I. Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu đặc trưng không gian trạng thái và tính ổn định của các hệ Sandpile Model mở rộng. Luận án được thực hiện bởi Trần Thị Thu Hương dưới sự hướng dẫn của PGS. Phan Thị Hà Dương tại Viện Toán học, thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Nghiên cứu này đóng góp vào lĩnh vực toán học ứng dụng và lý thuyết hệ thống, đặc biệt là trong việc mở rộng và phân tích các mô hình động lực rời rạc.
1.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận án tiến sĩ là nghiên cứu tính ổn định và đặc trưng không gian trạng thái của các hệ Sandpile Model mở rộng. Luận án tập trung vào việc mở rộng các hệ động lực rời rạc như Sandpile Model (SPM) và Chip Firing Game (CFG), đồng thời phân tích cấu trúc không gian trạng thái và thời gian đạt được trạng thái ổn định. Nghiên cứu này nhằm mô tả tốt hơn các hệ thống trong thực tế và cung cấp các công cụ toán học để phân tích chúng.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp phân tích toán học và lý thuyết hệ thống để nghiên cứu các hệ Sandpile Model mở rộng. Các phương pháp bao gồm việc mở rộng luật thêm hạt vào hệ SPM, nghiên cứu cấu trúc dàn của các phân hoạch trơn, và đưa ra khái niệm năng lượng để mô tả sự biến thiên của hệ. Ngoài ra, luận án cũng sử dụng các công cụ từ lý thuyết đồ thị và tổ hợp để phân tích các hệ mở rộng như SPM đối xứng song song và CFG có dấu.
II. Đặc trưng không gian trạng thái
Đặc trưng không gian trạng thái là một trong những trọng tâm chính của luận án. Nghiên cứu này tập trung vào việc mô tả cấu trúc và tính chất của không gian trạng thái trong các hệ Sandpile Model mở rộng. Cụ thể, luận án chỉ ra rằng các phân hoạch trơn trong hệ SPM có cấu trúc dàn và là dàn con của dàn Young.
2.1. Cấu trúc dàn của phân hoạch trơn
Luận án chứng minh rằng tập các phân hoạch trơn trong hệ Sandpile Model mở rộng có cấu trúc dàn và là dàn con của dàn Young. Điều này được thực hiện thông qua việc nghiên cứu các luật thêm hạt và sự biến thiên của hệ. Cấu trúc dàn này giúp hiểu rõ hơn về sự ổn định và các trạng thái đạt được trong hệ.
2.2. Khái niệm năng lượng
Luận án đưa ra khái niệm năng lượng để mô tả sự biến thiên của hệ Sandpile Model mở rộng. Năng lượng được sử dụng để tính toán thời gian ngắn nhất và dài nhất để hệ đạt đến trạng thái ổn định. Khái niệm này cung cấp một công cụ hữu ích để phân tích sự ổn định của hệ dưới tác động từ bên ngoài.
III. Tính ổn định của hệ Sandpile Model mở rộng
Tính ổn định là một khía cạnh quan trọng được nghiên cứu trong luận án. Luận án tập trung vào việc phân tích sự ổn định của các hệ Sandpile Model mở rộng dưới tác động từ bên ngoài, đặc biệt là khi hệ được bổ sung luật thêm hạt.
3.1. Sự ổn định dưới tác động từ bên ngoài
Luận án nghiên cứu sự ổn định của hệ Sandpile Model mở rộng dưới tác động từ bên ngoài bằng cách bổ sung luật thêm hạt vào các cột hợp lý mỗi khi hệ đạt đến trạng thái ổn định. Nghiên cứu chỉ ra rằng có thể thu được tất cả các phân hoạch trơn bằng cách này, đồng thời chứng minh cấu trúc dàn của các phân hoạch trơn.
3.2. Thời gian đạt đến trạng thái ổn định
Luận án đưa ra các công thức tính thời gian ngắn nhất và dài nhất để hệ Sandpile Model mở rộng đạt đến trạng thái ổn định. Điều này được thực hiện thông qua việc sử dụng khái niệm năng lượng và phân tích các đường đi trong không gian trạng thái.
IV. Mở rộng hệ Sandpile Model
Luận án đề xuất và nghiên cứu các mở rộng của hệ Sandpile Model, bao gồm SPM đối xứng song song và CFG có dấu. Các mở rộng này nhằm mô tả tốt hơn các hệ thống trong thực tế và cung cấp các công cụ toán học để phân tích chúng.
4.1. Hệ SPM đối xứng song song
Luận án nghiên cứu hệ SPM đối xứng song song, trong đó các cột có thể rơi sang cả hai phía và các cột có thể rơi đồng thời. Nghiên cứu chỉ ra rằng hệ này có tập trạng thái ổn định có cùng hình dạng với hệ SPM đối xứng, đồng thời đưa ra các đánh giá về thời gian hội tụ.
4.2. Hệ CFG có dấu
Luận án mở rộng hệ Chip Firing Game thành hệ CFG có dấu, cho phép các đỉnh chứa số âm các chip và các đỉnh đủ âm cũng có thể bắn. Nghiên cứu chỉ ra các đẳng cấu giữa hệ SPM đối xứng và hệ CFG có dấu, đồng thời đặc trưng các trạng thái và tính toán tổ hợp liên quan đến số trạng thái ổn định.
