I. Giới thiệu về phương trình Monge Ampère và bài toán Dirichlet
Luận án nghiên cứu bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère elliptic không đối xứng trong miền giới nội Ω ⊂ Rn. Phương trình này đã được giải quyết trước đây cho trường hợp đối xứng với số chiều n bất kỳ và trường hợp không đối xứng khi n = 2. Luận án thu hẹp khái niệm nghiệm elliptic bằng cách đưa vào khái niệm nghiệm δ-elliptic với 0 ≤ δ < 1. Điều này giúp thiết lập tính d-lõm của hàm log(det R) trên tập lồi không bị chặn Dδ,µ ⊂ Rn×n.
1.1. Phương trình Monge Ampère và tính chất
Phương trình Monge-Ampère là một phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến hoàn toàn, xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như Hình học, Khí tượng học, và Cơ học chất lỏng. Phương trình này có dạng tổng quát det D2 u = f (x, u, Du), trong đó f là hàm số cho trước. Luận án tập trung vào trường hợp không đối xứng, nơi ma trận Hessian D2 u không đối xứng.
1.2. Bài toán Dirichlet và tính giải được
Bài toán Dirichlet liên quan đến việc tìm nghiệm của phương trình Monge-Ampère thỏa mãn điều kiện biên cho trước. Luận án sử dụng phương pháp liên tục để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm δ-elliptic trong không gian C 2,α (Ω). Các đánh giá tiên nghiệm được thiết lập dựa trên nguyên lý so sánh và tính lõm của hàm log(det R).
II. Tính d lõm và nguyên lý so sánh
Luận án thiết lập tính d-lõm của hàm log(det R) trên tập lồi không bị chặn Dδ,µ ⊂ Rn×n, nơi các ma trận R xác định dương không đối xứng. Tính chất này là cơ sở để chứng minh nguyên lý so sánh cho nghiệm δ-elliptic của phương trình Monge-Ampère không đối xứng.
2.1. Tính d lõm của hàm log det R
Tính d-lõm của hàm log(det R) được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của ma trận không đối xứng và vi phân cấp hai của hàm số. Điều này giúp thiết lập các đánh giá tiên nghiệm trong không gian C 2,α (Ω).
2.2. Nguyên lý so sánh cho nghiệm δ elliptic
Nguyên lý so sánh được áp dụng để so sánh các nghiệm δ-elliptic của phương trình Monge-Ampère không đối xứng. Điều này đảm bảo tính duy nhất của nghiệm và là cơ sở để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong không gian C 2,α (Ω).
III. Đánh giá tiên nghiệm và tính giải được
Luận án thiết lập các đánh giá tiên nghiệm trong không gian C 2,α (Ω) cho nghiệm δ-elliptic của bài toán Dirichlet. Các đánh giá này bao gồm đánh giá độ lớn của các đạo hàm cấp hai trên toàn miền và trên biên, cũng như đánh giá chuẩn C 2,α (Ω).
3.1. Đánh giá độ lớn các đạo hàm cấp hai
Các đánh giá độ lớn của các đạo hàm cấp hai được thiết lập dựa trên nguyên lý so sánh và tính d-lõm của hàm log(det R). Điều này giúp kiểm soát sự biến thiên của nghiệm trong miền Ω.
3.2. Đánh giá chuẩn C 2 α Ω
Đánh giá chuẩn C 2,α (Ω) được thực hiện bằng cách áp dụng các kỹ thuật của L. Krylov và N. Trudinger. Điều này đảm bảo tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C 2,α (Ω).
IV. Ứng dụng và kết luận
Luận án đưa ra các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm δ-elliptic của phương trình Monge-Ampère không đối xứng. Các kết quả này có ứng dụng trong các lĩnh vực như Hình học bảo giác và Vận chuyển tối ưu.
4.1. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm
Luận án đưa ra một điều kiện cần đối với ma trận phản đối xứng để đảm bảo sự tồn tại nghiệm δ-elliptic. Đồng thời, các điều kiện đủ cũng được thiết lập bằng phương pháp liên tục.
4.2. Ứng dụng trong Hình học bảo giác
Các kết quả của luận án có ứng dụng trong Hình học bảo giác, nơi phương trình Monge-Ampère không đối xứng được sử dụng để nghiên cứu các bề mặt có độ cong Gauss cho trước.
