Khóa Luận Tốt Nghiệp Về Hình Học Elliptic

Luận văn tốt nghiệp toán học nghiên cứu tốt nghiệp toán tin hình học eliptic, điều tra thực trạng, phân tích số liệu, đề xuất biện pháp cải tiến thực tế.

• Tác giả: Trần Nhật Hào
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán - Tin Học
• Đề tài: Hình Học Elliptic
• Loại tài liệu: khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN CẦU
• 1.1. Một số khái niệm cơ bản
• 1.2. Tọa độ cầu
• 1.3. Nhận xét
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CẦU
• 2.1. Phép đẳng cự của S*
• 3. CHƯƠNG 3: ĐƯỜNG GIÁC CẦU
• 4. CHƯƠNG 4: HÌNH HỌC CẦU VÀ MẶT PHẲNG PHỨC MỞ RỘNG
• PHỤ LỤC
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Khóa Luận Tốt Nghiệp Hình Học Elliptic

Khóa luận tốt nghiệp về hình học elliptic tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh là một nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực toán học hiện đại. Hình học elliptic, một nhánh của hình học phi Euclide, đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Khóa luận này không chỉ giúp sinh viên hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo.

1.1. Ứng Dụng Của Hình Học Elliptic Trong Toán Học

Hình học elliptic có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, thiên văn học và khoa học máy tính. Nghiên cứu này sẽ trình bày các ứng dụng cụ thể của hình học elliptic trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Của Hình Học Elliptic

Hình học elliptic đã có một lịch sử phát triển dài, bắt đầu từ thế kỷ XIX với những đóng góp của các nhà toán học như Bernhard Riemann. Phần này sẽ tóm tắt những cột mốc quan trọng trong sự phát triển của hình học elliptic.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Hình Học Elliptic

Mặc dù hình học elliptic đã được nghiên cứu nhiều, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề và thách thức cần giải quyết. Các nhà nghiên cứu thường gặp khó khăn trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn. Khóa luận này sẽ phân tích những thách thức chính trong việc nghiên cứu và ứng dụng hình học elliptic.

2.1. Những Khó Khăn Trong Việc Hiểu Các Khái Niệm Cơ Bản

Nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm cơ bản của hình học elliptic. Phần này sẽ chỉ ra những lý do và cách khắc phục.

2.2. Thách Thức Trong Việc Ứng Dụng Lý Thuyết Vào Thực Tiễn

Việc áp dụng lý thuyết hình học elliptic vào các bài toán thực tiễn vẫn còn nhiều thách thức. Phần này sẽ thảo luận về những khó khăn và cách giải quyết chúng.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Hình Học Elliptic Hiệu Quả

Để nghiên cứu hình học elliptic một cách hiệu quả, cần áp dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học hiện đại. Khóa luận này sẽ trình bày các phương pháp nghiên cứu chính được sử dụng trong việc phân tích hình học elliptic.

3.1. Phương Pháp Phân Tích Tài Liệu

Phân tích tài liệu là bước đầu tiên trong nghiên cứu hình học elliptic. Phần này sẽ mô tả cách thức thu thập và phân tích tài liệu liên quan đến hình học elliptic.

3.2. Phương Pháp Thực Nghiệm Trong Nghiên Cứu

Phương pháp thực nghiệm giúp kiểm chứng các lý thuyết trong hình học elliptic. Phần này sẽ trình bày các thí nghiệm và kết quả đạt được từ việc áp dụng phương pháp này.

IV. Kết Quả Nghiên Cứu Hình Học Elliptic Tại Trường Đại Học Sư Phạm TP

Khóa luận đã đạt được nhiều kết quả đáng chú ý trong nghiên cứu hình học elliptic. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng vào thực tiễn. Phần này sẽ tóm tắt các kết quả chính của nghiên cứu.

4.1. Kết Quả Về Các Khái Niệm Cơ Bản

Nghiên cứu đã làm rõ các khái niệm cơ bản trong hình học elliptic. Phần này sẽ trình bày các khái niệm và định nghĩa quan trọng.

4.2. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Hình Học Elliptic

Kết quả nghiên cứu đã chỉ ra nhiều ứng dụng thực tiễn của hình học elliptic trong các lĩnh vực khác nhau. Phần này sẽ nêu rõ các ứng dụng cụ thể.

V. Kết Luận Và Hướng Phát Triển Tương Lai Của Hình Học Elliptic

Khóa luận đã cung cấp cái nhìn tổng quan về hình học elliptic và những thách thức trong nghiên cứu. Hướng phát triển tương lai của hình học elliptic sẽ được đề xuất trong phần này, nhằm khuyến khích các nghiên cứu tiếp theo.

5.1. Đề Xuất Hướng Nghiên Cứu Mới

Nghiên cứu có thể mở rộng sang các lĩnh vực khác như vật lý lý thuyết và khoa học máy tính. Phần này sẽ đề xuất các hướng nghiên cứu mới cho hình học elliptic.

5.2. Tầm Quan Trọng Của Hình Học Elliptic Trong Tương Lai

Hình học elliptic sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Phần này sẽ thảo luận về tầm quan trọng của nó trong tương lai.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. KHÔNG GIAN CÀU 1. Một số khái niệm cơ bản Hình học câu nghiên cứu các yếu tô của hình học trên bề mặt của một mặt cầu. Dé đơn giản, ta chọn mặt cầu này là mặt cầu đơn vị trong ï#`: mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ O, bán kính bang 1 và có phương trình S* ={(x,y,z)e IR`|xŸ+ y?+zŸ = HỆ Các trục dương Ox,Oy và Oz cắt mặt cau S* lần lượt tại các điểm 4(1,0,0).

Trong một số trường hợp, điểm C được gọi là điểm cực Bắc (/V) của mặt cau. Xích đạo [( Ngoài ra, mỗi điểm (x,y,z) trên mặt câu S? đều có một điểm đổi nhau về đường kính (hay điểm xuyên tâm đối) có tọa độ (-x,-y,-z) (ví dụ: điểm xuyên tâm đổi của điểm cực Bắc N là điểm cực Nam S(0. Mat phăng qua O vuông góc với đường thăng ON cắt mặt cau theo một đường tròn gọi là đường xích đạo. Bat ki mặt phẳng nào cắt mặt cầu S” tại nhiều hơn một điểm thì cắt nó theo một đường tron.

Chứng minh: Gọi OT là bán kính của mặt cầu vuông góc với mặt phẳng đã cho. Một phép quay của mặt cầu quanh truce OT biến mặt phăng thành chính nó và mặt cầu thành chính nó; vì vậy nó biến giao điểm của chúng thành giao điểm của chúng. Thông qua phép quay, mỗi điểm 4 Hình học Elliptic GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh thuộc giao điểm vạch ra một đường tròn (có cùng tâm va ban kính) và do đó giao điểm của chúng là một đường tròn.

Tương tự như hình học Euelide, một đường thăng trên mặt phăng trong hình học cầu là một đường cong trên S* gọi là một đường tròn lớn. Đường tròn lớn la đường trén có được khi cắt mặt câu S* bởi một mặt phang đi qua tâm của mat câu. Đường tròn lớn Định nghĩa 1. Đường tròn lớn bắt kì đi qua điểm cực Bắc (N) được gọi là đường tròn kinh độ.

Phần đường tròn Kinh độ di qua A(1,0,0) có hoành độ dương gọi là kinh tuyến Greenwich. Dường cong giao nhau giữa S* và mặt phang song song với đường xích đạo là một đường tròn - gọi là đường tròn vĩ độ. Đường cong giao nhau giữa S* và một mặt phẳng không phải một đường tròn lớn được gọi là một đường tròn nhỏ. Đường trủn kính độ Đường trán vì độ Kinh tuyên Greenwich s Hình học Elliptic GVHD: TS.

Nguyễn Hà Thanh Rõ ràng, đường xích đạo là một đường tròn vĩ độ, những đường tròn vĩ độ khác với đường xích đạo gọi là các đường tròn nhỏ. Tiếp theo, ta có định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm bat kì trong hình học cầu: Định nghĩa 1. Cho P và O là hai điểm bất kì trên S* và C là một đường tròn lớn di qua P va Q. Khi đỏ, một cung với các điềm cuối P và Q được gọi là một đoạn thăng trên S? nội P và QO, hay đoạn thắng PO.

Độ dài của một đoạn thẳng trên SỲ được xác định là độ dài Euclide của cung tròn tương ứng. Khoảng cách (hay khoảng cách cau) giữa hai điểm P và Q trên SỲ là độ dai ngắn hơn giữa hai đoạn thăng PO và thường được ký hiệu đơn giản là PQ. Từ định nghĩa, ta thấy đoạn thăng PO không duy nhất.O và R là ba điểm bat kì trên SẼ sao cho chúng không nằm trên cùng một đường tròn lớn. Khi dé, đoạn thắng PQ, đoạn thăng QR và đoạn thăng RP tạo thành một tam giác APOR.

Từ định nghĩa, ta thấy tam giác APOR không duy nhất. Chú ý: Các đường tròn lớn trên S? là các đường trắc địa, tức là đường cong nôi các điềm với khoảng cách ngắn nhất. Khoảng cách giữa hai điểm bat ki P và Q trên S° bằng với góc mà ching chắn tại tâm của S*. Hình học Elliptic GVHD: TS.

Nguyễn Hà Thanh Chứng minh: Từ Định nghĩa 1.4, ta thấy khoảng cách giữa hai điểm bat kì trên S? là một phan của đường tròn lớn đi qua hai điểm, đường tròn này có bán kính bằng | và do đó có chu vi bằng 2Z - bằng với góc mà đường tròn lớn chan tại tâm của nó (tâm của mặt câu). Do đó, ta suy ra được khoảng cách giữa hai điểm bat kì trên S’ bằng với góc ma chúng chắn tại tâm của S*. NT: ⁄ £ Si ae, s3 A Pe ` : „ 7 Ví dụ 1. Khoảng cách từ diém cực Bắc đên bat kì điểm nào trên đường xích đạo là 5 va khoảng cach từ điểm cực Bac đến điểm cực Nam là 7.

Tie định nghĩa, có thé thay “khoảng cách cau d” có toàn bộ các tinh chất của một hàm khoảng cách, tức là: 1.O)= 0 khi và chỉ khi P=Q.P) với mọi P và Q. (Bat dang thức tam giác) d({P,Q)+d(Q,R)=d(P,R) khi và chỉ khi P,Q và R cùng nằm trên một đường tròn lon. Hình học Elliptic GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Có thé thấy, các đường tròn lớn trong hình học cầu đóng vai tro giống như các đường thang trong hình học Euclide, ta luôn có một đường tròn lớn nỗi hai điểm bat kì trên S? (vì luôn có một mặt phăng đi qua chúng và gốc tọa độ).

Mặt phăng và đường tròn lớn tương ứng là duy nhất trừ trường hợp chúng là cặp điểm xuyên tâm đối, trong trường hợp nay có vô số đường tròn lớn nối hai điểm. Tuy nhiên, sự khác biệt rõ rệt giữa hình học cau và hình học phang Euclide đến từ việc hai đường tròn lớn phân biệt bat kì luôn cắt nhau tại hai điểm (cặp điểm xuyên tâm đối). Sở di, có được điều này là bởi vì các mặt phẳng xác định chúng có một điểm chung là gốc tọa độ và đo đó chúng có một đường thăng chung trong R*, đường thing này cắt S’ tại hai điểm. mặc đủ các đường tron lớn tương tự như các đường thing trong mat phăng nhưng chắc chắn rằng không có khái niệm “dudng thăng song song” trên mặt cầu, bởi vì bat kì hai đường tròn lớn nao cũng cắt nhau tại hai điểm.

Với mỗi điểm P trên SỲ có duy nhất một đường tròn lớn cách P một khoảng >? đường tron lớn nay đóng vai trò là đường xích đạo với P là “cực” và được gọi là đường tròn lớn liên kết với điễm P. Ngược lại. với bất kì đường tròn lớn nào cũng có :. * hai điểm thuộc S~ đóng vai tro là “cực” của nó.

cua S* biến P thành Q. Chứng minh: Hình học Elliptic GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Mx st Xét đường tròn lớn đi qua hai điểm P và Ø. gọi 7 là một trong các cực của nó.

Phép quay của S* quanh trục OT với góc quay POO (theo hướng thích hợp) sẽ biển P thành Q. Có tốn tại hay không các phép quay của S` thỏa mãn các tính chất sau: (a) (1.0) (0,-1,0) (b) (1,0,0) + (0,1,0) và (0,1,0)> (0,0,1) (c) (1,0,0) +> (0,-1,0) va (0,01) (0,1,0) Giải: Giả sử hướng quay ngược chiều kim đồng hồ là hướng đương. (a) Theo kết qua trong Vi du 1.10, ta luôn có một phép quay của $° biến điểm nay thành điểm kia. Dễ thấy phép quay a(z.0) Hình học Elliptic GVHD: TS.

Nguyễn Hà Thanh (b) Phép quay quanh trục đi qua hai điểm (+ z5 s] vả 2 =o +) VỚI goc v3 `3 ` v3 v3` v3` VB 2z quay > biến (1,0,0) thành (0,1,0).1,) Trục của phép quay trên được xác định khi ta tim được một điểm trên S? (và điểm xuyên tâm đối của nó) cách đều ba điểm (1,0,0), (0,1,0) và (0. Giả sử điểm cần tìm có tọa độ (a,b,c) với a,b,c > 0, theo Định Jý 3. ] Vì (a,b,c)e S? x? + y” +2° =1 nên ta suy ra a=b=ec===. Vậy trục của phép quay trên đi qua hai điểm [5 a0 va (-+ =—= =}.

v3 `v3 V3 V3" V3" v3 (c) Vì khoảng cách giữa hai điểm (1,0,0) va (0,0,1) bằng = trong khi khoảng cách giữa hai điểm (0,-1.0) và (0,1,0) bằng 7 nên không tổn tại phép quay của mặt cầu bien (1. 10 Hình học Elliptic GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh (0. Tọa độ cầu Đề xây dung một kệ toa độ cực cẩu trên S*, đầu tiên ta xác định hướng dọc theo đường xích đạo từ A(1,0,0) đến B(0,1,0) là hướng dương.

Với điểm P, bất kì trên đường xích đạo, gọi ổ là góc AOP, đo doc theo chiều dương của đường xích đạo. Khi đó ta gan các tọa độ (cos ¢,sing. Tiếp theo, gọi P là một điểm bat kì trên S* (khác hai điểm cực Bắc và Nam) sao cho P không nằm trên đường xích đạo. Gọi P là điểm trên đường xích đạo sao cho P, nam trên cung NS của đường tròn lớn qua N và P.

Hình học Elliptic GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Gọi ¢ là góc AOP. đo theo chiều đương của đường xích đạo (0<ø@<2z) và Ø là góc NOP (0<@< 7). Khi đó ta gan các toa độ (cosdsin @,singsinO,cos@) cho P.

Ví dụ: Một diém trên Š“ với tọa độ cực câu (son sin sin,cos4 ) là điểm: as 4° 7 2 P 5 3 7. 7ổ Z sã sr NB +] 2V2' 242’ V2 Bằng cách xây dựng trên, mọi điểm trên S? khác hai điểm cực Bắc và Nam đều được cho tọa độ cực cau với các giá trị thích hợp của ø và Ø. Tại điểm cực Bắc và Nam, chúng ta lay Ø lần lượt bằng 0 hoặc bằng # và cho ¢ nhận giá trị bat kì trong khoảng [0. Chú ý: Trong một số trường hợp.

dé thuận tiện ta xem ở là một ham xác định trên BR, tuần hoản với chu kì 2z chứ không phải trên [0. Gọi P là một điểm trên S* với tọa độ cực cau (cos@sin @,sin dsin Ø,cosØ) trong đó 0 Só< 2# va OS OS 2. Góc O cua P được gọi la phan phụ vĩ độ (hay độ dir vi) của P, giá trị Ø' = = ~Ø được gọi là vĩ độ cia P (lưu ý == <sở< = Góc 6 của P được gọi là kinh độ của P. 12 Hình học Elliptic GVHD: TS.

Nguyễn Hà Thanh Chú ý: Từ định nghĩa, ta suy ra được khoảng cách của một điểm P với phan phụ vĩ độ Ø trên $° tinh từ điểm cực Bắc chính là Ø. Xác định độ lớn các góc 6 và Ø trong phép biểu diễn tọa độ cực cau (cosósinØ,sin øsin Ø,cosØ} cửa các điểm ls-Š " va |—, -—>, —— 2 3 |]. Giai: ¢ Đối với điểm (s-Š;] ta co: cos @sin Ø = 0 (1) singsin Ø = 8 (2) | cosổ => (3) Từ phương trình (3) ta suy ra Ø= +. dan tới phương trình (1) và (2) trở thành cosố =0 và sinø = —].

(rad) và @=—+ (rad) ¢ Doi với điểm [z- dan): ta có: I cos@sin Ø = ta (4) aa sindsin Ø Ta (5) cosØ =“a (6) Tir phuong phuong trinh (6)(6) tata susuy ra 0=cos( Via == Ìx064 (rad) 3 rad), 13 Hình học Elliptic GVHD: TS.