dạng kiến thức khác (Hiebert & Lefevre, 1986). Theo Hiebert và Lefevre (1986), KTQT gồm hai loại: “Một loại KTQT là sự quen thuộc với các ký hiệu và quy ước cú pháp của các cấu trúc trong hệ thống. Loại KTQT thứ hai bao gồm các quy tắc hoặc quy trình để giải quyết các vấn đề toán học, đó thường là chuỗi các mệnh lệnh để thao tác với các ký hiệu toán học”.

Trong định nghĩa trên của Hiebert và Lefevre, các mối quan hệ có trong KTQT chủ yếu là tuần tự, một bước trong quy trình được kết nối với bước tiếp theo, do đó dễ dẫn đến việc cho rằng KTQT là hời hợt, không có các kết nối phong phú. Tuy nhiên, có nhiều loại quy trình khác nhau và chất lượng của các kết nối trong một quy trình cũng khác nhau (Anderson, 1982). Một số quy trình là các thuật toán, nhưng một số quy trình cũng có tính khám phá. Việc thực hiện các quy trình khám phá đòi hỏi người học phải biết lựa chọn và tích hợp nhiều kỹ năng, các lựa chọn khôn ngoan để có thể chỉ ra KTQT sâu sắc.

Ví dụ, giải phương trình 4(4x  5  x)  7(4x  5  x)  24. Quy trình thuật toán: 7 −4(3𝑥 + 5) + 7(3𝑥 + 5) = 24 Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc −12𝑥 − 20 + 21𝑥 + 35 = 24 Khai triển 9𝑥 + 15 = 24 Rút gọn 9𝑥 = 24 − 15 Chuyển vế 𝑥=1 Rút gọn Quy trình khám phá: 3(4𝑥 + 5 − 𝑥) = 24 Sử dụng tính kết hợp 4𝑥 + 5 − 𝑥 = 8 Chia 2 vế của phương trình cho 1 số 3𝑥 + 5 = 8 Rút gọn vế trái 𝑥=1 Chuyển vế, chia 2 vế cho 1 số Trong luận án, chúng tôi hiểu kiến thức quy trình là loại kiến thức thứ hai được định nghĩa bởi Hiebert và Lefevre (1986), tức là loại kiến thức biểu thị sự vận dụng các quy tắc hoặc quy trình để giải quyết các vấn đề toán học. Mối quan hệ giữa kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình Hiebert và Carpenter (1992) cho rằng cả KTKN và KTQT đều quan trọng và cần thiết cho HS trong tiếp thu và vận dụng kiến thức toán học để GQVĐ, nếu người học kết nối KTQT với một KTKN nào đó làm nền tảng cho nó, thì quy trình đó sẽ trở thành một phần của một mạng lưới lớn hơn, liên quan chặt chẽ đến KTKN. Đồng thời, KTKN góp phần hình thành năng lực toán học của HS thông qua các mối quan hệ của nó với KTQT.

Hiện nay, nhiều nhà nghiên cứu đồng ý rằng cần chú trọng đến việc dạy học cả hai loại kiến thức, nhưng vẫn có nhiều tranh luận diễn ra giữa quan điểm dạy học một chiều và hai chiều (Rittle-Johnson, Schneider, & Star, 2015). Chẳng hạn như NCTM (2014) đã khẳng định quan điểm từ KTKN đến KTQT trong nguyên tắc dạy học “Sự hiểu biết về khái niệm (tức là sự hiểu biết và kết nối các khái niệm, phép toán và quan hệ) là nền tảng và cần thiết để phát triển sự thành thạo về quy trình (tức là, việc sử dụng có ý nghĩa và linh hoạt các thủ tục để giải quyết vấn đề)” (trang 7). Nguyên tắc này chỉ ra rằng HS cần được phát triển KTKN trước và KTQT không nên được phát triển trước khi phát triển KTKN.