Luận Văn Thạc Sĩ: Trò Chơi Tháp Hà Nội và Các Vấn Đề Toán Học Liên Quan

Eduard Lucas, tác giả của trò chơi Tháp Hà Nội, đã viết về một truyền thuyết ẩn chứa như sau: Dưới vòm của tòa tháp thiêng thần Brahma (thần sáng tạo) trong thành Bernares, nơi được coi là trung tâm thế giới, khi bắt đầu sáng tạo vũ trụ, thần Brahma đã đặt 64 chiếc đĩa bằng vàng ròng có khoét lỗ ở giữa trên một trong ba chiếc cọc kim cương. Các đĩa này có đường kính nhỏ dần từ dưới lên trên và tạo thành một hình nón. Các nhà tu hành liên tục suốt ngày đêm chuyển 64 đĩa từ cọc đầu tiên sang cọc thứ ba. Khi di chuyển các đĩa phải tuân theo hai quy tắc: 1) Mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa trên cùng của một cọc nào đó. 2) Đĩa trên cùng được chuyển từ một cọc sang một trong hai cọc khác. Do tính duy vật, đĩa lớn không được đặt lên trên đĩa nhỏ. Khi công việc hoàn thành, tòa tháp sẽ đổ, và lúc đó cũng là thời điểm kết thúc của vũ trụ. Dựa trên truyền thuyết về tháp Brahma, nhà toán học người Pháp Edouard Lucas đã phổ biến trò chơi Tháp Hà Nội ở Paris năm 1883 dưới tên giả là giáo sư N. Năm 1884, de Parvile đã tiết lộ, giáo sư N. Claus chính là tên giả của nhà nghiên cứu lý thuyết số nổi tiếng Eduard Lucas.

Một giả thuyết nữa là Cột cờ Hà Nội đã gợi ý cho E. Lucas đặt tên trò chơi của mình là trò chơi tháp Hà Nội. Cột cờ Hà Nội có đáy gồm ba khối vuông xây chồng lên nhau. Trò chơi tháp Hà Nội đơn giản nhất cũng gồm ba đĩa tròn xếp chồng lên nhau trên một cột. Cột cờ Hà Nội xây năm 1805-1812, hơn 70 năm trước khi trò chơi tháp Hà Nội được phổ biến. Năm 1882 Pháp tấn công đánh chiếm thành Hà Nội lần thứ hai. E. Lucas có thể đã ở Hà Nội và Đông Dương vào những năm 1882-1883. Năm 1883 cũng là năm Pháp phát hành tín phiếu lấy tiền xây dựng Nhà thờ lớn (trên nền của tháp Báo Thiên và chùa Báo Thiên). Có lẽ điều này gợi ý E. Lucas đặt tên cho trò chơi của mình là trò chơi Tháp Hà Nội?

Để giải bài toán Tháp Hà Nội với 3 cọc và n đĩa, ta thực hiện các bước sau: Chuyển n-1 đĩa từ cọc nguồn sang cọc trung gian (sử dụng cọc đích làm cọc hỗ trợ). Chuyển đĩa lớn nhất từ cọc nguồn sang cọc đích. Chuyển n-1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc đích (sử dụng cọc nguồn làm cọc hỗ trợ). Thuật giải này được gọi là đệ quy vì nó gọi lại chính nó để giải quyết một bài toán nhỏ hơn. Độ phức tạp thời gian của thuật giải này là O(2^n), nghĩa là số lượng các bước tăng theo hàm mũ với số lượng đĩa.

Bài toán Tháp Hà Nội có thể được giải bằng cách sử dụng biểu diễn nhị phân. Mỗi đĩa được gán một số nhị phân. Các bit được đảo xen kẽ giữa 0 và 1. Quy tắc di chuyển đĩa phụ thuộc vào bit thấp nhất của đĩa đang xét. Sự đối xứng trong bài toán thể hiện ở việc nếu ta đổi vai trò của cọc nguồn và cọc đích, số bước giải vẫn là như nhau.

Bài toán tổng quát với p(p > 3) cọc, p là số bất kỳ với số đĩa n bất kỳ được. Lời giải độc lập của bài toán này đã được B. Frame trình bày cũng trong tạp chí này năm 1941. Các thuật toán của Stewart và Frame cùng với một số thuật toán cải biên khác đã được chứng minh là tương đương theo nghĩa số lần chuyển đĩa là bằng nhau (xem [19]). Vì vậy người ta thường gọi chung thuật toán của hai ông hoặc các thuật toán tương đương là thuật toán Frame - Stewart. Thuật toán Frame-Stewart B. Frame đã xuất một thuật toán presumably- optimal solution (lời giải giả định tối ưu) cho bài toán bốn cọc (hoặc nhiều hơn).

Ngoài việc tăng số lượng cọc, bài toán Tháp Hà Nội còn có nhiều biến thể khác, ví dụ như: Tháp Hà Nội với các đĩa có màu sắc khác nhau. Tháp Hà Nội với hạn chế về hướng chuyển đĩa (ví dụ, chỉ được chuyển đĩa từ cọc A sang cọc B, hoặc từ cọc B sang cọc C). Tháp Hà Nội song song (nhiều người cùng di chuyển đĩa). Những cải biên và tổng quát hóa này dẫn đến những vấn đề toán học thú vị, thậm chí dẫn tới nhiều bài toán hiện nay chưa có lời giải.

Trong lập trình, Tháp Hà Nội là một ví dụ kinh điển về thuật toán đệ quy. Code Tháp Hà Nội minh họa rõ ràng cách một hàm có thể gọi chính nó để giải quyết một vấn đề phức tạp bằng cách chia nó thành các vấn đề nhỏ hơn. Thuật toán này không chỉ giúp giải bài toán một cách hiệu quả mà còn giúp người học hiểu sâu hơn về bản chất của đệ quy.

Trong giáo dục, trò chơi Tháp Hà Nội là một công cụ hữu ích để rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Học sinh phải suy nghĩ cẩn thận và lên kế hoạch trước khi thực hiện các bước di chuyển để đảm bảo tuân thủ các quy tắc và đạt được mục tiêu cuối cùng. Quá trình này giúp phát triển kỹ năng phân tích, lập kế hoạch và giải quyết vấn đề.

Trong y học, trò chơi Tháp Hà Nội được sử dụng như một bài kiểm tra nhận thức để đánh giá khả năng lập kế hoạch, trí nhớ làm việc và khả năng giải quyết vấn đề của bệnh nhân. Thời gian và số lượng di chuyển cần thiết để hoàn thành trò chơi có thể cung cấp thông tin hữu ích về chức năng não bộ của bệnh nhân.

Độ phức tạp thời gian của thuật toán đệ quy để giải bài toán Tháp Hà Nội là O(2^n), trong đó n là số lượng đĩa. Điều này có nghĩa là số lượng các bước cần thiết để giải bài toán tăng theo hàm mũ với số lượng đĩa. Do đó, đối với số lượng đĩa lớn, thuật toán có thể trở nên rất chậm.

Độ phức tạp không gian của thuật toán đệ quy cho Tháp Hà Nội phụ thuộc vào độ sâu của các lời gọi đệ quy, mà trong trường hợp này là O(n), trong đó n là số lượng đĩa. Điều này có nghĩa là không gian bộ nhớ cần thiết để lưu trữ các lời gọi đệ quy tăng tuyến tính với số lượng đĩa.

Các hướng nghiên cứu mới về bài toán Tháp Hà Nội bao gồm: Nghiên cứu các biến thể của bài toán với các quy tắc di chuyển khác nhau. Nghiên cứu các thuật toán song song để giải bài toán nhanh hơn. Nghiên cứu các ứng dụng mới của bài toán trong các lĩnh vực khác nhau.

Bài toán Tháp Hà Nội có tiềm năng ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực trong tương lai, bao gồm: Phát triển các thuật toán mới cho trí tuệ nhân tạo. Thiết kế các bài kiểm tra nhận thức tiên tiến hơn. Xây dựng các mô hình toán học cho các hệ thống phức tạp.