Chương 1. Trong chương nay, chúng tôi đưa ra tông quan vé boson siêu lạnh hai thành phần và các tính chất dừng của hệ khí lượng tử ít hạt một chiều. Phương pháp tính toán. Chúng tôi trình bày tang quan về phương pháp tính toán va cách thức thực hiện.
Kết quả nghiên cứu. Chúng tôi phân tích các tính chất đừng của hệ khí lượng tử ít hạt hai thành phần có tương tác trong mạng tỉnh thê quang học với số lượng giéng thé khác nhau. Kết luận và hướng phát triển. Hệ boson siêu lạnh hai thành phan Từ lâu, kỹ thuật làm lạnh và tính chất của hệ nguyên tử ở nhiệt độ thấp đã được chú trọng nghiên cứu va phát trién về lý thuyết lan thực nghiệm bởi các tính chất lượng tử của hệ tại vùng nhiệt độ này diễn ra vô cùng rõ nét và có thé quan sát được bằng thực nghiệm.
Vào những năm 1970, kỹ thuật làm lạnh được phát triển với sự kết hợp giữa việc sử dụng laser với sự bay hơi làm cho những nguyên tử có năng lượng cao được thoát ra khỏi bẫy giam giữ và do đó hệ khí lượng tử được làm lạnh đến nhiệt độ cực thấp (<10 “K} [40]. Điều nay dẫn đến sự kiện Cornell, Wieman và cộng sự lần đầu tiên phát hiện ra hiện tượng ngưng tụ Bose — Einstein (Bose-Einstein Condensation — BEC) cho khí nguyên tử *’Rb loãng vào năm 1995, tại đó một lượng lớn các nguyên tử ngưng tụ tại mức năng lượng cơ bản giống như sự tiên đoán của hai nhà khoa học Bose và Einstein trước đó 70 năm [2]. Kê tir sau thành công trên, hàng loạt thí nghiệm vẻ hiện tượng BEC đã được tiên hành với những nguyên tử khác [3-7], kéo theo đó là sự phát triên không ngừng vẻ mặt thực nghiệm nhằm kiểm soát các thông số của hệ. Hiện nay, băng việc thay đổi điện trường.
từ trường (có thê được dùng kết hợp với laser). các nhà khoa học đã có the thay đổi được không chỉ hình dang bay thé năng ngoài ma còn có thé thay đổi được số lượng nguyên tử và cường độ tương tác giữa các nguyên tử, do đó có thê tạo ra được một hệ thông ít (hoặc nhiều) hạt, một (hoặc nhiều) thành phần với cường độ tương tác bat kỳ [40]. Đối với hệ boson hai thành phan, chi trong vòng một năm kê từ thí nghiệm BEC, Myatt cùng nhóm nghiên cứu tại đại học Colorado vào năm 1996 đã công bố sự thành công trong việc tạo lập hệ ngưng tụ hai thành phần gồm các nguyên tử *’Rb, trong đó mỗi thành phần ứng với mỗi trạng thái spin khác nhau. Sự ngưng tụ nói trên được thiết lập bằng phương pháp làm lạnh mới (là sự kết hợp của một bẫy quang từ (Magneto-Optic Trap — MOT) và một bay từ trường đơn thuần) so với các phương pháp làm lạnh trước đó cho thi nghiệm BEC [41].
Sự thành công của thí nghiệm này đã đánh một dấu mốc quan trọng trong việc tạo lập vả nghiên cứu hệ boson hai thành phan trong thực nghiệm. Ngoài hai trang thái siêu tinh tế của cùng một loại nguyên tố như các *’Rb với hai trạng thai spin khác nhau như đã đề cập ở trên, các hệ boson hai thành phần có thể bao gồm các nguyên tử của hai nguyên tổ khác nhau trong nhóm kim loại kiểm (ví dụ: Na?) và Rb*’) hoặc hai đồng vị của củng một nguyên tô (ví dụ: **Rb và *’Rb) [38]. Cần phải hiểu rang đây không chi đơn thuần là sự mở rộng một cách cơ học cho hệ một thanh phan mà nó còn chứa đựng rất nhiều hiện tượng vật ly mới bởi hệ thống lúc này không chỉ có trường thé năng ngoài, sự tương tác giữa các hạt trong cùng một thành phần mà còn xuất hiện thêm sự tương tác giữa các thành phân với nhau. Trong khuôn khô của khoá luận tốt nghiệp nay, chúng tôi xét cho hệ khí boson hai thành phan A và B.
Do đó sẽ rất thuận tiện nếu đưa ra ký hiệu ø để chỉ chung cho hai loại boson này, ta có ơ € { A,B}. Hamiltonian cho hệ boson hai thành phần có tương tác nằm trong hồ thé năng V.8)} Ny ON cùng một thành phan loại ø còn W(x; — x?) = g„ Sz (x/—xŸ} là thé năng tương i=l # ! tac giữa hai hạt thuộc hai loại boson A và B khác nhau [10]. Trong các thé tuong tac trén, thành phần có dang 5 (x, — x) được gọi là thé delta va được dé xuất bởi Olshani vào nam 1998 [20]. Rõ ràng Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào các hệ số tương tác #,.g„; nên tùy thuộc vào các giá trị của các hệ sé nay nhan duge ma hé thống ta xét đến sẽ ở các cơ chế khác nhau.1 bên dưới biểu thị các trường hợp khả đĩ về các giá trị giới hạn của các hệ số tương tác.
Các trường hợp khá di về tương tác giữa các thành phan trong hệ và tương tác giữa các hạt bên trong một thành phân. tố |9 | 9 | 9 | 2 œ 0 0 > 4 pe 0 pete] 0 œ 5 | œ | 0 | œ 6 Pa = Pa Trong bang 1.1, các trưởng hợp tit | đến 3 ứng với việc giữa các thanh phan không có sự tương tác và chỉ đơn thuần là các trạng thái tương tác mạnh (Tonks-Giardeau - TG), BEC của hệ 1 thành phan lồng ghép một cách cơ học với nhau. Cụ thé, trường hợp 1 ứng với hệ thông gồm 2 thành phần đang ở trạng thái BEC, trường hợp 2 gồm thành phần A đang ở trạng thái TG còn thành phần B dang ở trạng thái BEC và ở trường hợp cuối cùng là cả hai thành phần đều ở trạng thai TG. Tuy nhiên, kẻ từ trường hợp 4 đến 6, các thành phần có sự tương tác rất mạnh với nhau và dẫn đến nhiều hiện tượng mới rất quan trọng như tông hợp femion hóa (Composite Fermionization — CF) ở trường hợp 4, tách pha (Phase Separation - PS) ở trường hợp 5 và femion hoá hoàn toàn (Full Fermionization — FF) ở trường hợp 6.
Vi các tinh chat dừng va động lực học của hệ boson hai thành phan trong bay điều hòa đã được tính toán trong một số công trình như [25, 30, 36] nên trong khuôn khô của khoả luận tốt nghiệp này, chúng tôi sẽ khảo sát tinh chất dừng của hệ boson hai thành phan trong mang tinh thé quang học. Bên cạnh đó, phương pháp chéo hóa ma trận chính xác (Exact Diagonalization — ED) được chúng tôi sử dụng trong việc giải số dé tính toán các đại lượng đặc trưng của hệ. Lý do của việc sử dụng phương pháp nay là do sự đơn giản trong việc thiết lập ma trận Hamiltonian, điều đó làm giảm đi các tính chất vật lý phức tap va van dé được đơn giản hoá thành một bai toán thuần tuý [42]. Nội dung của phương pháp ED sẽ được trình bày cụ thê trong chương 2.
Một số đại lượng đặc trưng của hệ khí lượng tử siêu lạnh 1. Ma trận mật độ đơn hạt Ma trận mật độ don hạt rút gon (Reduced Single-Parucle Density Matrix - RSPDM) cho biết xác suất dé tìm thấy một hạt tại vị trí xf" tại phép đo thứ hai ngay sau khí tìm thấy hạt tại vị trí x” ở lần đo thứ nhất. RSPDM của một hạt thuộc thành phần A và B lần lượt được xác định bởi biêu thức [25] Pa (x x )= N, fax; ley dx! Afvd v41) _— pp 4 A 8 8 XE (x Xp seve (v4 Xiy VI goood 1 va A 8 8 E(x Xp yore Xy Mp geod, decd A 8 B Jp P: (x Xx )= N, | dx; widxy AX; dey 8 8B 8i\ ay Y (x; pXq say „4 A Ky 9X pena, Lx Xp geen 5 8 t A JA Xy 9X ‘ey, ) A 8 8 A JA „4 By 8 trong đó {x/,xÿ,.xý } lan lượt là tập hợp các tọa độ của các hạt thuộc thành phan A và B; Y 1a hàm sóng của cả hệ boson hai thành phan ta đang xét. Bang việc chéo hoa ma tran mật độ don hạt øðƒˆ với oe { A, Bi „ ta thu được bộ quỹ đạo đơn hạt tự nhiên |ø”) (Natural Obital — NO) chính là các vector riêng của ma trận va các trị riêng 4” tương ứng biéu diễn số chiếm đóng tự nhiên của các quỹ đạo tự nhiên nảy trong một trạng thái nhất định của hệ nhiều hat |W), trong đó O< 27 <1 và yA’ =N,, với N, là số hạt thuộc thành phan ø của hệ [43].
ỉ ’ Thanh phan đường chéo cia RSPDM cho biết các giá trị của ham phân bỗ mật độ đơn hạt trong không gian ø“(x“)= Nf dey dey, dx} .dxy V(x p Xp se Xu gXy sooty ) Ai «ad A 8 ñ ø? (x°) = N,| dx; whe} dr} dey ¥ (x; pKa pacepXey.g% giay (Al il 2 a MN, ae 1. Hàm phân bố cặp Xét hai nguyên tử thuộc cùng một thành phần, theo công trình [25] thì hàm phân bố cặp (Pair Distribution Function — PDF) của từng thành phần lần lượt được xác định bởi biéu thức > Øi (x, ja )= N,(N, 1) f ax, dX) dyy dey, | (x; — ALLA LAV a yo 4 4 4. )= N,(N5- 1) f dx, dx, dx} .dey, ¥ (x; — B/ 8 v# 4 4 98 8 4 4 9M 1 : 8 sy Đại lượng nay cho biết xác suất tim thay một hat tại vị trí x;' (hoặc xf) ở phép do thứ hai ngay sau khi tìm thấy một hạt khác tại vị trí x (hoặc x’) ở phép đo thứ nhất, Đối với hai nguyên tử thuộc hai thành phan khác nhau, hàm phân bé cặp chéo nhau (Cross Two-Body Distribution Function - CTBDF) cho biết xác suất tim thay mot hat thuộc thành phan B tai vị trí x* ở phép đo thứ hai ngay sau khi tim thấy một hạt thuộc thành phan A tại vị trí xế ở phép do thứ nhất hoặc ngược lại. Theo công trình [25], biéu thức xác định CTBDF sé 1a wíx: HN VẤN VN | : A 4 8 # L0 CHƯƠNG 2.
PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN CHÍNH XÁC Chúng tôi sử dụng lượng tử hoá lần hai dé giải quyết bài toán hệ nhiều hạt nói trên bang cách đưa ra các toán tử huỷ va toán tử sinh trường boson không phụ thuộc thời gian lần lượt là ử(x3) và VtV(x). Các toán tử nay có tác dụng huỷ hoặc sinh ra một hat boson loại o tại vị trí x và thoả mãn các hệ thức [10] [# „( +) .