I. Định lý Ritt và ứng dụng trong vấn đề duy nhất
Luận án tiến sĩ của Phạm Ngọc Hoa tập trung vào việc nghiên cứu Định lý Ritt và ứng dụng của nó trong vấn đề duy nhất đối với các hàm phân hình và đa thức vi phân. Định lý Ritt, được phát biểu lần đầu vào năm 1922, là một công cụ quan trọng trong lý thuyết đa thức và hàm phân hình. Luận án này khám phá các dạng khác nhau của định lý Ritt và áp dụng chúng vào các bài toán duy nhất trong giải tích phức và lý thuyết Nevanlinna.
1.1. Định lý Ritt và hàm phân hình
Định lý Ritt đầu tiên khẳng định rằng mọi đa thức có thể phân tích duy nhất thành các đa thức không phân tích được. Trong luận án, tác giả mở rộng định lý này cho các hàm phân hình. Đặc biệt, luận án chứng minh rằng nếu một hàm phân hình có hai cách phân tích khác nhau thành các hàm không phân tích được, thì các hàm này phải có cùng bậc. Điều này tương tự như định lý Ritt trong trường hợp đa thức.
1.2. Ứng dụng trong vấn đề duy nhất
Luận án áp dụng Định lý Ritt vào các bài toán duy nhất trong lý thuyết Nevanlinna. Cụ thể, tác giả nghiên cứu các điều kiện để hai hàm phân hình có thể được xác định duy nhất thông qua các giá trị của chúng. Điều này liên quan đến các đa thức vi phân và sai phân, đặc biệt là trong trường hợp các hàm phân hình trên trường không Acsimet. Các kết quả này góp phần mở rộng ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong giải tích phức.
II. Phương pháp Ritt và tính duy nhất
Luận án sử dụng phương pháp Ritt để nghiên cứu tính duy nhất của các hàm phân hình và đa thức vi phân. Phương pháp này dựa trên việc phân tích các đa thức và hàm phân hình thành các thành phần không phân tích được. Tác giả đã chứng minh rằng các kết quả từ phương pháp Ritt có thể áp dụng để giải quyết các bài toán duy nhất trong giải tích phức và lý thuyết hàm.
2.1. Tính duy nhất của đa thức vi phân
Luận án nghiên cứu tính duy nhất của các đa thức vi phân dạng (P(f))(k), trong đó P là đa thức và f là hàm phân hình. Tác giả chứng minh rằng nếu hai hàm phân hình f và g có cùng các giá trị của đa thức vi phân này, thì chúng phải liên hệ với nhau thông qua một phép biến đổi tuyến tính. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây về tính duy nhất của hàm phân hình.
2.2. Ứng dụng trong trường không Acsimet
Luận án cũng áp dụng phương pháp Ritt trong trường không Acsimet, đặc biệt là trong trường hợp p-adic. Tác giả chứng minh rằng các kết quả về tính duy nhất của hàm phân hình và đa thức vi phân vẫn đúng trong trường hợp này. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới về tính duy nhất của các hàm phân hình trong các trường số khác nhau.
III. Lý thuyết điều kiện và tính chất toán học
Luận án nghiên cứu các lý thuyết điều kiện và tính chất toán học liên quan đến định lý Ritt và các ứng dụng của nó. Tác giả đã thiết lập các điều kiện cần và đủ để các hàm phân hình và đa thức vi phân có thể được xác định duy nhất. Các kết quả này dựa trên các lý thuyết về phân bố giá trị và các phương trình hàm.
3.1. Lý thuyết điều kiện trong giải tích phức
Luận án sử dụng lý thuyết điều kiện để nghiên cứu các bài toán duy nhất trong giải tích phức. Tác giả chứng minh rằng các điều kiện về giá trị của hàm phân hình và đa thức vi phân có thể được sử dụng để xác định tính duy nhất của chúng. Các kết quả này dựa trên các định lý về phân bố giá trị của Nevanlinna và các phương trình hàm tương tự như định lý Ritt.
3.2. Tính chất toán học của đa thức vi phân
Luận án cũng nghiên cứu các tính chất toán học của đa thức vi phân, đặc biệt là trong trường hợp các hàm phân hình trên trường không Acsimet. Tác giả chứng minh rằng các đa thức vi phân có thể được sử dụng để xác định tính duy nhất của hàm phân hình thông qua các giá trị của chúng. Các kết quả này góp phần làm phong phú thêm các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong giải tích phức.
