Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp "Hình học Elliptic" do sinh viên Trần Nhật Hào (ngành Sư phạm Toán - Tin học, chuyên ngành Hình học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh) thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hà Thanh vào tháng 04 năm 2023. Đề tài tập trung nghiên cứu một nhánh quan trọng của hình học phi Euclide thông qua mô hình mặt cầu đơn vị.

Lý do chọn đề tài và bối cảnh lịch sử: Lịch sử hình học ghi nhận bước ngoặt mang tính nền tảng vào thế kỷ III TCN với tác phẩm Cơ bản (Elements, gồm 13 quyển) của Euclide. Hệ thống tiên đề Euclide gồm 5 tiên đề đóng vai trò dẫn dắt nền toán học suy diễn suốt hơn 23 thế kỷ. Tuy nhiên, Tiên đề 5 (tiên đề về đường thẳng song song) đã làm nảy sinh nhiều tranh luận do không được Euclide sử dụng trực tiếp trong phần lớn các chứng minh ban đầu. Trong suốt hơn 2000 năm, nhiều thế hệ nhà toán học đã cố gắng chứng minh Tiên đề 5 từ 4 tiên đề còn lại nhưng không thành công.

Đến thế kỷ XIX, bước đột phá xuất hiện khi Nikolay Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai và Carl Friedrich Gauss phủ nhận Tiên đề 5 để khai sinh hình học Hyperbolic. Tiếp đó, Bernhard Riemann đề xuất một hướng đi mới: thay vì thừa nhận qua một điểm ngoài đường thẳng có vô số đường song song (hình học Hyperbolic), ông giả định rằng không tồn tại bất kỳ đường thẳng song song nào, từ đó đặt nền móng cho hình học Elliptic. Để làm rõ cấu trúc lý thuyết và những điểm khác biệt đặc trưng giữa hình học phi Euclide và hình học Euclide cổ điển, tác giả đã lựa chọn nghiên cứu đề tài này.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu:

  • Mục tiêu nghiên cứu: Khảo sát các tính chất hình học cốt lõi của hình học Elliptic trên mô hình mặt cầu đơn vị $S^2$, phân tích sự khác biệt về tiên đề và định lý so với hình học phẳng Euclide, đồng thời chỉ ra mối liên hệ tương ứng với mặt phẳng phức mở rộng và ứng dụng lập bản đồ phẳng.
  • Nhiệm vụ nghiên cứu:
    1. Khảo cứu không gian cầu $S^2$, xây dựng hệ tọa độ cực cầu, xác định khái niệm đường tròn lớn, đoạn thẳng và khoảng cách cầu.
    2. Phân tích nhóm các phép đẳng cự cầu $\mathcal{S}(2)$, biểu diễn giải tích các phép quay sơ cấp và phép đối xứng qua đường tròn lớn bằng đại số ma trận cấp $3 \times 3$.
    3. Xây dựng lý thuyết lượng giác cầu: chứng minh định lý tồn tại tam giác cầu, tính chất tổng ba góc, độ dư góc, tam giác ngặt, tam giác đối ngẫu, diện tích hình trăng và diện tích tam giác cầu.
    4. Thiết lập sự tương ứng giữa mặt cầu $S^2$ và mặt phẳng phức mở rộng thông qua phép chiếu lập thể và phép biến đổi Möbius.
    5. Giới thiệu ứng dụng của hình học cầu trong kỹ thuật lập bản đồ phẳng và hệ thống hóa bài tập vận dụng.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Cấu trúc hình học Elliptic trên mô hình mặt cầu đơn vị $S^2$ trong không gian Euclid 3 chiều $\mathbb{R}^3$.
  • Phạm vi nghiên cứu: Các yếu tố hình học giải tích và lượng giác trên mặt cầu đơn vị $S^2 = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1}$, không gian phức mở rộng và ứng dụng chiếu bản đồ Trái Đất.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết và mô hình toán học: Khóa luận xây dựng hệ thống lập luận dựa trên hệ tiên đề phi Euclide dạng Riemann. Cụ thể, Tiên đề 5 của Euclide được thay thế bằng Tiên đề song song Elliptic: "Cho đường thẳng $l$ bất kì và một điểm $P$ không nằm trên $l$, tất cả các đường thẳng qua $P$ đều cắt $l$ (tức là không có một đường thẳng nào qua $P$ mà song song với $l$)".

Cơ sở giải tích và hình học được triển khai trên các mô hình:

  • Mô hình mặt cầu đơn vị: $S^2 = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1}$. Các đường tròn lớn (giao tuyến của $S^2$ với các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$) đóng vai trò là "đường thẳng" (đường trắc địa) của không gian.
  • Đại số tuyến tính và lý thuyết nhóm: Biểu diễn các phép biến đổi bảo toàn khoảng cách (phép đẳng cự) thông qua ma trận trực giao cấp 3 ($A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$), phân tích nhóm đẳng cự cầu $\mathcal{S}(2)$.
  • Giải tích phức: Phép chiếu lập thể từ điểm cực Bắc $N(0,0,1)$ đưa mặt cầu $S^2$ về mặt phẳng phức mở rộng $\mathbb{C} \cup {\infty}$, liên hệ phép biến đổi cầu với nhóm biến đổi phân tuyến tính (phép biến đổi Möbius).

Phương pháp nghiên cứu:

  1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Thu thập, đọc hiểu, phân tích và hệ thống hóa các tài liệu chuyên khảo, giáo trình chuyên ngành về hình học phi Euclide, hình học vi phân và hình học giải tích cầu.
  2. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Phân chia các đối tượng nghiên cứu (điểm, đường tròn lớn, tam giác cầu, phép biến đổi) thành các thành phần giải tích cụ thể để chứng minh chặt chẽ các định lý, sau đó tổng hợp thành hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh.
  3. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trao đổi học thuật, tiếp thu các góp ý và định hướng khoa học từ người hướng dẫn (TS. Nguyễn Hà Thanh) trong suốt quá trình hoàn thiện nội dung.

Nguồn dữ liệu: Toàn bộ dữ liệu nghiên cứu là các cấu trúc giải tích thuần túy, các phép chứng minh định lý toán học, hệ tọa độ cực cầu và hệ phương trình biểu diễn ma trận trong không gian $\mathbb{R}^3$.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Không gian cầu

Chương 1 thiết lập các khái niệm cơ bản về không gian hình học trên bề mặt mặt cầu đơn vị $S^2$ tâm tại gốc tọa độ $O(0,0,0)$ với bán kính $R = 1$:

  • Các điểm và đường đặc trưng: Các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ cắt $S^2$ lần lượt tại các điểm chuẩn, trong đó $N(0,0,1)$ là cực Bắc và $S(0,0,-1)$ là cực Nam. Mỗi điểm $(x,y,z) \in S^2$ luôn có một điểm xuyên tâm đối $(-x,-y,-z)$. Mặt phẳng vuông góc với trục $ON$ đi qua $O$ cắt $S^2$ tạo thành đường xích đạo.
  • Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ: Mọi mặt phẳng cắt $S^2$ tại nhiều hơn một điểm đều tạo thành một đường tròn. Nếu mặt phẳng đi qua tâm $O$, giao tuyến là một đường tròn lớn (đóng vai trò đường thẳng trong hình học cầu); nếu mặt phẳng không qua tâm $O$, giao tuyến là một đường tròn nhỏ.
  • Khoảng cách cầu: Đoạn thẳng cầu nối hai điểm $P, Q \in S^2$ là cung của đường tròn lớn đi qua $P$ và $Q$. Khoảng cách cầu $d(P,Q)$ là độ dài ngắn hơn giữa hai cung này và bằng đúng góc chắn tại tâm $\widehat{POQ}$ (tính theo radian). Khoảng cách từ cực Bắc $N$ đến xích đạo bằng $\frac{\pi}{2}$, và từ cực Bắc $N$ đến cực Nam $S$ bằng $\pi$. Hàm khoảng cách $d$ thỏa mãn đầy đủ các tiên đề metric (tính không âm, tính đối xứng, bất đẳng thức tam giác).
  • Tính chất không song song: Hai đường tròn lớn bất kỳ luôn cắt nhau tại đúng hai điểm xuyên tâm đối, chứng minh rằng không tồn tại khái niệm đường thẳng song song trên mặt cầu. Tác giả chứng minh thêm: giữa hai đường tròn lớn bất kỳ luôn tồn tại hai đường tròn lớn phân giác vuông góc với nhau tại giao điểm.
  • Tọa độ cực cầu: Thiết lập ánh xạ biểu diễn điểm $P \in S^2$ thông qua tọa độ $(\cos\phi \sin\theta, \sin\phi \sin\theta, \cos\theta)$, trong đó $\phi \in [0, 2\pi)$ là kinh độ (đo dọc xích đạo từ $A(1,0,0)$) và $\theta \in [0, \pi]$ là phần phụ vĩ độ (khoảng cách cầu tính từ cực Bắc $N$). Vĩ độ của điểm được tính bởi $\theta' = \frac{\pi}{2} - \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Chương 2. Các phép biến đổi cầu

Chương 2 nghiên cứu cấu trúc nhóm đẳng cự $\mathcal{S}(2)$ trên mặt cầu $S^2$, bao gồm các phép quay và phép đối xứng phản xạ qua ma trận cấp 3:

  • Nhóm phép đẳng cự: Tập hợp các ánh xạ từ $S^2$ vào chính nó bảo toàn khoảng cách tạo thành một nhóm đại số đối với phép hợp thành ánh xạ.
  • Phép quay sơ cấp quanh các trục tọa độ:
    • Quay quanh trục $Oz$ góc $\gamma$: ký hiệu $R(Z, \gamma)$ với ma trận liên kết $A_{Z} = \begin{pmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
    • Quay quanh trục $Ox$ góc $\alpha$: ký hiệu $R(X, \alpha)$ với ma trận liên kết $A_{X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$.
    • Quay quanh trục $Oy$ góc $\beta$: ký hiệu $R(Y, \beta)$ với ma trận liên kết $A_{Y} = \begin{pmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix}$.
    • Tác giả chứng minh tích các ma trận quay không có tính giao hoán ($A_X A_Y \neq A_Y A_X$), định thức của mọi ma trận quay bằng $1$, và ma trận nghịch đảo bằng chính ma trận chuyển vị: $A^{-1} = A^T$.
  • Phép đối xứng qua đường tròn lớn: Cho mặt phẳng $\pi: ax + by + cz = 0$ đi qua $O$ với $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Phép đối xứng phản xạ $r$ qua $\pi$ được xác định bởi công thức vectơ $r(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{x} \cdot \mathbf{a})\mathbf{a}$, tương ứng với ma trận: $$A = \begin{pmatrix} 1-2a^2 & -2ab & -2ac \ -2ab & 1-2b^2 & -2bc \ -2ac & -2bc & 1-2c^2 \end{pmatrix}$$
  • Các định lý đẳng cự trọng tâm:
    • Định lý tích hai phép đối xứng: Tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng đi qua $O$ cắt nhau theo một giao tuyến chung là một phép quay quanh giao tuyến đó với góc quay bằng hai lần góc giữa hai mặt phẳng.
    • Định lý tích (Định lý 2.6): Mọi phép đẳng cự của mặt cầu $S^2$ đều biểu diễn được dưới dạng tích của không quá ba phép đối xứng qua các đường tròn lớn.
    • Phân loại đẳng cự: Phép đẳng cự trực tiếp (bảo toàn hướng) là một phép quay; phép đẳng cự gián tiếp (đảo ngược hướng) là một phép đối xứng hoặc tích của một phép quay với một phép đối xứng. Tích của một số chẵn các phép đối xứng luôn là một phép quay.
    • Định lý tam giác cân trên mặt cầu: Chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau dựa trên phép đối xứng qua đường phân giác của góc ở đỉnh.

Chương 3. Lượng giác cầu

Chương 3 trình bày các định lý lượng giác đặc thù của tam giác cầu $\triangle PQR$:

  • Định lý tồn tại tam giác cầu (Định lý 3.1): Với ba góc bất kỳ $\alpha, \beta, \gamma$ thỏa mãn điều kiện $\alpha + \beta + \gamma > \pi$, luôn tồn tại một tam giác cầu nhận $\alpha, \beta, \gamma$ làm các góc trong. Chứng minh được thực hiện bằng phép chiếu lập thể từ điểm cực Nam đưa về bài toán tam giác cung tròn trên mặt phẳng.
  • Độ dư góc (Spherical Excess): Tổng ba góc của một tam giác cầu luôn lớn hơn $\pi$ ($\alpha + \beta + \gamma > \pi$). Hiệu số $E = \alpha + \beta + \gamma - \pi$ được định nghĩa là độ dư góc. Khóa luận minh họa cách dựng các tam giác cầu có độ dư góc xác định như $0{,}01\text{ rad}$ hoặc $0{,}14\text{ rad}$.
  • Tam giác ngặt và hệ 8 tam giác cầu: Ba đường tròn lớn xác định một tam giác ngặt (các cạnh $< \pi$) chia mặt cầu thành 8 tam giác cầu (4 cặp đối xứng xuyên tâm đối: tam giác I, II, III, IV ở mặt trước và I', II', III', IV' ở mặt sau).
  • Công thức tính diện tích: Tác giả sử dụng khái niệm "hình trăng" (lune - phần mặt cầu giới hạn bởi hai nửa đường tròn lớn tạo với nhau góc $\theta$, có diện tích $2\theta$). Bằng phương pháp phủ mặt cầu và bù trừ diện tích 4 tam giác mặt trước, tác giả thiết lập công thức Girard: $$\text{Diện tích}(\triangle PQR) = \alpha + \beta + \gamma - \pi = E$$
  • Các định lý lượng giác mở rộng: Giới thiệu tam giác đối ngẫu (polar triangle), định lý Pythagoras trên mặt cầu ($\cos c = \cos a \cos b$ đối với tam giác vuông cầu), định lý Sin cầu ($\frac{\sin a}{\sin \alpha} = \frac{\sin b}{\sin \beta} = \frac{\sin c}{\sin \gamma}$) và định lý Cosin cho cạnh và góc cầu.

Chương 4. Hình học cầu và mặt phẳng phức mở rộng

Chương 4 thiết lập cầu nối giữa hình học vi phân mặt cầu và giải tích phức:

  • Phép chiếu lập thể (Stereographic Projection): Ánh xạ từ điểm cực Bắc $N(0,0,1)$ chiếu mỗi điểm $(x,y,z) \in S^2 \setminus {N}$ lên mặt phẳng xích đạo $z = 0$ (đồng nhất với mặt phẳng phức $\mathbb{C}$) theo công thức $z = \frac{x + iy}{1 - z}$. Điểm cực Bắc $N$ tương ứng với điểm vô tận $\infty$. Phép chiếu lập thể có tính chất bảo giác (bảo toàn độ lớn góc) và biến các đường tròn trên $S^2$ thành các đường tròn hoặc đường thẳng trong $\mathbb{C}$.
  • Phép biến đổi Möbius: Khảo sát nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính $f(z) = \frac{az + b}{cz + d}$ ($ad - bc \neq 0$). Tác giả chỉ ra mối liên hệ liên hợp giữa phép quay mặt cầu $S^2$ và phép biến đổi Möbius đặc biệt trên $\mathbb{C} \cup {\infty}$.
  • Họ đường tròn đồng trục: Nghiên cứu các chùm đường tròn đồng trục trên mặt phẳng và ảnh tương ứng của chúng trên mặt cầu $S^2$.

Phụ lục

  • Phụ lục 1 (Bản đồ hình học): Trình bày ứng dụng của hình học cầu trong kỹ thuật lập bản đồ địa lý, phân tích các phép chiếu bản đồ phẳng từ mặt cầu Trái Đất (như phép chiếu bảo giác Mercator, phép chiếu lập thể) và độ biến dạng về diện tích/khoảng cách khi chuyển từ mặt cong sang mặt phẳng.
  • Phụ lục 2 (Một số bài tập): Tuyển chọn các bài toán tính toán tọa độ cực cầu, xác định ma trận biến đổi đẳng cự, tính diện tích tam giác cầu và giải tam giác cầu kèm lời giải chi tiết.

Kết quả và đóng góp

Kết quả chính: Khóa luận đã hệ thống hóa và chứng minh chặt chẽ các quy luật hình học trên mô hình mặt cầu đơn vị $S^2$, làm nổi bật sự đối lập có hệ thống giữa hình học Euclide và hình học Elliptic:

Tiêu chí so sánh Hình học phẳng Euclide Hình học Elliptic (Mô hình cầu $S^2$)
Tiên đề song song Qua 1 điểm ngoài đường thẳng, có duy nhất 1 đường song song Mọi đường thẳng đều cắt nhau (không có đường thẳng song song)
"Đường thẳng" Đường thẳng vô hạn trong $\mathbb{R}^2$ Đường tròn lớn trên $S^2$ (độ dài hữu hạn bằng $2\pi$)
Giao điểm của 2 đường thẳng Cắt nhau tại tối đa 1 điểm Cắt nhau tại đúng 2 điểm xuyên tâm đối
Tổng 3 góc trong tam giác Luôn bằng đúng $\pi$ ($180^\circ$) Luôn lớn hơn $\pi$ ($\alpha + \beta + \gamma > \pi$)
Diện tích tam giác $S = \frac{1}{2}ah$ (không phụ thuộc trực tiếp tổng góc) $S = E = \alpha + \beta + \gamma - \pi$ (tỉ lệ thuận với độ dư góc)
Biểu diễn phép đẳng cự Phép tịnh tiến, phép quay, đối xứng trục Biểu diễn qua ma trận trực giao $3 \times 3$ trong $\mathbb{R}^3$
Số phép đối xứng tối đa sinh ra đẳng cự 3 phép đối xứng trục phẳng Tích của không quá 3 phép đối xứng qua đường tròn lớn

Đóng góp của khóa luận:

  1. Trình bày hoàn chỉnh lý thuyết hình học Elliptic từ cơ sở tiên đề đến mô hình giải tích cầu $S^2$, giúp người đọc tiếp cận trực quan một phân ngành toán học trừu tượng.
  2. Ứng dụng hiệu quả công cụ đại số tuyến tính (ma trận cấp 3) để tường minh hóa các phép biến đổi không gian cầu, kết hợp giải tích phức (phép chiếu lập thể, biến đổi Möbius) để mở rộng góc nhìn toán học.
  3. Cung cấp tài liệu tham khảo có tính sư phạm cao, bao gồm cả lý thuyết, chứng minh chi tiết, ứng dụng bản đồ học và hệ thống bài tập thực hành.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Khóa luận giới hạn phạm vi khảo sát chủ yếu trên mô hình mặt cầu 2 chiều $S^2$ nhúng trong không gian giải tích $\mathbb{R}^3$, chưa đi sâu phân tích mô hình không gian xạ ảnh thực $\mathbb{RP}^2$ (mô hình Elliptic đơn, nơi hai điểm xuyên tâm đối được đồng nhất thành một điểm) cũng như chưa tổng quát hóa lên không gian Elliptic $n$ chiều ($S^n$).
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    1. Mở rộng nghiên cứu hình học Elliptic trên đa tạp Riemann $n$ chiều có độ cong Riemann dương không đổi ($K > 0$).
    2. Nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc nhóm Lie $SO(3)$ và đại số Lie tương ứng gắn liền với nhóm các phép quay của mặt cầu $S^2$.
    3. Khảo sát chi tiết các thuật toán trắc địa cầu và xử lý đồ họa máy tính 3D dựa trên phép chiếu lập thể và lượng giác cầu.

Giá trị tham khảo

Tài liệu là nguồn tham khảo học thuật giá trị đối với:

  • Sinh viên ngành Sư phạm Toán và Toán học: Dùng làm tài liệu học tập, tham khảo cho các học phần Cơ sở hình học, Hình học vi phân, Hình học phi Euclide và Giải tích phức.
  • Người nghiên cứu và giảng viên: Cung cấp khung tài liệu giảng dạy chuẩn mực về phương pháp xây dựng mô hình phi Euclide bằng giải tích ma trận và phương pháp chiếu lập thể.
  • Người làm việc trong lĩnh vực liên ngành (Địa lý, Trắc địa, Thiên văn học, Đồ họa 3D): Tham khảo Chương 1, Chương 3 và Phụ lục 1 để nắm vững các công thức lượng giác cầu, chuyển đổi hệ tọa độ cực cầu và kỹ thuật lập bản đồ phẳng.

Câu hỏi thường gặp

1. Tiên đề song song trong hình học Elliptic khác biệt như thế nào so với Tiên đề 5 của Euclide? Trong hình học Euclide, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Ngược lại, trong hình học Elliptic, không tồn tại đường thẳng song song: mọi đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài đường thẳng $l$ đều cắt $l$. Trên mô hình mặt cầu $S^2$, hai đường tròn lớn bất kỳ luôn cắt nhau tại hai điểm đối đường kính.

2. Tại sao khoảng cách giữa hai điểm trên mặt cầu đơn vị $S^2$ lại bằng góc chắn tại tâm? Mặt cầu đơn vị $S^2$ có bán kính $R = 1$, chu vi đường tròn lớn bằng $2\pi$. Khoảng cách giữa hai điểm $P, Q$ là độ dài cung tròn lớn ngắn nhất nối $P$ và $Q$. Theo công thức độ dài cung tròn $s = R \cdot \theta_0$, với $R = 1$, độ dài cung $s$ bằng đúng độ lớn góc chắn tại tâm $\theta_0 = \widehat{POQ}$ (tính theo radian).

3. Ma trận biểu diễn phép đối xứng qua mặt phẳng $\pi: ax+by+cz=0$ ($a^2+b^2+c^2=1$) có dạng thế nào? Phép đối xứng phản xạ qua mặt phẳng $\pi$ biến vectơ $\mathbf{x}$ thành $\mathbf{x} - 2(\mathbf{x} \cdot \mathbf{a})\mathbf{a}$. Ma trận liên kết $A$ cấp $3 \times 3$ có dạng: $$A = \begin{pmatrix} 1-2a^2 & -2ab & -2ac \ -2ab & 1-2b^2 & -2bc \ -2ac & -2bc & 1-2c^2 \end{pmatrix}$$

4. Diện tích tam giác cầu được tính như thế nào theo các góc trong? Tổng ba góc $\alpha, \beta, \gamma$ của một tam giác cầu luôn lớn hơn $\pi$. Diện tích của tam giác cầu trên mặt cầu đơn vị $S^2$ tỉ lệ thuận với độ dư góc và được xác định bằng công thức Girard: $\text{Diện tích} = \alpha + \beta + \gamma - \pi = E$.

5. Định lý tích (Định lý 2.6) khẳng định điều gì về các phép đẳng cự cầu? Định lý tích khẳng định rằng mọi phép đẳng cự của mặt cầu $S^2$ đều có thể biểu diễn được dưới dạng tích của không quá ba phép đối xứng qua các đường tròn lớn. Nếu là tích của hai phép đối xứng, ánh xạ thu được là một phép quay; nếu là tích của một số chẵn các phép đối xứng, ánh xạ đó luôn là một phép đẳng cự trực tiếp (phép quay).

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp "Hình học Elliptic" của tác giả Trần Nhật Hào là một công trình nghiên cứu lý thuyết toán học nghiêm túc, khảo sát toàn diện cấu trúc của hình học phi Euclide Riemann trên mô hình mặt cầu đơn vị $S^2$. Tác giả đã vận dụng thành công các công cụ đại số tuyến tính, hình học giải tích và giải tích phức để làm sáng tỏ các tính chất không gian cầu, biểu diễn nhóm đẳng cự qua ma trận ma trận cấp ba và chứng minh các định lý lượng giác cầu nền tảng. Công trình đóng vai trò là tài liệu học tập và tham khảo học thuật hữu ích cho sinh viên, giảng viên ngành Toán cũng như người nghiên cứu các lĩnh vực khoa học kỹ thuật liên quan.